/2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（

）A．1 B．?1C．i D．?i3．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，4．已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則（

）A．8 B．12 C．16 D．245．圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面在直徑為2的同一球面上，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．7．雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．48．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下表所示，評(píng)分用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，則下列說法不正確的是（

）78975410947A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7C．這組數(shù)據(jù)的極差為6D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為910．已知等比數(shù)列{an}滿足，，設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．11．下列給出的命題正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B．兩個(gè)不重合的平面的法向量分別是，則C．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知三棱錐，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，則12．已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓的方程為：B．弦AE的長(zhǎng)度的最大值為C．四邊形ABEF面積的最大值為D．該線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，直線MN恒過定點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.14．如圖所示，已知平面，則．15．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為．16．已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．四、解答題（本大題共6小題）17．移動(dòng)支付是指允許移動(dòng)用戶使用移動(dòng)終端（通常是手機(jī)）對(duì)所消費(fèi)的產(chǎn)品或服務(wù)進(jìn)行支付的一種服務(wù)方式，某金融機(jī)構(gòu)為了了解移動(dòng)支付在大眾中的熟知度，對(duì)歲的人群隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“您會(huì)使用移動(dòng)支付嗎？”其中回答“會(huì)”的共有人，把這人按照年齡分成組，然后繪制成如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.組數(shù)第組第組第組第組第組分組頻數(shù)（1）求；（2）用分層抽樣的方法在，，組中抽取人，求第，，組分別抽取的人數(shù)；（3）在（1）抽取的人中再隨機(jī)抽取人，求所抽取的人來自同一個(gè)組的概率.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．20．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．21．已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，①求在處切線方程；②求在區(qū)間上的最值；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【分析】首先求集合，再求.【詳解】，又，所以.故選：D2．【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故選：D本題考查復(fù)數(shù)除法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可求解.【詳解】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定是：，，故選：B.4．【正確答案】B【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出；再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，即.所以.故選：B.5．【正確答案】A【分析】作圓柱的軸截面，截圓得大圓，圓柱的軸截面矩形是大圓的內(nèi)接矩形，由此可求得圓柱底面半徑，得體積．【詳解】如圖，矩形是圓柱的軸截面，它的外接圓是球的大圓，由題意，，所以，即圓柱底面半徑為，所以．故選：A．本題考查求圓柱的體積，考查球內(nèi)接圓柱問題，解題關(guān)鍵是作出圓柱的軸截面，它的外接圓是球的大圓．6．【正確答案】B【分析】利用圖象得出，，進(jìn)而求得，再代入點(diǎn)坐標(biāo)，可得，進(jìn)而求出.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，，則，．由，解得，則，故，.故選：B7．【正確答案】B【分析】由雙曲線的漸近線與直線垂直求出關(guān)系，計(jì)算離心率即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則，所以曲線的離心率，故選：B8．【正確答案】D【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，將不等式化為，利用的單調(diào)性求解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題設(shè)條件，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.由為奇函數(shù)，得，得，所以，不等式等價(jià)于，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故不等式的解集是．故選：D．9．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)平均數(shù)、眾數(shù)、極差、百分位數(shù)概念的理解分別按步驟求解即可.【詳解】選項(xiàng)A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)中是出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)據(jù)，又其余數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)均小于出現(xiàn)的頻數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，B正確；選項(xiàng)C，這組數(shù)據(jù)中最大數(shù)為，最小數(shù)為，故極差為，C正確；選項(xiàng)D，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，不是整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)據(jù)9，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】ABD【分析】由已知條件可求出，，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，進(jìn)而可判斷A，B，C，再由作差法判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，所以，A正確；對(duì)于B，又因?yàn)?，所以，故，所以，B正確；對(duì)于C，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋驗(yàn)榍?，所以，即，D正確.故選：ABD11．【正確答案】BCD【分析】利用線面平行的向量關(guān)系求解選項(xiàng)A；利用面面垂直的向量表示求解選項(xiàng)B；利用基底的概念求解選項(xiàng)C；利用空間四點(diǎn)共面的定理求解選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，，所以或，A錯(cuò)誤；對(duì)B，，所以，B正確；對(duì)C，利用反證法的思想，假設(shè)三個(gè)向量共面，則，所以，若，則，則共線，與是空間的一組基底矛盾；若，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾；所以假設(shè)不成立，即不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對(duì)D，因?yàn)镻為平面ABC上的一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，則由共面定理以及可得，，所以，D正確；故選:BCD.12．【正確答案】AD【分析】設(shè)圓的圓心為C(－2，b)，根據(jù)題意圓心到直線的距離等于圓心到Q的距離，據(jù)此即可解出b，求出半徑r，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；當(dāng)AE為直徑時(shí)AE長(zhǎng)度最長(zhǎng)；，設(shè)圓心到BF的距離為d，則0≤d≤1，根據(jù)幾何關(guān)系表示出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求四邊形ABEF面積的最大值；根據(jù)MDNC為矩形，對(duì)角線互相平分即可判斷MN經(jīng)過CD中點(diǎn)﹒【詳解】設(shè)圓心為C，圓的半徑為r，由題可知，，∴圓的方程為：，故A正確；當(dāng)AE過圓心C時(shí)，AE長(zhǎng)度最長(zhǎng)為圓的直徑4，故B錯(cuò)誤；如圖，線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，設(shè)，則，，，，∴時(shí)，四邊形ABEF面積有最大值，故C錯(cuò)誤；∵四邊形MDNC為矩形，則MN與CD互相平分，即MN過CD中點(diǎn)()，故D正確.故選：AD.13．【正確答案】3根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，列關(guān)系即得結(jié)果.【詳解】易見，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則到準(zhǔn)線的距離為，等于到焦點(diǎn)的距離為4，即，故，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故3.14．【正確答案】12【分析】首先表示向量，平方后，利用數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】，,因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，則.故15．【正確答案】【分析】根據(jù)條件，代入數(shù)值，即可求解.【詳解】.故16．【正確答案】/【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程為，從而可得，構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則切線方程為，即，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故17．【正確答案】（1）0.030；（2）2人，3人，1人；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖即可求得的值；（2）求出抽取的比例，根據(jù)分成抽樣的概念即可求解；（3）列舉出所有基本事件，根據(jù)古典概型即可求解.【詳解】解：（1）由題意可知（2）第，，組共有人，故抽取的比例為.從第組抽取的人數(shù)為：人從第組抽取的人數(shù)為：人從第組抽取的人數(shù)為：人（3）設(shè)從第組抽取的人分別為，，第組抽取的人分別為，，，第組抽取的人為，則從這人隨機(jī)抽取人，共有：，，，，，，，，，，，，，，個(gè)基本事件.其中符合所抽取的人來自同-一個(gè)組的有個(gè)基本事件所抽取的人來自于同一個(gè)組的概率為.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式，即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，成立，所以；（2）由（1），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）解：設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，∵，∴又，，∴，即，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵

