2025年立體幾何培優(yōu)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到x軸的距離是A.√14B.√13C.√10D.√7答案：A2.已知直線l1：x=1，l2：y=2，則l1與l2的位置關(guān)系是A.平行B.相交C.重合D.異面答案：B3.過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)且與平面π：x+y+z=1平行的平面方程是A.x+y+z=6B.x-y+z=4C.x+y-z=2D.x-y-z=0答案：A4.已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是底面三角形的外心，則三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)共面的條件是A.AB=AC=ADB.BC=BD=CDC.AB=BC=CDD.AD=BD=CD答案：A5.空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若EF=GH，則四邊形EFGH一定是A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形答案：A6.已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的表面積是A.4πa^2B.3πa^2C.2πa^2D.πa^2答案：A7.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為√2a，則其側(cè)面與底面所成的二面角是A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B8.已知直線l：x=1，平面π：x+y+z=1，則直線l與平面π的位置關(guān)系是A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.異面答案：B9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離是A.√15/√3B.√14/√3C.√13/√3D.√12/√3答案：A10.已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是底面三角形的重心，則三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)共面的條件是A.AB=AC=ADB.BC=BD=CDC.AB=BC=CDD.AD=BD=CD答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列命題中，正確的有A.兩條平行直線確定一個(gè)平面B.三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面C.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線確定一個(gè)平面D.一個(gè)平面內(nèi)的三條平行直線確定一個(gè)平面答案：A,B,C2.已知直線l1：x=1，l2：y=2，則l1與l2的位置關(guān)系是A.平行B.相交C.重合D.異面答案：B3.過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)且與平面π：x+y+z=1平行的平面方程是A.x+y+z=6B.x-y+z=4C.x+y-z=2D.x-y-z=0答案：A4.已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是底面三角形的外心，則三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)共面的條件是A.AB=AC=ADB.BC=BD=CDC.AB=BC=CDD.AD=BD=CD答案：A5.空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若EF=GH，則四邊形EFGH一定是A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形答案：A6.已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的表面積是A.4πa^2B.3πa^2C.2πa^2D.πa^2答案：A7.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為√2a，則其側(cè)面與底面所成的二面角是A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B8.已知直線l：x=1，平面π：x+y+z=1，則直線l與平面π的位置關(guān)系是A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.異面答案：B9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離是A.√15/√3B.√14/√3C.√13/√3D.√12/√3答案：A10.已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是底面三角形的重心，則三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)共面的條件是A.AB=AC=ADB.BC=BD=CDC.AB=BC=CDD.AD=BD=CD答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.兩條平行直線確定一個(gè)平面。答案：正確2.三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面。答案：正確3.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線確定一個(gè)平面。答案：正確4.一個(gè)平面內(nèi)的三條平行直線確定一個(gè)平面。答案：正確5.過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)且與平面π：x+y+z=1平行的平面方程是x+y+z=6。答案：正確6.已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是底面三角形的外心，則三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)共面的條件是AB=AC=AD。答案：正確7.空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若EF=GH，則四邊形EFGH一定是平行四邊形。答案：正確8.已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的表面積是4πa^2。答案：正確9.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為√2a，則其側(cè)面與底面所成的二面角是45°。答案：正確10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離是√15/√3。答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述空間四邊形的性質(zhì)。答案：空間四邊形由四個(gè)不在同一平面內(nèi)的點(diǎn)組成，其性質(zhì)包括：四條邊不一定相等，對(duì)邊不一定平行，對(duì)角線不一定相等，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共面。2.解釋什么是正四棱錐，并簡(jiǎn)述其性質(zhì)。答案：正四棱錐是一個(gè)底面為正方形，側(cè)面為等腰三角形的棱錐。其性質(zhì)包括：底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，頂點(diǎn)到底面中心的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半。3.描述如何求點(diǎn)到平面的距離。答案：求點(diǎn)到平面的距離，可以通過(guò)點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算。具體步驟包括：確定平面的法向量，計(jì)算點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行計(jì)算。4.說(shuō)明什么是二面角，并舉例說(shuō)明如何計(jì)算二面角。答案：二面角是指兩個(gè)相交平面的交線和每個(gè)平面上一條與交線垂直的直線所夾的角。計(jì)算二面角的方法包括：確定兩個(gè)平面的法向量，利用向量的點(diǎn)積公式計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角，從而得到二面角的大小。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論空間四邊形的對(duì)邊平行與對(duì)角線平行的關(guān)系。答案：在空間四邊形中，如果對(duì)邊平行，則對(duì)角線不一定平行；如果對(duì)角線平行，則對(duì)邊不一定平行?？臻g四邊形的對(duì)邊平行和對(duì)角線平行是兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系，它們之間沒(méi)有必然的因果關(guān)系。2.討論正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角的變化規(guī)律。答案：正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角的大小取決于側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)的比例。當(dāng)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)的比例增大時(shí)，二面角增大；當(dāng)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)的比例減小時(shí)，二面角減小。3.討論點(diǎn)到平面的距離在不同情況下的計(jì)算方法。答案：點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算方法取決于點(diǎn)的位置和平面的位置關(guān)系。如果點(diǎn)在平面內(nèi)，則距離為0；如果點(diǎn)在平面外，則可以通過(guò)點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算距離。具體計(jì)算方法包括利用向量的點(diǎn)積公式和點(diǎn)到平面的距離公式。