/2024-2025學(xué)年河南省開(kāi)封市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．－1 B． C．1 D．22．已知拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．4．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓的面積為（

）A． B． C． D．5．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．21 B．18 C．15 D．126．已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為（

）A． B． C． D．7．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前60項(xiàng)和（

）A． B．5 C．59 D．608．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知直線l與直線垂直，且與圓相切，則直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．10．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，若，則（

）A． B．C． D．11．某高中通過(guò)甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開(kāi)學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生選擇甲餐廳．設(shè)開(kāi)學(xué)后第天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（

）A．B．是等比數(shù)列C．第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D．開(kāi)學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過(guò)餐的有5750人次12．已知函數(shù)，則（

）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程是B．函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)x0C．D．函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則．14．已知點(diǎn)分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的取值范圍是．15．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是．16．已知點(diǎn)是離心率為2的雙曲線上的三點(diǎn)，直線的斜率分別是，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是，若，則．四、解答題（本大題共6小題）17．在等差數(shù)列中，是和的等差中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù)的值．18．已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值－5．(1)求的值；(2)求在上的值域．19．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．已知離心率為的橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值是1．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．22．已知函數(shù)．(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，找到規(guī)律從而得到數(shù)列的周期.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以．故選：B2．【正確答案】D【分析】求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】直線與軸的交點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，故，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．3．【正確答案】C【分析】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，求導(dǎo)的時(shí)候注意是個(gè)常數(shù)，求導(dǎo)之后令即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，．故選：C4．【正確答案】D【分析】利用圓的定義求出圓的方程即可.【詳解】由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，可知圓心在直線上，又圓心在直線上，所以的坐標(biāo)為，半徑，所以圓的面積為．故選：D．5．【正確答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到成等比數(shù)列，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和且，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，所以，所以．故選：A．6．【正確答案】C【分析】由雙曲線方程求出其漸近線方程，設(shè)，進(jìn)而表示出點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積的表達(dá)式，結(jié)合在雙曲線上，化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】由雙曲線的方程知，漸近線方程為，即，設(shè)，由題意，得，即，點(diǎn)到漸近線的距離，點(diǎn)到漸近線的距離，所以．故選：C．7．【正確答案】B【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列并求出，進(jìn)而求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列，所以是公差為2的等差數(shù)列，所以，解得，又，所以，所以，所以所以．故選：B．8．【正確答案】A【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，即，則；令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即．綜上所述，．故選：A．結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見(jiàn)的重要不等式：（1）；（2）.9．【正確答案】CD【分析】設(shè)出直線方程，由圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出答案.【詳解】直線與直線垂直，可設(shè)直線為，圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為．因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程是或．故選：CD．10．【正確答案】AC【分析】結(jié)合幾何體，利用向量的線性運(yùn)算法則，利用基底表示向量.【詳解】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)給定的信息求出遞推公式可判斷A；變形遞推公式根據(jù)等比數(shù)列的定義可判斷B；求出通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式求出、前項(xiàng)和可判斷CD．【詳解】對(duì)于A，由題意，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，又，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，即，所以，故C正確；對(duì)于D，，又有1920名學(xué)生，所以開(kāi)學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過(guò)餐的有人次，故D正確．故選：BCD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)給定的信息求出遞推公式及通項(xiàng)公式.12．【正確答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，可判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D.【詳解】對(duì)A，由，得，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在x0∈1,2，使得，即即時(shí),,時(shí),,則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，由以上分析知在上單調(diào)遞減，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,則，則在上無(wú)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選:BD．13．【正確答案】12【分析】由橢圓定義求出.【詳解】由題意知，所以，又由橢圓的定義，得．故1214．【正確答案】【分析】先得到兩直線平行，求出兩平行線間距離公式求出的最小值，從而得到答案.【詳解】由可知直線，所以當(dāng)且時(shí)，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以，即的取值范圍是．故15．【正確答案】【分析】求導(dǎo)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上只有一個(gè)變號(hào)的根，構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題.【詳解】，令，得，由題意知在區(qū)間上只有一個(gè)變號(hào)的根，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，如圖：所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上只有一個(gè)變號(hào)的根，即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的最小值為．故答案為.16．【正確答案】15【分析】由點(diǎn)差法得到，同理得到，從而得到.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，兩式相減，得，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，同理，因?yàn)?，所以．?517．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求出結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、不等式的解法即可得出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，又是和的等差中?xiàng)，所以，即，解得，所以．（2）因?yàn)?，所以，由，得，又，所以使成立的最大正整?shù)為44．18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)列方程求解即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出單調(diào)性寫(xiě)出極值和最值即可得出值域.【詳解】（1）由，得，又當(dāng)時(shí)，有極值－5，所以，解得所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值．所以．（2）由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134+0－0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域?yàn)椋?9．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系得到，借助數(shù)量積公式計(jì)算即可;（2）利用向量法求出平面與平面的法向量，求出二面角的余弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因?yàn)椋?所以．因?yàn)?，所以，即．?）由（1）得．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以．因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)椋Y(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合分組求和法與錯(cuò)位相減法,求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以．由，得，兩式相減，得，即，所以是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，因此的通項(xiàng)公式，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，又，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由及，得，所以設(shè)的前項(xiàng)和為，則．設(shè)的前項(xiàng)和為，則，兩式相減，得，所以．所以．21．【正確答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)離心率和的最小值求出橢圓的方程，根據(jù)共焦點(diǎn)得出拋物線的方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式和拋物線的定義列出方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的離心率是，得，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，所以橢圓的方程為．因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，所以，所以拋物線的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，不符合條件，舍去．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，．所以．聯(lián)立，得，，則，因?yàn)?，所以，解得．所以直線的方程為或．22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增得，再結(jié)合不等式求最小值即可；（2）