PAGE2附錄A主要符號(hào)表本文件中使用了以下主要的符號(hào)：c靈敏系數(shù)（一階偏導(dǎo)數(shù)）f測(cè)量模型（顯示）h測(cè)量模型（隱式）m輸出量數(shù)量N輸入量數(shù)量Q輸入量，用于計(jì)算其他輸入量(X)s標(biāo)準(zhǔn)偏差u標(biāo)準(zhǔn)不確定度X輸入量x輸入量估計(jì)值Y輸出量y輸出量估計(jì)值其他符號(hào)，特別是例子中出現(xiàn)的符號(hào)，在出現(xiàn)時(shí)均已說(shuō)明。附錄B線性時(shí)不變系統(tǒng)建模動(dòng)態(tài)測(cè)量B.1概述B.1.1動(dòng)態(tài)測(cè)量是指被測(cè)量及至少一個(gè)輸入量是動(dòng)態(tài)量，即與時(shí)間相關(guān)的量，并且測(cè)量系統(tǒng)的行為取決于其動(dòng)態(tài)特性。一個(gè)重要方面是，動(dòng)態(tài)量之間的關(guān)系通常通過(guò)信號(hào)處理[131]和系統(tǒng)論[112]的方法描述，而非代數(shù)方程。然而，通過(guò)將連續(xù)時(shí)間模型轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間模型，一些動(dòng)態(tài)測(cè)量模型可以轉(zhuǎn)換為能用JCGM102:2011處理的多變量模型。本條款提供連續(xù)和離散時(shí)間動(dòng)態(tài)模型的介紹性材料，并在適用時(shí)引用相關(guān)文獻(xiàn)資源。B.1.2動(dòng)態(tài)測(cè)量見(jiàn)于計(jì)量學(xué)的許多領(lǐng)域，如加速度測(cè)量[116]、動(dòng)態(tài)力測(cè)量[105]、動(dòng)態(tài)壓力測(cè)量[49]、水聽(tīng)器測(cè)量[161]或超快示波器測(cè)量[74]。在所有這些應(yīng)用中，測(cè)量系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)來(lái)建模，線性和時(shí)不變性的定義見(jiàn)B.2.2和B.2.3。在某種意義上，LTI系統(tǒng)可以視作JCGM100:2008的測(cè)量系統(tǒng)對(duì)于動(dòng)態(tài)輸入量和輸出量的最簡(jiǎn)單的擴(kuò)展。關(guān)于一般非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[148]等。B.2連續(xù)時(shí)間模型B.2.1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入信號(hào)Y(t)和輸出信號(hào)X(t)之間的關(guān)系在數(shù)學(xué)上表示為：X(t)=其中，?表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型。B.2.2如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型在其動(dòng)態(tài)輸入量呈線性，則稱之為線性系統(tǒng)，也就是說(shuō)，對(duì)于動(dòng)態(tài)量Y1t和Y2t以及實(shí)值比例因子c1?系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)量呈線性不應(yīng)與非動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的線性混淆。B.2.3當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型不隨時(shí)間變化時(shí)，稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，也就是說(shuō)，假如?Y則Y(t)的時(shí)移將導(dǎo)致X(t)產(chǎn)生相同的時(shí)移，即?B.2.4對(duì)于LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入量Y(t)和系統(tǒng)輸出量X(t)之間的關(guān)系由卷積方程[131]給出：X其中，H(t)表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)??B.2.5或者說(shuō)，系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出之間的關(guān)系可以通過(guò)具有系統(tǒng)矩陣A、B、C和D的線性狀態(tài)空間系統(tǒng)模型來(lái)建模：dZtB.2.6在數(shù)學(xué)上，LTI系統(tǒng)?可以用不同的等價(jià)形式表示（如[112，131]）?；拘问绞窍到y(tǒng)在拉普拉斯域中的傳遞函數(shù)H(s)，s為復(fù)變量，所有其他表示均可以由其導(dǎo)出。