五年級(jí)數(shù)學(xué)幾何模型實(shí)操練習(xí)題同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些基本的平面圖形面積計(jì)算，比如長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些非常有用的“幾何模型”。這些模型就像解題的“金鑰匙”，能幫助我們快速找到復(fù)雜圖形中隱藏的面積關(guān)系，從而輕松解決問(wèn)題。今天，我們就來(lái)針對(duì)幾個(gè)核心幾何模型進(jìn)行實(shí)操練習(xí)，看看大家能不能熟練運(yùn)用這些“金鑰匙”。一、等高模型（等積變形）核心提示：三角形的面積由底和高共同決定。當(dāng)兩個(gè)三角形（或平行四邊形）的高相等時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊長(zhǎng)的比；反之，當(dāng)?shù)紫嗟葧r(shí)，面積比等于對(duì)應(yīng)高的比。實(shí)操練習(xí)題1：如圖，三角形ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AD邊上的三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)）。已知三角形ABC的面積是60平方厘米，求三角形ABE的面積。(請(qǐng)同學(xué)們先嘗試自己畫(huà)圖，并思考如何利用等高模型來(lái)解決)思路點(diǎn)撥：1.D是BC中點(diǎn)，那么BD和DC的長(zhǎng)度是什么關(guān)系？三角形ABD和三角形ADC的面積有什么關(guān)系？（它們等底等高嗎？）2.E是AD邊上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么AE和ED的長(zhǎng)度比是多少？三角形ABE和三角形BED的面積比又是多少？（它們是否也存在等高的條件？）解答過(guò)程：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC。在三角形ABC中，AD是一條中線，根據(jù)等高模型，三角形ABD和三角形ADC的高相同（都是從A點(diǎn)向BC邊作的垂線），底也相等（BD=DC），所以它們的面積相等，各占三角形ABC面積的一半。因此，S_△ABD=60÷2=30（平方厘米）。接下來(lái)看三角形ABD，E是AD邊上的三等分點(diǎn)（靠近A），所以AE:ED=1:2。在三角形ABD中，BE是一條線段，三角形ABE和三角形BED共用一個(gè)頂點(diǎn)B，并且它們的底AE和ED在同一條直線AD上，所以這兩個(gè)三角形的高相等（都是從B點(diǎn)向AD邊作的垂線）。根據(jù)等高模型，面積比等于底邊長(zhǎng)之比，即S_△ABE:S_△BED=AE:ED=1:2。因此，S_△ABE的面積是三角形ABD面積的1/(1+2)=1/3。所以，S_△ABE=30×(1/3)=10（平方厘米）。答：三角形ABE的面積是10平方厘米。實(shí)操練習(xí)題2：一個(gè)平行四邊形ABCD的面積是48平方厘米。E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接DE、DF。求陰影部分（三角形DEF）的面積。(提示：連接BD，將平行四邊形分割成兩個(gè)三角形，再觀察各部分面積關(guān)系)二、蝴蝶模型（任意四邊形蝴蝶模型）核心提示：在任意一個(gè)四邊形中，連接它的兩條對(duì)角線，會(huì)形成四個(gè)三角形（上、下、左、右）。我們把相對(duì)的兩個(gè)三角形稱(chēng)為“對(duì)頂三角形”。蝴蝶模型告訴我們：1.左、右兩個(gè)三角形的面積乘積等于上、下兩個(gè)三角形的面積乘積，即S_左×S_右=S_上×S_下。2.如果知道其中三個(gè)三角形的面積，就可以求出第四個(gè)三角形的面積。3.上、下兩個(gè)三角形的面積比等于它們對(duì)應(yīng)底邊的比（即兩條對(duì)角線被交點(diǎn)分成的線段比的乘積）。實(shí)操練習(xí)題3：如圖，在一個(gè)任意四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。已知三角形AOB的面積是6平方厘米，三角形BOC的面積是12平方厘米，三角形AOD的面積是4平方厘米。求三角形COD的面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：這是一個(gè)典型的蝴蝶模型應(yīng)用。題目給出了三個(gè)三角形的面積，求第四個(gè)。直接運(yùn)用蝴蝶模型的第一個(gè)結(jié)論即可。解答過(guò)程：根據(jù)蝴蝶模型的結(jié)論，在四邊形ABCD中，有S_△AOB×S_△COD=S_△AOD×S_△BOC。已知S_△AOB=6平方厘米，S_△BOC=12平方厘米，S_△AOD=4平方厘米。代入可得：6×S_△COD=4×12。計(jì)算右邊：4×12=48。所以，S_△COD=48÷6=8（平方厘米）。答：三角形COD的面積是8平方厘米。實(shí)操練習(xí)題4：在梯形ABCD中，AD平行于BC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。已知三角形AOD的面積是4平方厘米，三角形AOB的面積是6平方厘米。求梯形ABCD的總面積是多少平方厘米？(提示：梯形是一種特殊的四邊形，同樣適用蝴蝶模型。并且在梯形中，還有一個(gè)重要的結(jié)論：S_△AOD=S_△BOC?；蛘呃煤Ｐ椭嘘P(guān)于面積比與線段比的關(guān)系。)三、一半模型核心提示：“一半模型”通常指在長(zhǎng)方形、平行四邊形或其他特定圖形中，通過(guò)連接某些點(diǎn)或畫(huà)出某些線段后，形成的圖形面積是原圖形面積的一半。常見(jiàn)的有：1.在長(zhǎng)方形內(nèi)，連接一條對(duì)角線，得到的三角形面積是長(zhǎng)方形的一半。2.