4.2.4隨機變量的數(shù)字特征（課時1）第四章概率與統(tǒng)計人教B版（2019）素養(yǎng)目錄02掌握二項分布的均值，了解超幾何分布的均值；01理解離散型隨機變量的數(shù)學期望(均值)；03掌握離散型隨機變量的數(shù)學期望(均值)的性質(zhì)，能用數(shù)學期望(均值)解決一些簡單的實際問題.新知導入【情境與問題】一家投資公司在決定是否對某創(chuàng)業(yè)項目進行資助時，經(jīng)過評估后發(fā)現(xiàn)：如果項目成功，將獲利5000萬元；如果項目失敗，將損失3000萬元.設這個項目成功的概率為p，而你是投資公司的負責人，如果僅從平均收益方面考慮，則p滿足什么條件時，你才會對該項目進行資助？為什么？探究新知上述情境中，平均收益顯然與p的取值有關.【思考】一般情形下的平均收益該怎樣確定呢？當p=1時，平均收益應為5000萬元；當p=0時，平均收益應為-3000萬元.探究新知成功的概率為p，指的是如果重復這個創(chuàng)業(yè)項目足夠多次(設為n次)，則成功的次數(shù)可以用np來估計，而失敗的次數(shù)可以估計為n-np=n(1-p).如何理解“成功的概率為p”？因此，在這n次試驗中，投資方收益（單位：萬元）的n個數(shù)據(jù)可以估計為：5000，5000，…，5000.np個-3000，-3000，…，-3000.n(1-p)個探究新知這一組數(shù)的平均數(shù)為因為上述平均數(shù)體現(xiàn)的是平均收益，所以當5000p+(-3000)(1-p)>0，即p>0.375時，就應該對創(chuàng)業(yè)項目進行資助.探究新知如果設投資公司的收益為X萬元，則X這個隨機變量的分布列如下表所示X5000-3000Pp1-p從上面的分析看出，式子5000p+(-3000)(1-p)刻畫了X取值的平均水平.一般地，如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.離散型隨機變量的均值Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn則稱為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望(簡稱為期望)離散型隨機變量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻畫了X的平均取值.在離散型隨機變量X的分布列的直觀圖中，E(X)處于平衡位置.探究新知

探究新知例1已知隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，求E(X).

所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p.常見分布的均值名稱兩點分布二項分布X~B(n，p)超幾何分布X~H(N，n，M)公式E(X)=pE(X)=np探究新知【嘗試與發(fā)現(xiàn)】已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示.設a，b都是實數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機變量，那么，這兩個隨機變量的均值之間有什么聯(lián)系呢？Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn探究新知若X與Y都是隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則由X與Y之間分布列的關系可知探究新知事實上，在前述的情境與問題中，如果項目成功，記W=1；如果項目失敗，記W=0.則可知W服從參數(shù)為p的兩點分布，E(W)=p.另一方面，W與收益X之間的關系可以寫成X=8000W-3000，因此E(X)=8000E(W)-3000=8000p-3000.探究新知例2

體檢時，為了確定體檢人員是否患有某種疾病，需要對其血液進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病；若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病.已知每位體檢人患有該疾病的概率均為0.1，化驗結(jié)果不會出錯，而且體檢人是否患有該疾病相互獨立.現(xiàn)有5位體檢人的血液待檢查，有以下兩種化驗方案：方案甲：逐個檢查每位體檢人的血液；方案乙：先將5位體檢人的血液混在一起化驗一次，若呈陽性，則再逐個化驗；若呈陰性，則說明每位體檢人均未患有該疾病，化驗結(jié)束.(1)哪種化驗方案更好？(2)如果每次化驗的費用為100元，求方案乙的平均化驗費用.探究新知解：(1)方案甲中，化驗的次數(shù)一定為5次.方案乙中，若化驗次數(shù)為X，則X的取值范圍是{1，6}，所以P(X=1)=0.59049，P(X=6)=1-0.59049=0.40951，從而E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755.方案乙的平均檢查次數(shù)不到5次，因此方案乙更好.因為5人都不患病的概率為(1-0.1)5=0.59049，探究新知(2)若記方案乙中，檢查費用為Y元，則Y=100X，即方案乙的平均化驗費用為304.755元.則E(Y)=100E(X)=304.755.CBDC小結(jié)離散型隨機變量X的