/2024-2025學(xué)年江蘇省東臺(tái)市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則下列選項(xiàng)正確是（

）.A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．科學(xué)家以里氏震級(jí)來(lái)度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)為地震時(shí)所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量程度，則里氏震級(jí)可定義為.2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生里氏6.2級(jí)地震，則汶川地震所散發(fā)出來(lái)的能量與積石山縣地震所散發(fā)出來(lái)的能量的比值為（

）.A．10 B．100 C．1000 D．100004．函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（

）.A． B．C． D．5．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，則（

）.A． B． C． D．6．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是（

）.A． B． C． D．7．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位8．已知，且，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．冪函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（

）.A． B．函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C． D．函數(shù)的值域?yàn)?0．狄里克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，于1837年提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀(guān)點(diǎn)，用其名字命名的“狄里克雷函數(shù)”為，下列敘述中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．11．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（

）.A．的最小正周期為B．為偶函數(shù)C．在區(qū)間內(nèi)的最小值為1D．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)12．已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）.A．，B．函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．方程有唯一解D．直線(xiàn)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．計(jì)算.14．古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫(huà)，題字題畫(huà)的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線(xiàn)的長(zhǎng)為，內(nèi)弧線(xiàn)的長(zhǎng)為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線(xiàn)段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為.15．若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，，都有，且時(shí)，有，若的最大值為，最小值為，則的值為.16．已知函數(shù)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題）17．設(shè)集合，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知.(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；(2)若，求.19．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期|的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見(jiàn)下表：000(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在區(qū)間恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．國(guó)內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（共計(jì)30天，包括第30天），其主營(yíng)產(chǎn)品在第x天的指導(dǎo)價(jià)為每件（元），且滿(mǎn)足，第天的日交易量（萬(wàn)件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第x天12510Q(x)（萬(wàn)件）14.011210.810.38(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中為常數(shù).請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)擬合該產(chǎn)品日交易量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月（共計(jì)天，包括第天）的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)水平維持上個(gè)月的水平基本不變，由（1）預(yù)測(cè)并求出該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的.21．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值并用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知非常值函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在正?shí)數(shù)，使得，都有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；①；②.(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求的最小值；