在長(zhǎng)方形內(nèi)，過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線，將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，每個(gè)小長(zhǎng)方形面積是原長(zhǎng)方形的一半。3.在平行四邊形內(nèi)，連接一條對(duì)角線，得到的三角形面積是平行四邊形的一半。4.更復(fù)雜的“一半模型”可能出現(xiàn)在組合圖形中，需要通過(guò)平移、轉(zhuǎn)化來(lái)判斷。實(shí)操練習(xí)題5：一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是10厘米，寬是6厘米。E、F分別是AD和DC邊上的任意一點(diǎn)，連接BE、BF。求三角形BEF的面積是否一定是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，請(qǐng)證明。(思考：這道題的表述和我們常見(jiàn)的“一半模型”題目有什么不同？E、F是“任意一點(diǎn)”嗎？)思路點(diǎn)撥：同學(xué)們，仔細(xì)讀題。如果E、F真的是AD和DC邊上的“任意一點(diǎn)”，那么三角形BEF的形狀和大小都會(huì)發(fā)生變化，它的面積怎么可能固定是長(zhǎng)方形的一半呢？這顯然不可能。所以，題目中“任意一點(diǎn)”的描述可能存在我們理解上的偏差，或者可能是題目印刷有誤。正確的“一半模型”通常是：E、F分別是AD和DC邊上的“中點(diǎn)”，或者連接特定的點(diǎn)。假設(shè)題目中的E、F是中點(diǎn)，那么我們來(lái)證明。假設(shè)E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是DC中點(diǎn)。連接BD。在長(zhǎng)方形ABCD中，S_△ABD=S_△BCD=長(zhǎng)方形面積的一半。E是AD中點(diǎn)，則S_△ABE=S_△EBD=(1/2)S_△ABD。F是DC中點(diǎn)，則S_△BCF=S_△BFD=(1/2)S_△BCD。同理，也可以通過(guò)計(jì)算各個(gè)空白三角形面積，用長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)空白三角形面積得到陰影部分面積。但如果E、F不是中點(diǎn)，而是任意點(diǎn)，比如E與A重合，F(xiàn)與C重合，那么三角形BEF就變成了三角形BAC，其面積是長(zhǎng)方形的一半。如果E與A重合，F(xiàn)與D重合，那么三角形BEF就變成了三角形BAD，面積也是長(zhǎng)方形的一半。如果E在A點(diǎn)，F(xiàn)在DC中點(diǎn)，那么三角形BEF的面積就不是一半了。所以，原題目條件可能不準(zhǔn)確。(請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必注意題目條件的準(zhǔn)確性，在標(biāo)準(zhǔn)的“一半模型”中，點(diǎn)的位置通常是特定的，而非任意的。)實(shí)操練習(xí)題6：如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是40平方厘米。E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)。求中間陰影四邊形EFGH的面積。(提示：連接EG和FH，將長(zhǎng)方形分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，觀察陰影部分與小長(zhǎng)方形的關(guān)系；或者連接各頂點(diǎn)與中心，利用對(duì)稱(chēng)性。)四、鳥(niǎo)頭模型（共角模型）核心提示：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)（相加等于180度），那么這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積之比。即：若△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE或∠BAC+∠DAE=180°，則S_△ABC:S_△ADE=(AB×AC):(AD×AE)。實(shí)操練習(xí)題7：如圖，在三角形ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD:DB=2:3；E是AC邊上的一點(diǎn)，且AE:EC=1:2。已知三角形ADE的面積是4平方厘米，求三角形ABC的面積。思路點(diǎn)撥：觀察三角形ADE和三角形ABC，它們有一個(gè)共同的角∠A。所以，這符合鳥(niǎo)頭模型（共角模型）的條件。我們可以直接應(yīng)用鳥(niǎo)頭模型的結(jié)論來(lái)計(jì)算。解答過(guò)程：在△ADE和△ABC中，∠DAE=∠BAC（公共角）。根據(jù)鳥(niǎo)頭模型，S_△ADE:S_△ABC=(AD×AE):(AB×AC)。已知AD:DB=2:3，所以AD:AB=AD:(AD+DB)=2:(2+3)=2:5。已知AE:EC=1:2，所以AE:AC=AE:(AE+EC)=1:(1+2)=1:3。因此，S_△ADE:S_△ABC=(2×1):(5×3)=2:15。設(shè)S_△ABC的面積為x平方厘米。則有4:x=2:15。根據(jù)比例的基本性質(zhì)，2x=4×15，2x=60，x=30。答：三角形ABC的面積是30平方厘米。總結(jié)與溫馨提示同學(xué)們，幾何模型是解決復(fù)雜面積問(wèn)題的有力工具，但大家在學(xué)習(xí)和運(yùn)用這些模型時(shí)，一定要注意以下幾點(diǎn)：1.理解模型本質(zhì)：不要死記硬背模型的結(jié)論，要理解模型是如何推導(dǎo)出來(lái)的，它所依賴(lài)的基本原理是什么（比如等高模型依賴(lài)的是三角形面積公式）。2.準(zhǔn)確識(shí)別模型：在復(fù)雜圖形中，要能準(zhǔn)確識(shí)別出符合哪個(gè)模型的特征，這需要大量練習(xí)來(lái)培養(yǎng)“圖形感”。3.靈活運(yùn)用：很多題目不會(huì)直接告訴你“這是一個(gè)蝴蝶模型”，需要你通過(guò)添加輔助線（比如連接對(duì)角線、取