∴.（2）解：由（1）得，又∵∴即且∴面積又由基本不等式得即當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)∴面積故面積的最大值為20．【正確答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)線線平行證線面平行，再根據(jù)線面平行得面面平行，最后根據(jù)面面平行得結(jié)果，（2）先根據(jù)條件得，，兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得各面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由于，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.又且，所以四邊形是平行四邊形.則，又平面，平面，所以平面.所以平面平面.又平面，所以直線平面（2）解：令，由于為中點(diǎn)，則，又側(cè)面底面，交線為，平面，則平面，連接，可知，，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，令平面的法向量為，由則令，則.令平面的法向量為，由則令，則由，故二面角的余弦值為.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21．【正確答案】(1)①；②最小值為，最大值為(2)【分析】（1）①先利用極值點(diǎn)求出參數(shù)值，進(jìn)而得到斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式公式得到切線方程；②先求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解出最值；（2）先進(jìn)行分離變量，求出新函數(shù)的最值，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)橐阎呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以1是方程的根，可得，解得，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故.①因?yàn)?，所以，，所以切線方程為；②因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由，，，且，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，則恒成立，所以恒成立，記，則，令，得，令，得，令，得，列表如下：↗↘所以函數(shù)的極大值也是最大值為，由恒成立得，所以.22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列式求，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式整理得，進(jìn)而可得取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，