高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題同學(xué)們，高中數(shù)學(xué)必修4的內(nèi)容，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著舉足輕重的地位，尤其是三角函數(shù)與平面向量，它們不僅是高考的重點(diǎn)，也是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。這份總結(jié)希望能幫助大家系統(tǒng)梳理所學(xué)知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。一、三角函數(shù)1.1任意角和弧度制我們首先拓展了角的概念，引入了正角、負(fù)角和零角。在平面內(nèi)，角可以看作是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。為了更方便地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，我們引入了弧度制?；《戎频暮诵乃枷胧怯没￠L(zhǎng)與半徑的比值來度量角的大小，這種度量方式使得角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為后續(xù)的三角函數(shù)學(xué)習(xí)帶來了極大的便利。記住，1弧度的角就是長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角。角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換也是必須掌握的基本功，比如我們熟知的平角是π弧度，直角是π/2弧度。1.2任意角的三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，我們定義了任意角的三角函數(shù)。設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（除端點(diǎn)外）的坐標(biāo)是(x,y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分別定義為：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x(x≠0)。這三個(gè)基本三角函數(shù)，以及由它們衍生出的余切、正割、余割，構(gòu)成了三角函數(shù)體系的基礎(chǔ)。三角函數(shù)在各象限的符號(hào)記憶口訣“一全正，二正弦，三正切，四余弦”非常實(shí)用，能幫助我們快速判斷函數(shù)值的正負(fù)。1.3同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)之間存在著基本的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系。平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1；商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα(cosα≠0)。這些關(guān)系是進(jìn)行三角恒等變形的重要依據(jù)，常常用于已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，或者化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式。1.4三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其核心口訣是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。這里的“奇”和“偶”指的是k·π/2+α(k∈Z)中k的奇偶性；“變”與“不變”指的是三角函數(shù)的名稱是否改變（正弦變余弦，正切變余切等）；“符號(hào)看象限”則是指將α視為銳角時(shí)，原三角函數(shù)值的符號(hào)。熟練掌握誘導(dǎo)公式，能大大簡(jiǎn)化三角函數(shù)的求值過程。1.5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖像是我們研究三角函數(shù)性質(zhì)的直觀工具。它們的圖像都是周期曲線，正弦函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)；余弦函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)。它們的最小正周期都是2π。通過圖像，我們可以清晰地看出它們的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和最值等性質(zhì)。例如，正弦函數(shù)在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減，最大值為1，最小值為-1。正切函數(shù)y=tanx的圖像則有所不同，它的定義域是{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}，值域是R，是奇函數(shù)，最小正周期為π，在每個(gè)開區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖像有無數(shù)條垂直漸近線。1.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是正弦函數(shù)的一般形式，其中A、ω、φ分別稱為振幅、角頻率和初相，它們共同決定了函數(shù)圖像的形狀和位置。A決定了函數(shù)的最大值和最小值；ω決定了函數(shù)的周期T=2π/ω；φ則決定了函數(shù)圖像相對(duì)于y=sinωx的水平平移量（即相位平移）。繪制該函數(shù)的圖像，通常采用“五點(diǎn)法”，即找出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（起點(diǎn)、最高點(diǎn)、中點(diǎn)、最低點(diǎn)、終點(diǎn)）來描點(diǎn)作圖。理解這個(gè)函數(shù)的圖像變換（平移、伸縮）規(guī)律，對(duì)于解決相關(guān)問題至關(guān)重要。1.7三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，比如描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（如單擺、彈簧振子的運(yùn)動(dòng)）、聲波、光波等周期現(xiàn)象。解決這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型，確定模型中的參數(shù)A、ω、φ，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析和求解。二、平面向量2.1向量的概念及表示向量是既有大小又有方向的量。物理學(xué)中的位移、力、速度等都是向量。向量可以用有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大?。聪蛄康哪＃?，箭頭所指的方向表示向量的方向。長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量），長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。2.2向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。向量加法遵循三角形法則和平行四邊形法則。三角形法則是將一個(gè)向量的起點(diǎn)與另一個(gè)向量的終點(diǎn)相連，和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)；平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，和向量是從公共起點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線。向量加法滿足交換律和結(jié)合律。向量減法是向量加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。向量減法也可以用三角形法則，即把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。向量的數(shù)乘運(yùn)算，即實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa，它的模是|λ||a|，方向是：當(dāng)λ>0時(shí)，與a同向；當(dāng)λ<0時(shí)，與a反向；當(dāng)λ=0時(shí)，λa是零向量。