/2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）．A． B． C． D．2．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．4．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．設(shè)，則（

）A． B．C． D．7．定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足，則稱函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)，現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若的最小值為0，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．的最小值是2 D．10．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．在上為增函數(shù) D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根11．已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B．若，其中，則C．若的值域?yàn)镽，則D．若，則12．已知函數(shù)將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．在上單調(diào)遞減C．的解集為D．方程在上有且只有兩個(gè)相異實(shí)根三、填空題（本大題共4小題）13．函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．14．函數(shù)的最小正周期是．15．已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知關(guān)于的不等式.（1）該不等式的解集為，求；（2）若，求此不等式的解集.18．（1）計(jì)算：：（2）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（3）化簡(jiǎn)：．19．已知函數(shù)．(1)求的圖象的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸、單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的最值．(3)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2），（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬元）(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù)；(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬元資金，并打算全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬元時(shí)，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？21．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有.（1）求證：是奇函數(shù)；（2）設(shè)，且時(shí)，，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集.22．已知函數(shù)（k為常數(shù)，），且是偶函數(shù).（1）求k的值；（2）設(shè)函數(shù)，若方程只有一個(gè)解，求a的取值范圍.

答案1．【正確答案】C先化簡(jiǎn)集合的元素再求.【詳解】由，所以故選：C2．【正確答案】D由原命題為假命題可知其否定，使得成立是真命題，轉(zhuǎn)化為對(duì)于有解，分離可得，即可求解.【詳解】若命題“，”是假命題，所以，使得成立是真命題，即對(duì)于有解，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D3．【正確答案】D【詳解】由，得，由，得，所以故選：D4．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．【正確答案】D【詳解】易知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于即所以，所以在任意的上恒成立，故.故選：D6．【正確答案】D【詳解】由題意得，而，由于在上單調(diào)遞增，故，即，由在R上單調(diào)遞增，則，即有；由在上單調(diào)遞增，且，故，即，故，故選：D7．【正確答案】A【詳解】∵函數(shù)是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，故有即在（﹣1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則有根，所以x＝1或.又1?（﹣1，1）∴方程在（﹣1，1）上有根，因?yàn)?，而?dāng)時(shí)，，于是.故選：A．8．【正確答案】D【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)，即時(shí)，，不符題意；當(dāng)，即時(shí)，由，解得.綜上，.故選：D9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因，利用不等式的性質(zhì)可得.故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但由可得：，顯然此方程無實(shí)數(shù)解，即取不到最小值2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】為奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為偶函數(shù)，，即，關(guān)于對(duì)稱，由，得：，，即是周期為的周期函數(shù)，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，B正確；對(duì)于CD，由周期性和對(duì)稱性可得圖象如下圖所示，

由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，，結(jié)合圖象可知：與共有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，取，因在定義域內(nèi)為減函數(shù)，而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，根據(jù)同增異減原則可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因，，故由可得：，即得，則，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，要使的值域?yàn)镽，須使能取遍一切正數(shù).①當(dāng)時(shí)，可以取遍一切正數(shù)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，依題意，須使，解得.綜上可知，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，，故，，由可得：，則，即得：，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．【正確答案】AC【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，然后橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得，所以，.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，即，解得，所以的解集為，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，所以即所以，解得，又因?yàn)?，所以，所以方程在上?個(gè)相異實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，且）的圖象過定點(diǎn)A，令，則，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.故答案為.14．【正確答案】6【詳解】函數(shù)的最小正周期為，顯然，即是函數(shù)的周期，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)的周期相同，所以函數(shù)的最小正周期是6.故615．【正確答案】【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由可得，或①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在，滿足題意，故滿足題意②當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意④時(shí)，單調(diào)遞增，故不符合題意⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在使得，與有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可得，或故16．【正確答案】0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，而，,即的一個(gè)對(duì)稱中心為，故；而，故在區(qū)間上單調(diào)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，則；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則恰好為第一個(gè)零點(diǎn)，相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，故，即，解得，結(jié)合，可得的取值范圍為，故17．【正確答案】（1）；（2）見解析.【詳解】分析：⑴根據(jù)不等式解集，則方程有兩根，故計(jì)算出的值⑵分類討論無解和有解時(shí)根的大小詳解：（1）由韋達(dá)定理有：；（2）.①，即時(shí)：解集為；②，即時(shí)：解集為；③，即時(shí)：解集為.點(diǎn)睛：本題主要考查了一元二次不等式，在含有參量的不等式中注意分類討論，得出不同情況的結(jié)果．本題較為基礎(chǔ)．18．【正確答案】（1）；（2）①；②；（3）．【詳解】（1）．（2）由題意可得：①，即是第三象限角，．②是第三象限角，，（3）由，原式．19．【正確答案】(1)對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸方程為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)最小值為；最大值為2(3)【詳解】（1）由題意，得函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值為2；（3）由題意得時(shí)，有解，而此時(shí)，即有解，只需要即可，，，令，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.20．【正確答案】(1)，(2)6.25萬元，4.0625萬元【詳解】（1）因?yàn)锳產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比，故設(shè)，將代入，解得：，故，因?yàn)锽產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，故設(shè)，將代入，解得：，解得：，故；（2）設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬元，則A產(chǎn)品的投資額為萬元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤(rùn)為y萬元，則.令，可得，即.當(dāng)，即時(shí)，y取得最大值4.0625.答：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為6.25萬元時(shí)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn).獲得的最大利潤(rùn)為4.0625萬元.21．【正確答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②.【詳解】（1）取，得，取，得，取，，得，所以是奇函數(shù).（2）①由及，可得是偶函數(shù)且，設(shè)，則，由時(shí)，得，所以，所以在上是減函數(shù).②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，可得或或，所以不等式的解集為.22