例如，系統(tǒng)在頻域中通過(guò)其頻率響應(yīng)H(j)表示，是通過(guò)傳遞函數(shù)中令s=j獲得的；而時(shí)域脈沖響應(yīng)H(t)注1因此，LTI系統(tǒng)的校準(zhǔn)結(jié)果可以是傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)或脈沖響應(yīng)，結(jié)果可以是參數(shù)化的或非參數(shù)化的。注2在本文件中的其他地方虛數(shù)單位用i表示，而在信號(hào)分析和相關(guān)領(lǐng)域中常用j表示。B.3離散時(shí)間模型B.3.1在本子條款中，假定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)輸出X(t)的模數(shù)轉(zhuǎn)換導(dǎo)致一個(gè)等距的離散時(shí)間動(dòng)態(tài)量X=Xt1,…B.3.2時(shí)域中的隱式測(cè)量模型為：X其中，H表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的脈沖響應(yīng)。頻域中的隱式測(cè)量模型為：Xf其中，H在此上下文中表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的頻率響應(yīng)。B.3.3時(shí)域中的顯式模型可以通過(guò)構(gòu)建一個(gè)數(shù)字反卷積濾波器來(lái)導(dǎo)出：濾波器的輸入為觀測(cè)到的系統(tǒng)輸出X，輸出為動(dòng)態(tài)被測(cè)量Y的近似[56]。因此，在所選頻率以下，濾波器的頻率響應(yīng)等于系統(tǒng)頻率響應(yīng)的倒數(shù)。在該頻率以上，濾波器則呈現(xiàn)低通特性，衰減高頻噪聲。顯式測(cè)量模型如下：Y其中，Ts表示采樣間隔的持續(xù)時(shí)間。濾波器系數(shù)A=A1,…,ANa?和B=例對(duì)于以頻率響應(yīng)Hfr在頻率f1,…,fM處校準(zhǔn)的LTI測(cè)量系統(tǒng)，設(shè)計(jì)系數(shù)為A=A0,…,AL?H而在該頻率之上，頻率響應(yīng)為零。因此，數(shù)字濾波器在頻段0,ωup中近似系統(tǒng)模型的逆，并衰減更高頻率的頻率分量。高頻分量的衰減是必需的，以避免其他形式的強(qiáng)噪聲放大。例如，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬系統(tǒng)模型逆的FIR濾波器，并與一個(gè)FIR低通濾波器級(jí)聯(lián)使用Y其中a=a0,…,aL?表示FIR濾波器系數(shù)的估計(jì)值，其協(xié)方差矩陣為Ua，則u其中，Uxn表示xn=B.3.4頻域中的顯式模型可以通過(guò)變換隱式模型(37)，并乘以為衰減高頻噪聲而選定的低通濾波器的頻率響應(yīng)HLf導(dǎo)出Y或者通過(guò)實(shí)施季霍諾夫(Tikhonov)正則化方法導(dǎo)出[157]。此類測(cè)量模型的不確定度傳播可采用JCGM102:2011中的方法[58,74]處理。例為了表征醫(yī)用超聲設(shè)備，使用水聽(tīng)器來(lái)測(cè)量確定的超聲脈沖波形。由于大多數(shù)水聽(tīng)器的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)不完美，因此必須對(duì)測(cè)量設(shè)備的影響進(jìn)行修正[161]。例如，基于經(jīng)校準(zhǔn)的水聽(tīng)器頻率響應(yīng)，可以在頻域中進(jìn)行反卷積，從而得到測(cè)量模型：Y其中，Xfr和Yfr在頻率f1,…,fM處分別表示X=X1,…,XM?Yr=1,因此，測(cè)量模型是多變量的，JCGM102:2011可應(yīng)用于不確定度傳播[58]。圖10所示的是在進(jìn)行離散傅里葉逆變換并不確定度傳播后，在時(shí)域中所獲得的估計(jì)值y=y1,…,yM?，以及相關(guān)的逐點(diǎn)不確定度圖10：水聽(tīng)器壓力輸入信號(hào)的估計(jì)值和逐點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（實(shí)線），以及用參考儀器獲得的值（虛線）

附錄C建模隨機(jī)變異C.1概述C.1.1隨機(jī)變異大多數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)集都存在變異。有些變異源于可測(cè)量并進(jìn)行修正的效應(yīng)。然而，有些變異是不可預(yù)測(cè)且無(wú)法修正的。變異有時(shí)只是測(cè)量條件、試驗(yàn)材料或其他現(xiàn)象中微小波動(dòng)累積的結(jié)果。在其他情況下，例如輻射計(jì)數(shù)，變異則可能是所考慮系統(tǒng)的一個(gè)基本特征。這種不可預(yù)測(cè)的變異通常被視作隨機(jī)變異并進(jìn)行建模。由于隨機(jī)變異的存在，所有完整的測(cè)量模型中至少應(yīng)包含一些代表隨機(jī)變異的項(xiàng)。C.1.2隨機(jī)變異建模中的考慮在隨機(jī)變異建模中，應(yīng)考慮：輸入量觀測(cè)值中的隨機(jī)變異必然將導(dǎo)致相應(yīng)的被測(cè)量值中的隨機(jī)變異，因此，隨機(jī)變異通?？