/2024-2025學(xué)年湖南省漣源市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．243．方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知空間向量，，若，則（

）A． B． C． D．5．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或6．若數(shù)列an滿足a2=2，且?m,n∈N?A．21013B．22023C．21012D．210127．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）①的解集是；

②是極小值，是極大值；③沒(méi)有最小值，也沒(méi)有最大值；

④有最大值，沒(méi)有最小值.A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④二、多選題（本大題共4小題）9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．為函數(shù)的零點(diǎn) B．為函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最小值10．已知等差數(shù)列的公差不為0，且，，成等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．11．設(shè)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線與在第一象限相交于一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線傾斜角的余弦值為 B．若，則的離心率C．若，則的離心率 D．不可能是等邊三角形12．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)B．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為直線，則C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．曲線在處的切線方程為.14．若圓被直線平分，則圓的半徑為.15．若過(guò)點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則.四、解答題（本大題共6小題）17．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且.(1)求，的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.18．已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.19．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，且是2與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.20．已知分別為雙曲線和雙曲線上不與頂點(diǎn)重合的點(diǎn)，且的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上.(1)設(shè)的斜率分別為，求證：為定值；(2)判斷的面積是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說(shuō)明理由.21．如圖，在五棱錐中，平面，?三角形是等腰三角形.(1)求證：平面平面：(2)求直線與平面所成角的大??；22．已知函數(shù)(1)當(dāng)，求函數(shù)的極值;(2)若，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，證明.

答案1．【正確答案】B【分析】由題意可得直線的斜率為，解方程即可得出答案.【詳解】已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則.故選：B.2．【正確答案】A【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：A3．【正確答案】B【分析】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，解得.故選：B4．【正確答案】A【分析】利用，可得，從而可求解.【詳解】由題意得因?yàn)?，所以，解得，故A正確.故選：A.5．【正確答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義且焦點(diǎn)在軸，列出相應(yīng)方程組，從而可求解.【詳解】由題知表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則有：，解得或，故D正確.故選：D.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出數(shù)列an的首項(xiàng)，并得到a【詳解】令m=n=1，根據(jù)已知可得a2令m=1，則an+1=a所以數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都為a所以a2+a4+a6所以a2+a故選：A7．【正確答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因?yàn)?，所以，所以即，解?故選：B.8．【正確答案】D【分析】令可解x的范圍確定①正確；對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定②正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值的定義分析判斷③、④的正誤，從而得到答案．【詳解】對(duì)①：∵，若，則，解得，∴的解集是，①正確；對(duì)②：又∵，令，則，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是極小值，是極大值，②正確；對(duì)③④：∵，則，∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故無(wú)最小值；又∵，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；綜上所述：對(duì)，，即為的最大值；故③錯(cuò)誤，④正確；故選：D.9．【正確答案】BC【分析】由圖中與0的大小關(guān)系可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值、零點(diǎn)和最值的定義判斷各選項(xiàng)的正誤即可得出答案.【詳解】解：由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以為的極小值點(diǎn)，所以B，C均正確；是的零點(diǎn)，但不一定是的零點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；是函數(shù)的極小值，但不一定是最小值，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10．【正確答案】ABC【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，，成等比數(shù)列，求得公差d，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于，，成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，.所以，A選項(xiàng)正確；，，，由于，所以，B選項(xiàng)正確；，，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11．【正確答案】AD設(shè)直線傾斜角為，則，求出可判斷選項(xiàng)；若，可得，在焦點(diǎn)中，由余弦定理得到齊次關(guān)系，即可求出，可判斷選項(xiàng)真假；選項(xiàng)同理求出，可判斷真假；，可判斷選項(xiàng)真假.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，則，所以.在第一象限內(nèi)，若，則，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.若，則，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.由，知不可能為等邊三角形.故選:AD.本題考查雙曲線的離心率，注意余弦定理在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題..12．【正確答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A，再由切線斜率即切點(diǎn)橫坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)判斷B，根據(jù)函數(shù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的正負(fù)判斷D.【詳解】由，可得，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由切線方程知，解得，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為，故函數(shù)一定不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，至多1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC13．【正確答案】根據(jù)條件求出x＝1時(shí)y、y′的值即可表示出切線方程．【詳解】解：根據(jù)題意可得y′＝2xlnx+x﹣，則當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，y′＝﹣1，所以曲線在x＝1處的切線方程為y＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣1＝0，故x+y﹣1＝0．故答案為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．14．【正確答案】【分析】首先根據(jù)條件確定圓心在直線上，代入求后，即可求圓的半徑.【詳解】若圓被直線平分，則直線過(guò)圓心，圓的圓心為，即，解得：，則圓，則圓的半徑為.故15．【正確答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求導(dǎo)求最值即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，由可得，切線的斜率為，所以切線的方程為.又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不是方程的解，所以有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以時(shí)，且當(dāng)趨于0時(shí)，趨于正無(wú)窮，當(dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，趨于正無(wú)窮，且當(dāng)趨于0時(shí)，趨于正無(wú)窮，當(dāng)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮.所以.故16．【正確答案】/0.9【分析】利用與的關(guān)系將已知轉(zhuǎn)化為，并求出的通項(xiàng)公式.再利用與的關(guān)系求出，寫出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消求解.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，,解得符合，∴，，當(dāng)時(shí)，符合，∴，，所以.故17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件列出方程組求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再求直線在坐標(biāo)軸上的截距即可求三角形面積.【詳解】（1）由，得，由題意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.取，得，取，得.∴曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)，，由得，代入圓的方程即得解.【詳解】（1）由題意可知，的中點(diǎn)為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點(diǎn)為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點(diǎn)在圓上，故，所以，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為19．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，在由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），.20．【正確答案】(1)證明見解析(2)定值，1【分析】（1）設(shè)，借鑒點(diǎn)差法原理構(gòu)造求解.（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線，可找到，同理可找出，由面積公式表示出化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）設(shè)，則由的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則，即為定值.（2）（1）（2）聯(lián)立（1）（2）得：同理，設(shè)到直線的距離為，則由（1）知：21．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理得，所以由平行關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)得，即得平面,然后利用面面垂直的判定定理即可證出；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）在中由余弦定理得，解得，所以，即，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由?）得，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè),因?yàn)槭堑妊切危?，，，過(guò)作交于，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，取，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角為.22．【正確答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；（2）由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，則可得，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，而，所以只需證對(duì)任意的恒成立即可.【詳解】（1）．即當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴在處取得極大值，且極大值為，無(wú)極小值