/2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分共40分）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A．有最大值1 B．有最小值1C．有最大值2 D．有最小值24．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C．0 D．15．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線的漸近線方程是A． B．C． D．6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．1或7．若橢圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)，則（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)，使得為定值，則該定值為（

）A． B． C．4 D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分共20分）9．關(guān)于橢圓，以下說法正確的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B．焦距為C．離心率為 D．左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為10．已知直線m方程為，則下列說法中正確的是（

）A．直線m斜率為 B．直線m橫截距為1C．直線m縱截距為 D．點(diǎn)不在直線m上11．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率不相等12．已知方程表示橢圓，下列說法正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．若該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4 D．若，則該橢圓經(jīng)過點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題，每題5分共20分）．13．若雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C分別交于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．15．已知點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若＝0，則△P的面積為．16．已知橢圓，圓，過原點(diǎn)且斜率為正的直線與圓相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是.四、解答題（本大題共6小題，共70分，第17題10分，18--22題每題12分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知向量，．(1)求與的夾角余弦值．(2)若，求實(shí)數(shù)的值．18．（1）將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心和半徑：①；②．（2）已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成的角的余弦值．20．（1）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．（2）如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程．21．橢圓的離心率，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，又點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程．22．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.1．D【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得.故選：D.2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以的共軛?fù)數(shù)為，其虛部為.故選：C.3．D【分析】由基本不等式求和的最小值.【詳解】已知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則有最小值.故選：D.4．D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意知向量，，，故，故選：D5．D【分析】由題求已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出值即可得答案．【詳解】由題可知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又因?yàn)殡x心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關(guān)鍵是判斷出焦點(diǎn)位置后求得，屬于簡(jiǎn)單題．6．B【分析】由雙曲線的方程求得，且，得出點(diǎn)在的左支上，根據(jù)雙曲線的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意知，，所以點(diǎn)在的左支上，所以即，所以.故選：B.7．D【分析】先判斷與的值，再由即可求得.【詳解】因?yàn)椋裕越Y(jié)合橢圓方程，可得，，即，，由題意可知，即，解得．故選：D.8．A【分析】設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)已知列式化簡(jiǎn)得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，由橢圓的定義得出為橢圓的兩焦點(diǎn)，即可根據(jù)橢圓的定義得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，由，得，點(diǎn)在橢圓上，，，則代入，得，，，將代入，得，得由，得，則，直線與直線斜率之積為，即，得，則，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)，使得為定值，則為橢圓的兩焦點(diǎn)，則，故選：A.9．ABC【分析】根據(jù)橢圓方程確定，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由條件可知，，，那么，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，離心率，左頂點(diǎn)，故ABC正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．AC【分析】A選項(xiàng)，變形為，得到斜率；B選項(xiàng)，令求出橫截距；C選項(xiàng)，令求出縱截距；D選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)即可.【詳解】A選項(xiàng)，變形為，故直線m斜率為，A正確；B選項(xiàng)，中令得，，故直線m橫截距為-1，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，中令得，，故直線m縱截距為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在直線m上，D錯(cuò)誤.故選：AC11．CD【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為.故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)不相等，的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．12．BC【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得，且，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以，解得，故B正確；C：若，則橢圓方程為，所以，從而，故C正確；D：若，則橢圓方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，即該橢圓不經(jīng)過點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.13．【分析】由漸近線方程得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線的離心率為.故答案為.14．20【分析】由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．【詳解】由，得，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．故20.15．20【分析】根據(jù)已知求出，根據(jù)即得的面積.【詳解】

因?yàn)椋?，所以⊥，所以△是直角三角形．由橢圓定義知||＋||＝6，①又，②由－②得，因?yàn)?，所?故20.16．##【分析】由題意畫出圖形，根據(jù)已知條件求出直線的斜率，求出直線，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)公式，將點(diǎn)代入方程中得到一個(gè)關(guān)于的方程，然后結(jié)合得出關(guān)于橢圓離心率的方程解出即可.【詳解】由題意如圖所示：

圓的圓心為，半徑，由題意得直線的斜率，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程，即，由圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑即：，化簡(jiǎn)得：，解得，所以，由于點(diǎn)在直線上，所以設(shè)，所以，又圓與直線相切則有，且，所以，所以有，則，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，由點(diǎn)在橢圓上，故有：，化簡(jiǎn)整理得：，所以橢圓的離心率為：，故答案為.方法總結(jié)：求橢圓離心率的方法：（1）簡(jiǎn)單類：知道直接用公式計(jì)算即可（2）較難類：根據(jù)已知條件建立關(guān)于的齊次式方程解出即可.17．(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與的夾角余弦值．（2）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).【詳解】（1）由題設(shè).（2）由，又，所以，則.18．（1）①答案見解析；②答案見解析；（2）．【分析】（1）①②化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫出圓心、半徑即得.（2）由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，列出不等式并求解即得.【詳解】（1）①標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為3；②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為.（2）由點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌媲沂蔷匦?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面所成的角的余弦值為.20．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程，化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，再利用點(diǎn)在圓上，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)代入法即可求得的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)d是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合，則，將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即，所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓．（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，把，代入上述方程，得，即所求軌跡方程為.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，直線：，并聯(lián)立直線和橢圓方程求出，，再將面積表達(dá)出即可利用求函數(shù)最值的方法求出直線.【詳解】（1）令，由題意得：，解得，則∴橢圓的方程為.（2）

由題意可知，直線斜率必存在，故設(shè)，直線：，聯(lián)立，得，。，，，令，則，又∵在單調(diào)遞增，∴當(dāng)即即時(shí)，面積最大，此時(shí)直線.22．(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近