梢越榕c單個(gè)輸入量相關(guān)的效應(yīng)，或建模為與被測(cè)量相關(guān)的效應(yīng)，這是建模中要做的重要選擇；重復(fù)觀測(cè)中的隨機(jī)變異將受到特定一組測(cè)量過(guò)程中輸入量中發(fā)生的任何隨機(jī)變異的影響。然而，并非所有輸入量在給定的一組測(cè)量中都必然發(fā)生變異，有些甚至可能是常數(shù)。因此，特定觀測(cè)數(shù)據(jù)集中的變異通常只包含某些輸入量中的變異。應(yīng)特別注意避免“重復(fù)計(jì)算”或遺漏某些隨機(jī)效應(yīng)；隨機(jī)變異的規(guī)模通常會(huì)隨觀測(cè)變異的時(shí)間周期而變化。多個(gè)隨機(jī)效應(yīng)可能需要提供模型，以對(duì)不同時(shí)間尺度上變異效應(yīng)進(jìn)行建模；隨機(jī)效應(yīng)不一定是相互獨(dú)立的，因而有必要考慮協(xié)方差；以及每個(gè)隨機(jī)效應(yīng)的實(shí)例數(shù)量取決于測(cè)量所用的特定實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。因此，一個(gè)完整的隨機(jī)變異模型應(yīng)針對(duì)特定的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。C.2將隨機(jī)變異納入測(cè)量模型C.2.1納入隨機(jī)變異的選項(xiàng)在測(cè)量模型中顯式地納入隨機(jī)變異的最簡(jiǎn)單方法是引入一個(gè)項(xiàng)，該項(xiàng)代表每個(gè)隨機(jī)變異來(lái)源的效應(yīng)，或包含若干隨機(jī)變異來(lái)源的組合。納入隨機(jī)變異有兩種主要選項(xiàng)（見(jiàn)C.1.2），可以視作兩個(gè)極端特例。一種選項(xiàng)是將隨機(jī)變異與每個(gè)單獨(dú)輸入量相關(guān)聯(lián)（見(jiàn)C.2.2），另一個(gè)極端是將所有隨機(jī)變異與被測(cè)量相關(guān)聯(lián)（見(jiàn)C.2.3）。C.2.2與現(xiàn)有輸入量相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變異當(dāng)隨機(jī)變異與模型中某個(gè)現(xiàn)有輸入量相關(guān)聯(lián)時(shí)，通常只需在該量的概率分布中考慮隨機(jī)效應(yīng)就足夠了。這種擴(kuò)展可以簡(jiǎn)單到僅增大現(xiàn)有概率分布的方差，此時(shí)，新的隨機(jī)效應(yīng)視為某特定輸入量不確定度的一個(gè)額外貢獻(xiàn)。更普遍地，可以將新的隨機(jī)效應(yīng)作為新項(xiàng)納入模型中。例如，一種簡(jiǎn)單方法是在模型中增加一個(gè)期望值為零的相加項(xiàng)，并規(guī)定其適當(dāng)?shù)母怕史植技捌鋮?shù)。本子條款中的示例將說(shuō)明這兩種選項(xiàng)，首先是顯示識(shí)別新的隨機(jī)效應(yīng)。例1在濃度的簡(jiǎn)單計(jì)算中加上一個(gè)隨機(jī)效應(yīng)飲用水中污染物的濃度x的簡(jiǎn)單模型如下：x=其中，Ix是已知體積的試驗(yàn)材料所觀測(cè)到的色譜峰面積，xref是參考溶液的（已知的）濃度，Iref是相同體積的參考溶液的色譜峰面積。為了顯式地考慮例如觀測(cè)到的試驗(yàn)材料的峰面積中的隨機(jī)變異，對(duì)模型的一種簡(jiǎn)單擴(kuò)展可能是：x=I其中εx該模型表明，觀測(cè)峰面積中的隨機(jī)變異建模為峰面積上的加性效應(yīng)，具有正態(tài)分布，其中心值為零、方差σI2。注意，完整的統(tǒng)計(jì)模型(41)和(42)，分布的聲明。例2簡(jiǎn)化地將隨機(jī)效應(yīng)納入現(xiàn)有輸入量本款的例1還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。不是引入新的、以零為均值的項(xiàng)εx，而是直接將概率分布與峰面積Ix關(guān)聯(lián)，此時(shí)模型變?yōu)椋簒=（看起來(lái)與未修改模型相同。）I其中，μI是峰面積（真）均值。在簡(jiǎn)單情形下，可以用測(cè)得值代替真值μI來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這種表示法本質(zhì)上等同于統(tǒng)計(jì)模型(41)和(42)。為清楚起見(jiàn)，上述模型已進(jìn)行了簡(jiǎn)化。在實(shí)際中，對(duì)于峰面積的真值通常并不關(guān)注。更完整的統(tǒng)計(jì)模型表明峰面積Ix與濃度真值μx成正比，如果用這種方式重寫模型，它將是一個(gè)需要求解μx的隱式統(tǒng)計(jì)模型，由此，當(dāng)方差較小時(shí)，模型(40)可得到很好的近似。C.2.3隨機(jī)變異作為與被測(cè)量相關(guān)的效應(yīng)C.2.3.1將隨機(jī)變異作為一個(gè)影響測(cè)得值的直接效應(yīng)，而不是將其視為對(duì)單個(gè)輸入量產(chǎn)生的一組效應(yīng)，這樣做可能更方便。