答案1．【正確答案】B【分析】利用元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由元素與集合的關(guān)系可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由元素與集合的關(guān)系可知，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由元素與集合的關(guān)系可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由集合與集合的關(guān)系可知，故D錯(cuò)誤.故選：B2．【正確答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】充分性：若，又，則，故充分性成立；必要性：若，，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．【正確答案】C【分析】分別求出汶川地震所散發(fā)出來(lái)的能量和積石山縣地震所散發(fā)出來(lái)的能量即可求解.【詳解】設(shè)汶川地震所散發(fā)出來(lái)的能量為，積石山縣地震所散發(fā)出來(lái)的能量為，所以，，所以，，所以.故選：C.4．【正確答案】A【分析】先根據(jù)求得，再根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合中間值比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所?故選：A5．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義求解，再利用三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】由角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即，解得或（舍去），所以或（舍去），所以.故選：A6．【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：D.7．【正確答案】A【詳解】，設(shè)，，令，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.選A.8．【正確答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)不等式解得，記，由條件得，則，構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)單調(diào)性求值域即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，記，則，從而，，令，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B9．【正確答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由冪函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由為冪函數(shù)可得，解得或，又，所以.所以，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，知函數(shù)為偶函數(shù)，由于，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，所以的值域?yàn)?，故D正確.故選：AD.10．【正確答案】ABD【分析】A.分x是有理數(shù)和x是無(wú)理數(shù)討論求解判斷；B.分x是有理數(shù)和x是無(wú)理數(shù)討論求解判斷；C.由求解判斷；D.分x是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)討論求解判斷.【詳解】A.當(dāng)x是有理數(shù)，則-x是有理數(shù)，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)，則-x是無(wú)理數(shù)，所以，則是偶函數(shù)，故正確；B.當(dāng)x是有理數(shù)，則x+2有理數(shù)，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)，則x+2是無(wú)理數(shù)，所以，故正確；C.當(dāng)時(shí)，，，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，，故正確，故選：ABD11．【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，可得，，故選項(xiàng)A正確；由得，又，所以，所以，所以，因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)，可得，所以，所以，故在區(qū)間內(nèi)的最小值為1，選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，即函數(shù)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】ABD【分析】A項(xiàng)，作出函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；B項(xiàng)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)，作出函數(shù)即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；C項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)得出函數(shù)的表達(dá)式，作出兩函數(shù)圖象即可得出方程的解的個(gè)數(shù)；D項(xiàng)，作出直線(xiàn)與兩函數(shù)圖象即可得出交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意，A項(xiàng)，在中，作出函數(shù)圖象如下圖所示，由上圖可知，，故正確；B項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，，即與的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象如下，可知函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)，在中，作出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，∴兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，方程有4解，∴方程不止有唯一解，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由圖可知，直線(xiàn)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，D正確；故選：ABD.13．【正確答案】/【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】.故14．【正確答案】3【分析】利用扇形弧長(zhǎng)與扇形的中心角的關(guān)系，求得，進(jìn)而可得該扇形的中心角的弧度數(shù).【詳解】依題意可得弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為，如圖，則，則，即．因?yàn)?，所以，則，所以該扇形的中心角的弧度數(shù).故3.15．【正確答案】4048【分析】先計(jì)算得到，再構(gòu)造函數(shù)，定義法判斷奇偶性，利用對(duì)稱(chēng)性有，即可求解.【詳解】令得，所以，令得，所以，令，則，，因?yàn)?，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故404816．【正確答案】【分析】設(shè)，畫(huà)出函數(shù)圖象，分類(lèi)討論，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則，令，則方程為，即，，又，當(dāng)時(shí)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，只需只有一解，即函數(shù)與，只有一個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；當(dāng)時(shí)，，方程的解為和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，顯然方程只有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，方程的解為和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，顯然方程只有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，只需有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)與，有兩個(gè)不同的個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此類(lèi)問(wèn)題的常用解法是將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法得到結(jié)果，本題的關(guān)鍵是采用換元法，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合二次函數(shù)圖象列出不等式，解出即可.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，再利用交集運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)并集運(yùn)算性質(zhì)得，然后根據(jù)與分類(lèi)討論即可求解.【詳解】（1）由得，，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，.18．【正確答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)即可；（2）分式中分子分母同除，化弦為切即可求解.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，所?19．【正確答案】(1)；，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件依次求得、、的值，從而求得的解析式.（2）先求出在區(qū)間上的最大值，從而，從而可求解.【詳解】（1）根據(jù)五點(diǎn)法的表格中，，，可知，，，所以，，，得，所以，令，解之得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由于，則，所以，則，因?yàn)樵趨^(qū)間恒成立，所以，所以的取值范圍為.20．【正確答案】(1)選擇模型②，(2)，4【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的變化得到選擇模型②，并選擇中間兩組數(shù)據(jù)，待定系數(shù)法求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求出的解析式，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值，比較后得到結(jié)論.【詳解】（1）由給出數(shù)據(jù)可知：隨著自變量增大，函數(shù)值在變小，同時(shí)函數(shù)模型①是遞增的指數(shù)型函數(shù)，又模型②為遞減的反比型函數(shù)，故選擇模型②，觀(guān)察表格中的4組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)簡(jiǎn)潔并且易于計(jì)算的角度，理應(yīng)選擇中間兩組數(shù)據(jù)，即，解得，可以檢驗(yàn)相對(duì)合理，從而；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故在時(shí)，有最小值，最小值為萬(wàn)元，又，綜上所述，當(dāng)時(shí)取得最小值.21．【正確答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求解，檢驗(yàn)即可，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)值域及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，則，于是得，解得，所以，滿(mǎn)足，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，則，于是得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由是上的奇函數(shù)，可化為，由在上單調(diào)遞增可得，即，，則，令，當(dāng)，即時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．【正確答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義建立方程求解，即可判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（2）根據(jù)函數(shù)新定義知恒成立，令，則對(duì)恒成立，根據(jù)和分類(lèi)討論求得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的周期性建立不等式求解即可.【詳解】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由如下：①假設(shè)具有性質(zhì)，即存在正數(shù)，使得恒成立，則對(duì)恒成立，則此時(shí)無(wú)解，故假設(shè)不成立，所以不具有性質(zhì).②取，則，即存在正數(shù)使對(duì)恒成立，所以具有性質(zhì)；（2）因?yàn)楹瘮?shù)具