數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律和結(jié)合律。2.3平面向量基本定理如果e?、e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ?、λ?，使得a=λ?e?+λ?e?。我們把不共線的向量e?、e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。這個(gè)定理揭示了平面向量的基本結(jié)構(gòu)，是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)。2.4平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj。我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)。有了坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算：若a=(x?,y?)，b=(x?,y?)，則a+b=(x?+x?,y?+y?)，a-b=(x?-x?,y?-y?)，λa=(λx?,λy?)。一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。2.5平面向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）是一個(gè)非常重要的概念。已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積的幾何意義是：a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積。數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x?,y?)，b=(x?,y?)，則a·b=x?x?+y?y?。數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a=a·e=|a|cosθ；(2)a⊥b?a·b=0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|；特別地，a·a=|a|2或|a|=√(a·a)；(4)cosθ=(a·b)/(|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|。2.6平面向量的應(yīng)用向量在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用。在幾何中，可以利用向量證明線段平行（向量共線）、垂直（數(shù)量積為零），計(jì)算兩點(diǎn)間的距離（向量的模），求夾角等。在物理中，可以用向量表示力、速度、加速度等物理量，利用向量的合成與分解解決力的合成與分解、運(yùn)動(dòng)的合成與分解等問題。三、三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的三角函數(shù)公式是三角恒等變換的核心。cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(兩角差的余弦公式)以此為基礎(chǔ)，利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，可以推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式、兩角和與差的正切公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)(α+β,α,β均不等于kπ+π/2,k∈Z)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)(α-β,α,β均不等于kπ+π/2,k∈Z)這些公式的推導(dǎo)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯推理和轉(zhuǎn)化思想，理解推導(dǎo)過程有助于更好地記憶和應(yīng)用公式。3.2二倍角的正弦、余弦和正切公式在兩角和的公式中，令α=β，即可得到二倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(余弦的二倍角公式有多種形式，可根據(jù)需要選擇)tan2α=2tanα/(1-tan2α)(2α≠kπ+π/2,α≠kπ/2+π/4,k∈Z)二倍角公式不僅能用來求二倍角的三角函數(shù)值，還可以通過“降冪擴(kuò)角”或“升冪縮角”進(jìn)行恒等變形，例如由cos2α=2cos2α-1可得cos2α=(1+cos2α)/2，由cos2α=1-2sin2α可得sin2α=(1-cos2α)/2，這些降冪公式在化簡(jiǎn)和積分中非常有用。3.3簡(jiǎn)單的三角恒等變換利用兩角和與差、二倍角等公式，可以進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明。在變換過程中，要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，常用的技巧有：“角的變換”（如將α表示為(α+β)-β，將2α表示為(α+β)+(α-β)等）、“名的變換”（弦切互化）、“形的變換”（配方、因式分解等）。輔助角公式也是一個(gè)非常重要的工具，對(duì)于形如asinx+bcosx的式子，可以化為√(a2+b2)sin(x+φ)或√(a2+b2)cos(x-θ)的形式，其中φ（或θ）由a、b的值確定，即asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a(或根據(jù)a,b的符號(hào)確定φ所在象限)。練習(xí)題三角函數(shù)部分1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4)，求sinα、cosα、tanα的值。2.化簡(jiǎn)：sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)/sin(-π-α)。3.求函數(shù)y=2sin(2x-π/3)+1的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間及最大值。4.利用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y=sin(x+π/6)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。平面向量部分5.已知向量a=(2,1)，b=(-1,3)，求a+b，a-b，2a+3b的坐標(biāo)。6.已知|a|=4，|b|=3，a與b的夾角為60°，求a·b及|a+b|。7.已知點(diǎn)A(1,2)，B(4,5)，求向量AB的坐標(biāo)及|AB|。8.已知向量a=(1,m)，b=(m,2)，若a與b共線且方向相同，求m的值。三角恒等變換部分9.求值：sin75°。10.已知tanα=2，求tan(α+π/4)的值及sin2α的值。11.化簡(jiǎn)：(sin2α-cos2α)/(sinα-cosα)。12.求證：(1+sin2α)/cos2α=tan(π/4+α)。參考答案三角函數(shù)部分1.由題意，x=3，y=-4，r=√(32+(-4)2)=5。所以sinα=y/r=-4/5，cosα=x/r=3/5，tanα=y/x=-4/3。2.原式=[sinα·cosα·(-tanα)]/[-sin(π+α)]=[sinα·cosα·(-sinα/cosα)]/sinα=(-sin2α)/sinα=-sinα。3.最小正周期T=2π/2=π。由-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ(k∈Z)，解得-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ(k∈Z)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為[-π/12+kπ,5π/12+kπ](k∈Z)。最大值為2×1+1=3。4.（圖像略）五點(diǎn)坐標(biāo)可選?。?-π/6,0)，(π/3,1)，(5π/6,0)，(4π/3,-1)，(11π/6,0)。平面向量部分5.a+b=(2+(-1),1+3)=(1,4)；a-b=(2-(-1),1-3)=(3,-2)；2a+3b=(4,2)+(-3,9)=(1,11)。6.a·b=|a||b|cos60°=4×3×1/2=6。|a+b|2=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2=16+12+9=37，所以|a+b|=√37。7.A