有時(shí)，這種做法是出于建模便捷性的考量，例如，因?yàn)檠芯坑^測(cè)值的分散性比逐一檢查每個(gè)輸入量更直接。在其他情況下，觀測(cè)值的分散性被發(fā)現(xiàn)大于輸入量中已知變異所能解釋的程度，而且這種額外變異在評(píng)估不確定度時(shí)需要考慮。這兩種情況都可以通過(guò)將隨機(jī)變異的一個(gè)或多個(gè)來(lái)源與被測(cè)量而不是單個(gè)輸入量相關(guān)聯(lián)來(lái)解決。例實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫度中的隨機(jī)變異對(duì)測(cè)得值的效應(yīng)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫度可以通過(guò)多種方式影響測(cè)量，其中包括引入隨機(jī)效應(yīng)。這種效應(yīng)可能是由于實(shí)驗(yàn)室溫度中的隨機(jī)波動(dòng)影響了測(cè)量系統(tǒng)所用電子探測(cè)器的熱學(xué)特性（噪聲基底等）。此類隨機(jī)效應(yīng)不易用數(shù)學(xué)方式表示。然而，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)來(lái)評(píng)估由這些隨機(jī)環(huán)境溫度變化引起的不確定度。例如，如果在一適當(dāng)?shù)臅r(shí)間段內(nèi)（這期間實(shí)驗(yàn)室的溫度以其通常方式波動(dòng)）進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)定，則可以對(duì)這一系列測(cè)定值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并作為測(cè)量的總不確定度的一個(gè)分量納入。另外，靈敏系數(shù)的近似值可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定（見(jiàn)JCGM100:2008，5.1.4）。C.2.3.2如前所述，模型最簡(jiǎn)單的擴(kuò)展是納入一個(gè)均值為零的加性效應(yīng)。當(dāng)觀測(cè)值的分散性在很大程度上與所感興趣范圍內(nèi)被測(cè)量的值無(wú)關(guān)時(shí)，這種擴(kuò)展最有用。與現(xiàn)有輸入量相關(guān)的隨機(jī)變異：另一種表示方式在C.2.2的例1中，另一種表達(dá)方式如下：xεx其中，σx涵蓋一組特定測(cè)量條件下隨機(jī)變異的所有來(lái)源。C.2.3.3當(dāng)已知標(biāo)準(zhǔn)偏差在相關(guān)量值的范圍內(nèi)與測(cè)得值近似成正比時(shí)，選擇乘性項(xiàng)而非加性項(xiàng)會(huì)更有用。將新項(xiàng)均值設(shè)置為1，標(biāo)準(zhǔn)偏差等于觀測(cè)值的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。另見(jiàn)10.3.4。將隨機(jī)效應(yīng)作為加性項(xiàng)或乘性項(xiàng)處理會(huì)得到不同的模型。當(dāng)分散性比較?。ㄈ缦鄬?duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差遠(yuǎn)小于0.1）時(shí)，這些模型的輸出幾乎相等。然而，通常需要采用不同的計(jì)算方法以獲得無(wú)偏估計(jì)值，而且兩種模型的概率分布也將不同。包含近似恒定相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的隨機(jī)效應(yīng)的模型繼續(xù)討論C.2.3.2中的例子，包含一個(gè)近似恒定相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的隨機(jī)效應(yīng)的簡(jiǎn)單模型如下：xF其中分散性同樣涵蓋特定測(cè)量條件下隨機(jī)變異的所有來(lái)源。C.2.3.4如C.1.2所述，當(dāng)隨機(jī)變異建模為與被測(cè)量直接相關(guān)的效應(yīng)時(shí)，在處理與各個(gè)輸入量相關(guān)的不確定度時(shí)應(yīng)倍加小心，以確保既不重復(fù)計(jì)算也不遺漏這些效應(yīng)。應(yīng)考慮以下具體問(wèn)題：當(dāng)被測(cè)量的每個(gè)測(cè)得值中，某個(gè)輸入量，比如A，只測(cè)量一次（包括多個(gè)觀測(cè)值的單一平均值）時(shí)，重復(fù)性條件下表示A的觀測(cè)值中變異的項(xiàng)可以與輸入量或輸出量相關(guān)聯(lián)，但不能同時(shí)與兩者相關(guān)聯(lián)；以及當(dāng)與輸出量關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變異與復(fù)現(xiàn)性條件有關(guān)時(shí)，重要的是要意識(shí)到，與單個(gè)輸入量相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的一些甚至全部貢獻(xiàn)都可能出現(xiàn)在觀測(cè)到的復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)偏差中。