數(shù)學(xué)加法計數(shù)原理教學(xué)教案一、課題名稱加法計數(shù)原理二、授課對象初中高年級學(xué)生或高中低年級學(xué)生（根據(jù)學(xué)生具體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可適當(dāng)調(diào)整教學(xué)深度）三、課時安排1課時（約45分鐘）四、教材分析加法計數(shù)原理是組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)排列、組合等知識的重要預(yù)備。它不僅是一種數(shù)學(xué)方法，更是一種重要的思維方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和解決實際問題的能力。本節(jié)課的學(xué)習(xí)，旨在讓學(xué)生理解加法計數(shù)原理的基本思想，掌握其表述形式，并能運用它解決一些簡單的實際計數(shù)問題。教材通常將其安排在概率統(tǒng)計初步或排列組合章節(jié)的起始部分，具有承上啟下的作用。五、學(xué)情分析學(xué)生在此之前，已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和初步的數(shù)學(xué)思維能力，能夠理解簡單的分類和計數(shù)問題。他們在日常生活中經(jīng)常會遇到需要數(shù)一數(shù)“一共有多少種方法”的情境，這為學(xué)習(xí)加法計數(shù)原理提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。然而，學(xué)生可能對“分類”的標(biāo)準(zhǔn)、“獨立完成一件事”等核心概念的理解不夠清晰，容易與后續(xù)學(xué)習(xí)的乘法原理混淆。因此，教學(xué)中需要通過具體實例，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，逐步抽象出原理，并強(qiáng)調(diào)其適用條件。六、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：學(xué)生能夠通過具體實例理解加法計數(shù)原理的基本內(nèi)容；初步掌握運用加法計數(shù)原理解決簡單計數(shù)問題的方法；能準(zhǔn)確判斷問題是否適用加法計數(shù)原理，并正確計算完成一件事的不同方法總數(shù)。2.過程與方法：通過對實際問題的探究和分析，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納和抽象概括能力。在解決問題的過程中，體驗分類討論的思想方法。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作精神和積極思考的習(xí)慣。七、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點：加法計數(shù)原理的理解和應(yīng)用。學(xué)生需清晰把握“完成一件事”、“幾類不同方案”、“每類方案中的方法數(shù)”以及“相加”這幾個核心要素。2.教學(xué)難點：準(zhǔn)確理解“完成一件事”的含義，以及判斷何時使用加法計數(shù)原理（即“分類”的標(biāo)準(zhǔn)和“各類方法相互獨立，都能完成這件事”的條件）。八、教學(xué)方法講授法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、情境教學(xué)法、小組討論法相結(jié)合。以問題驅(qū)動為導(dǎo)向，通過創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，引導(dǎo)學(xué)生主動參與，自主建構(gòu)知識。九、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件（PPT）、白板或黑板、彩色粉筆、一些簡單的實物教具（如不同顏色的卡片代表不同類別的方法）。十、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課(約5分鐘)教師活動：同學(xué)們，大家每天上學(xué)，從家到學(xué)校可能會有不同的路線選擇，對嗎？（稍作停頓，等待學(xué)生回應(yīng)）比如，小明同學(xué)從家到學(xué)校，可以選擇步行，也可以選擇騎自行車，還可以乘坐公交車。如果步行有2條路可以走，騎自行車有3條路可以走，乘坐公交車有1條線路可以直達(dá)。大家想一想，小明從家到學(xué)校，一共有多少種不同的走法呢？學(xué)生活動：思考，嘗試回答，并說明理由。（可能會有學(xué)生直接將2+3+1=6說出來）教師活動：很好，同學(xué)們似乎已經(jīng)有了一些想法。這個問題其實就涉及到我們今天要學(xué)習(xí)的一種重要的計數(shù)方法——加法計數(shù)原理。