例如，環(huán)境溫度的變化（評(píng)定與體積測(cè)量相關(guān)不確定度時(shí)可能非常重要的一種效應(yīng)）將會(huì)出現(xiàn)在足夠長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)測(cè)得的復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)偏差中。在這種情況下，這些貢獻(xiàn)不應(yīng)既包括在這些輸入量相關(guān)的不確定度中，同時(shí)又隱性出現(xiàn)在與觀測(cè)值相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)效應(yīng)中。注復(fù)現(xiàn)性條件導(dǎo)致的隨機(jī)變異包含絕大多數(shù)影響被測(cè)量值的效應(yīng)，這一事實(shí)是不確定度評(píng)定“自上而下”方法的基礎(chǔ)，將在C.5.2中進(jìn)一步討論。C.3隨機(jī)變異的多元來(lái)源很多情況下可以識(shí)別出不止一個(gè)隨機(jī)變異的原因，例如，環(huán)境條件隨時(shí)間的變化及（如）操作人員的改變，都可以建模為隨機(jī)效應(yīng)。將短期變異（通常在一次測(cè)量運(yùn)行之內(nèi)）與長(zhǎng)期變異分開(kāi)，往往很有用。這種分離確保平均效應(yīng)在不確定度評(píng)定中得到適當(dāng)?shù)姆从?。這些單獨(dú)識(shí)別出來(lái)的變異來(lái)源是統(tǒng)計(jì)模型的常見(jiàn)特征，處理方法是直接擴(kuò)展模型，將隨機(jī)變異效應(yīng)（甚至是多個(gè)來(lái)源）作為附加項(xiàng)納入模型之中。效應(yīng)的分離短時(shí)間內(nèi)（一次測(cè)量運(yùn)行或一天）獲得的觀測(cè)值的變異通常比不同次測(cè)量運(yùn)行中獲得的觀測(cè)值的變異小得多，認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)可能很有用。對(duì)模型進(jìn)行如下簡(jiǎn)單的擴(kuò)展以允許納入第二個(gè)此類“隨機(jī)效應(yīng)”：X=項(xiàng)，具有自己的概率分布，具有均值（通常為零）和可通過(guò)如方差分析等統(tǒng)計(jì)方法表征的方差。注1（43）這樣的模型通?？梢曌鳌胺謱蛹?jí)的”，即同一測(cè)量運(yùn)行中的所有測(cè)得值均具有相同的“運(yùn)行”誤差，誤差項(xiàng)?“嵌套”在運(yùn)行之中。盡管完全可能存在隨機(jī)效應(yīng)的其他結(jié)構(gòu)（例如，使用相同的兩臺(tái)儀器在不同的兩天里測(cè)量相同的材料，形成一種“交叉”設(shè)計(jì)），但在層級(jí)模型的情況下，不確定度（及其自由度[91，定義2.54]）的處理可能更為簡(jiǎn)單。注2ISO21748:2016[90]對(duì)層級(jí)（嵌套）模型在不確定度評(píng)定中的使用提供了一些指導(dǎo)；ISO/TS17503[98]給出的是一些簡(jiǎn)單“交叉”設(shè)計(jì)的處理。二者都給出了有關(guān)自由度的信息。C.4非對(duì)稱分布的效應(yīng)當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)的概率分布為非對(duì)稱，或者測(cè)量模型對(duì)于與其他對(duì)稱隨機(jī)效應(yīng)關(guān)聯(lián)的量來(lái)說(shuō)非線性時(shí)，應(yīng)特別注意。在這些情況下，隨機(jī)變異常常會(huì)導(dǎo)致測(cè)得值出現(xiàn)偏差，而且C.3中給出的非常簡(jiǎn)單的模型擴(kuò)展可能不適用。此時(shí)，更好的做法是將模型表述為數(shù)據(jù)生成過(guò)程的統(tǒng)計(jì)模型（見(jiàn)第11條），并且考慮如何最好地獲得代表預(yù)期測(cè)量結(jié)果的概率分布的參數(shù)的估計(jì)值。有時(shí)，由非對(duì)稱分布引起的偏差可以通過(guò)納入一個(gè)基于隨機(jī)效應(yīng)分散性的修正項(xiàng)（及其不確定度）來(lái)方便地解決，其原理與JCGM100:2008，F(xiàn).2.4.4中給出的非對(duì)稱效應(yīng)的處理方法相同。更一般的替代方法是直接求解由此產(chǎn)生的隱式模型，例如使用最大似然法[133]或貝葉斯法[71]。C.5復(fù)現(xiàn)性研究的使用C.5.1將所有隨機(jī)變異效應(yīng)基本并入與被測(cè)量相關(guān)的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)效應(yīng)的模型中，一個(gè)特例是用于檢驗(yàn)測(cè)量程序重復(fù)性和復(fù)現(xiàn)性的模型組。這些模型聚焦被測(cè)量中的隨機(jī)變異，而不區(qū)分與各個(gè)輸入量相關(guān)的效應(yīng)。C.5.2此類模型的一種應(yīng)用被稱為“自上而下法”，這一概念最早由英國(guó)皇家化學(xué)會(huì)分析方法委員會(huì)在一篇論文中提出[3]（另見(jiàn)E.1.1）。自上而下法基于以下原理：在協(xié)作研究中獲得的復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)偏差是測(cè)量不確定度評(píng)定的有效基礎(chǔ)[90，附件A.2.1]。見(jiàn)C.5.3。該方法廣泛應(yīng)用于測(cè)量和測(cè)試領(lǐng)域，在這些領(lǐng)域中，人們普遍認(rèn)為可以通過(guò)該方法獲得比較有代表性的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。不同的實(shí)驗(yàn)室、在不同的時(shí)間、采用不同的儀器，以及由不同的人員進(jìn)行的測(cè)自上而下法”。自上而下法在食品分析中的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例見(jiàn)參考文獻(xiàn)[119]，有關(guān)化學(xué)領(lǐng)域測(cè)量不確定度相文獻(xiàn)[43]中進(jìn)行了討論。C.5.3在ISO21748:2016給出的自上而下法的實(shí)施中，測(cè)量的基本統(tǒng)計(jì)模型如下（遵循參考文獻(xiàn)[90,92,93]的命名法）[90,92]：Y=m+B+E其中，Y是實(shí)驗(yàn)室測(cè)量的量；m是測(cè)量的“水平”（或Y的“總平均值”）；B是重復(fù)性條件下的實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)誤差，假定服從正態(tài)分布，其期望為零，標(biāo)準(zhǔn)偏差σL未知；E是重復(fù)性條件下的隨機(jī)誤差，假定服從正態(tài)分布，其期望為零，標(biāo)準(zhǔn)偏差σW未知。注1實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)誤差B的值在重復(fù)性條件下獲得的任何系列觀測(cè)值中認(rèn)為是恒定的，但對(duì)于在其他條件下獲得的觀測(cè)值通常是不同的。B的方差稱為實(shí)驗(yàn)室間方差。注2隨機(jī)誤差E的值對(duì)于Y的每個(gè)觀測(cè)值都認(rèn)為是不同的。E的方差稱為實(shí)驗(yàn)室內(nèi)方差。注3σL2的估計(jì)值sL2和σW2的估計(jì)值sr注4與Y的值y相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度由下式給出：u其中，sRC.5.4在一些協(xié)作研究中，測(cè)量模型擴(kuò)展為：Y=被測(cè)量的認(rèn)證值μ由的一個(gè)估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度uμ組成，測(cè)量方法的偏倚δ由的一個(gè)估計(jì)值及其不確定度u注Y的值y相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度由下式給出：uC.5.5在實(shí)際中，sR和uδ可能無(wú)法描述所有影響測(cè)量的效應(yīng)所導(dǎo)致的被測(cè)量的變異性。協(xié)作研究也可能遺漏一些重要的效應(yīng)。如果Xi,i=1,…,n，其估計(jì)值為xi，不確定度為u(xi)，是描述與被測(cè)量相關(guān)的加Y=μ+δ+其中，ci是Xi的靈敏系數(shù)。注模型（44）中的被測(cè)量Y與輸入量呈線性關(guān)系，一個(gè)更通用的形式為：Y=μ+δ+其中，fX1,…,Xn是一個(gè)單一加性效應(yīng)，與量X1,…,Xn呈非線性關(guān)系。Y估計(jì)值相關(guān)附錄D多項(xiàng)式表示方法D.1一個(gè)n階多項(xiàng)式可表示為：pnX=aD.2雖然采用單項(xiàng)式基函數(shù)描述多項(xiàng)式可以清楚地揭示多項(xiàng)式函數(shù)的本質(zhì)，但在數(shù)值計(jì)算中使用單項(xiàng)式基函數(shù)可能導(dǎo)致數(shù)值困難。第一個(gè)困難是當(dāng)變量X值的絕對(duì)值顯著大于1時(shí)，Xj各項(xiàng)的數(shù)值將隨著j的增大而變大。這個(gè)難題可以通過(guò)使用歸一化變量V來(lái)解決。對(duì)于位于區(qū)間[xmin,xmax]之內(nèi)的XV=其所有的冪都位于區(qū)間[1,1]之內(nèi)。對(duì)于低階多項(xiàng)式（如n4）化足以避免絕大多數(shù)的數(shù)值困難。D.3第二個(gè)困難源自以下事實(shí)：特別是當(dāng)j較大時(shí)基函數(shù)j在區(qū)間[1，1]j21（）所，j=1,2,3,4性意味著數(shù)值病態(tài)會(huì)隨著多項(xiàng)式階數(shù)增大及變量值遠(yuǎn)離零而迅速惡化，這也正是為什么多項(xiàng)式因存在數(shù)值可靠性問(wèn)題而有時(shí)被認(rèn)為用途非常有限的原因。事實(shí)上，并本身是采用的多項(xiàng)式表示方式（即圖11：區(qū)間[-1,1]之內(nèi)的單項(xiàng)式函數(shù)X2j,j=1,2,3,4(D.3)，以及（右側(cè)）切比雪夫多項(xiàng)式Tj(V)j=2,3,4,5(D.4)D.4采用具有更好性質(zhì)的基函數(shù)可以獲得其他的表達(dá)式。切比雪夫多項(xiàng)式TjV就是這樣一組基函數(shù)，其性質(zhì)是：它們?cè)趨^(qū)間[1,1]內(nèi)相對(duì)于w相互正交。對(duì)于V∈[-1,1]，它們定義為：T0V=1；T1V=V切比雪夫多項(xiàng)式也可以通過(guò)三角關(guān)系定義：T圖11（右側(cè)）所示的就是TjV，j=2,3,4,5。D.5切比雪夫表示的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于，由于切比雪夫基函數(shù)的近似正交性，切比雪夫系數(shù)估計(jì)值的協(xié)方差矩陣往往比單項(xiàng)式形式更接近于對(duì)角矩陣。D.6對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的中高階多項(xiàng)式在所關(guān)注的區(qū)間內(nèi)可能會(huì)出現(xiàn)偽振蕩。當(dāng)期待一個(gè)光滑的基礎(chǔ)關(guān)系時(shí)，這種行為就不可取。產(chǎn)生振蕩的原因通常是自變量值的選取不合適（如等間距）。通常，應(yīng)首選n1階切比雪夫多項(xiàng)式的極值，并線性轉(zhuǎn)換至所關(guān)注的區(qū)間[158]，其中n為所考慮的多項(xiàng)式的最大階數(shù)。對(duì)于使用m個(gè)等間距點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式回歸，當(dāng)n取不大于1.4m的最大整數(shù)時(shí)，這種不利影響將減小。見(jiàn)表9。表9：校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)m和近似等間距激勵(lì)值推薦最大多項(xiàng)式階數(shù)n之間的關(guān)系注1表達(dá)式1.4m是更復(fù)雜表達(dá)式的一種略微保守形式，它是通過(guò)比較區(qū)間[1,1]上m個(gè)等間距點(diǎn)的間距與Tn的最近極值點(diǎn)之間的距離而得出。注2出于操作方面的考慮，建議使用比表9更多的校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)。ISO6143:2001[94]涉及氣體分析，其中建議1、2和3階多項(xiàng)式的最小校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)分別為3、5和7。經(jīng)驗(yàn)表明，為了再現(xiàn)校準(zhǔn)函數(shù)中的曲率，要有更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)，原因之一是校準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)和儀器的響應(yīng)的不確定度。注3《ISO技術(shù)規(guī)范》[99]中給出了使用切比雪夫表示的多項(xiàng)式校正的更多細(xì)節(jié)和實(shí)例。附錄E因果分析E.1概述E.1.1因果圖（也稱為石川圖或魚(yú)骨圖）[61-63]是一種層級(jí)結(jié)構(gòu)圖，表明多重效應(yīng)如何累積以影響某一結(jié)果。這樣的因果圖在最初基于測(cè)量原理建立測(cè)量模型時(shí)很有幫助。因果分析是識(shí)別相關(guān)貢獻(xiàn)效應(yīng)作為輸入量的工具之一，有助于識(shí)別與單個(gè)輸入量相關(guān)的不確定度的貢獻(xiàn)，并便于將相關(guān)效應(yīng)進(jìn)行組合，以簡(jiǎn)化根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)定不確定度的程序。結(jié)合“協(xié)調(diào)”方法[61]，它還有助于將可用信息（例如，包括質(zhì)量保證記錄和驗(yàn)證數(shù)據(jù)[62]）與各個(gè)不確定度貢獻(xiàn)進(jìn)行匹配，這反過(guò)來(lái)有助于識(shí)別缺失信息，避免測(cè)量不確定度貢獻(xiàn)的重復(fù)計(jì)算，以及識(shí)別那些通過(guò)方法性能研究所獲得的信息已充分代表的貢獻(xiàn)（特別是隨機(jī)變異引起的貢獻(xiàn)）。E.1.2因果圖及其在因果分析中應(yīng)用的全面描述超出了本指南的范圍。然而，本附錄的例子說(shuō)明了該原理在構(gòu)建用于不確定度評(píng)定的測(cè)量模型中的應(yīng)用。注：Eurachem/CITAC指南[63，附件D]給出了因果分析應(yīng)用于不確定度評(píng)定的一般程序。例食品中有機(jī)磷農(nóng)藥殘留測(cè)定某食品中有機(jī)磷農(nóng)藥的殘留量。具體程序是從已知質(zhì)量的食品中使用溶劑萃取農(nóng)藥。萃取液經(jīng)純化后，定容至已知體積，并使用氣相色譜法測(cè)定農(nóng)藥的質(zhì)量濃度。本例中的校準(zhǔn)策略是使用純參考物質(zhì)溶液進(jìn)行單點(diǎn)校準(zhǔn)。所用測(cè)量模型為：w其中，wopIopγrefVopIrefRop是萃取和凈化（“回收率”）中msamplef1是代表中間條件變化效應(yīng)（精密fhom是代表樣品不均勻性為了不確定度評(píng)定的目的，fhom和f1的估計(jì)值設(shè)定為1，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度通過(guò)驗(yàn)證研究獲得。同樣地，回收率修正Rop及其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度也類似地通過(guò)驗(yàn)證數(shù)據(jù)確定?；跍y(cè)量模型（45）的因果圖如圖12所示，其中與各輸入量的精密度相關(guān)的項(xiàng)合并為一個(gè)單獨(dú)的“重復(fù)性”分支。圖中其他特征包括影響參考溶液濃度γref的因子，以及影響體積和質(zhì)量測(cè)定的額外效應(yīng)。注：參考文獻(xiàn)[63]中提供了有關(guān)圖12中出現(xiàn)的其他項(xiàng)和本例其他方面的進(jìn)一步信息。圖12：食品中有機(jī)磷農(nóng)藥殘留量的因果圖。經(jīng)許可改編自參考文獻(xiàn)[63]。E.25M方法E.2.1另一種綜合性方法是按5個(gè)類別（如參考文獻(xiàn)[29，144]所用的）確定可能的誤差原因：機(jī)器（Machines）：與測(cè)量過(guò)程中使用的機(jī)器或測(cè)量?jī)x器相關(guān)的所有效應(yīng)（正確度、重復(fù)性、定量分析、漂移、線性度、滯后、…）；方法（Method）：與測(cè)量方法相關(guān)的所有效應(yīng)（測(cè)量程序中參數(shù)的選擇，統(tǒng)計(jì)模型的系數(shù)，…）；環(huán)境（Environment，法語(yǔ)為Milieu）：與環(huán)境相關(guān)的所有效應(yīng)（溫度、壓力、相對(duì)濕度、… ）；/材料相關(guān)的效應(yīng)（硬度、異質(zhì)性、蝕變性、熱膨脹系數(shù)、…）；人員（Manpower）：與操作者相關(guān)的所有效應(yīng)（能力、手動(dòng)讀數(shù)、…E.2.2有時(shí)，實(shí)踐者可能將識(shí)別出的效應(yīng)歸入兩個(gè)類別中的任一個(gè)，這種選擇對(duì)后續(xù)的不確定度評(píng)定沒(méi)有影響。例繩索橫截面尺寸測(cè)試在玩具安全性測(cè)試中，如果繩索是玩具的組成部分，則需根據(jù)歐洲標(biāo)準(zhǔn)[66]執(zhí)行以下測(cè)量程序。在(252)N的張力下，使用卡尺沿長(zhǎng)度方向大約等間距的5個(gè)點(diǎn)測(cè)量繩索的最大截面尺寸。對(duì)此方法的常規(guī)解釋是：2N視為最大允許誤差（見(jiàn)JCGM200:2012，4.26），它給出了偏離25N的允許值范圍的極限，并且在這個(gè)范圍內(nèi)通常按矩形分布處理。被測(cè)量是精確到0.1mm的5個(gè)觀測(cè)值的平均值，以此作為橫截面尺寸的近似值。圖13所示的是相應(yīng)的石川圖，表示影響測(cè)量的效應(yīng)。13：繩索橫截面尺寸測(cè)量案例的石川圖，按機(jī)器、方法、環(huán)境、材料、人員5個(gè)類別的函數(shù)來(lái)組織E.3測(cè)量系統(tǒng)分析（MSA）E.3.1測(cè)量系統(tǒng)可以描述為硬件、軟件、程序和方法、人力、環(huán)境條件、相關(guān)設(shè)備，以及用該系統(tǒng)測(cè)量的對(duì)象的集合。在測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行中，該集合中的每個(gè)元素綜合起來(lái)會(huì)導(dǎo)致對(duì)物體的測(cè)量之間產(chǎn)生變異，而這種變異在系統(tǒng)完美的情況下是不會(huì)存在的。測(cè)量系統(tǒng)可能在這些元素中每個(gè)具有不同程度的表現(xiàn)，其中一個(gè)或多個(gè)可能是引起此類變異的主要貢獻(xiàn)者[10]。E.3.2進(jìn)行MSA研究的一個(gè)主要目標(biāo)是評(píng)估可能存在的幾個(gè)方差分量。每一個(gè)元素——對(duì)象、儀器、操作者、環(huán)境和測(cè)量方法（圖14）——都將有其自身的方差分量，對(duì)總變異做出貢獻(xiàn)。圖14：測(cè)量系統(tǒng)分析E.3