（板書課題：加法計數(shù)原理）通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們就能更清晰、更準(zhǔn)確地解決這類問題。（二）探究新知，形成概念(約15分鐘)1.分析情境，初步感知教師活動：我們來仔細(xì)分析一下剛才小明上學(xué)的問題?！巴瓿梢患隆痹谶@里指的是什么？學(xué)生活動：完成“小明從家到學(xué)?！边@件事。教師活動：非常好。要完成這件事，小明有幾類不同的出行方式可以選擇呢？學(xué)生活動：三類，分別是步行、騎自行車、乘坐公交車。教師活動：如果他選擇步行，有幾種方法（路線）？選擇騎自行車呢？乘坐公交車呢？學(xué)生活動：步行2種，騎自行車3種，公交車1種。教師活動：那么，為什么我們可以把這幾個數(shù)字加起來得到總的走法數(shù)呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考每類方法的獨立性）學(xué)生活動：因為每一類方法都能單獨把小明送到學(xué)校，選擇了步行就不用再騎車或坐車了。教師活動：太棒了！大家抓住了關(guān)鍵。每一類方案中的每一種方法，都能獨立完成這件事。所以，完成這件事的總方法數(shù)，就是把每一類方案中的方法數(shù)簡單相加。2.抽象概括，形成原理教師活動：（結(jié)合學(xué)生的回答，在黑板上逐步梳理）一般地，如果完成一件事，有兩類不同的方案。在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法呢？學(xué)生活動：m+n種。教師活動：如果有三類不同的方案呢？第一類m種，第二類n種，第三類p種？學(xué)生活動：m+n+p種。教師活動：非常好！由此，我們可以得到加法計數(shù)原理（也叫分類加法計數(shù)原理）的一般表述：（板書）加法計數(shù)原理：完成一件事，如果有k類不同的方案，在第1類方案中有m?種不同的方法，在第2類方案中有m?種不同的方法，……，在第k類方案中有m?種不同的方法，那么完成這件事共有N=m?+m?+…+m?種不同的方法。教師強(qiáng)調(diào)：*核心是“完成一件事”。*關(guān)鍵在于“分類”：要將完成這件事的所有方法按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類。*每一類中的任何一種方法都能獨立地完成這件事，不需要依賴其他類的方法。*最后是“相加”：將各類的方法數(shù)求和，得到總的方法數(shù)。3.辨析概念，深化理解教師活動：大家思考一下，如果小明從家到學(xué)校，必須先步行到一個公交站點，再乘坐公交車，那么總的方法數(shù)還是2+3+1嗎？為什么？學(xué)生活動：不是。因為這時候步行和坐車是先后順序，不能獨立完成，需要分步。教師活動：非常好！這個問題我們后面會學(xué)到，它涉及到另一種計數(shù)原理——乘法計數(shù)原理。這也提醒我們，在使用加法計數(shù)原理時，一定要注意“每類方法都能獨立完成這件事”這個前提條件。（三）例題講解，鞏固應(yīng)用(約15分鐘)教師活動：下面我們通過幾個例子來看看加法計數(shù)原理是如何應(yīng)用的。例1：書架上層有不同的數(shù)學(xué)書3本，中層有不同的語文書4本，下層有不同的英語書2本。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取一本數(shù)學(xué)書或一本語文書，有多少種不同的取法？教師引導(dǎo)：對于第（1）問，“完成一件事”是什么？有幾類不同的方案？每類各有多少種方法？學(xué)生活動：思考，回答。“完成從書架上任取一本書這件事”。有三類方案：取數(shù)學(xué)書、取語文書、取英語書。分別有3種、4種、2種方法。所以共有3+4+2=9種取法。教師活動：（板書解題過程）很好。第（2）問呢？“任取一本數(shù)學(xué)書或一本語文書”，這又是完成一件什么事？有幾類方案？學(xué)生活動：“完成取一本數(shù)學(xué)書或者一本語文書這件事”。有兩類方案：取數(shù)學(xué)書（3種），取語文書（4種）。所以共有3+4=7種取法。教師活動：非常好！注意這里“或”字，通常暗示了分類。例2：在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？教師活動：這個問題稍微復(fù)雜一點。我們要“完成一件事”是“找出所有個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)”。這個怎么分類呢？兩位數(shù)，十位數(shù)字可以是1到9。我們是不是可以按照十位數(shù)字的不同來分類呢？學(xué)生活動：可以。比如十位數(shù)字是1時，個位數(shù)字可以是哪些？師生共同分析：*十位數(shù)字為1時，個位數(shù)字可以是2-9，共8個（12,13,...,19）。*十位數(shù)字為2時，個位數(shù)字可以是3-9，共7個（23,24,...,29）。*十位數(shù)字為3時，個位數(shù)字可以是4-9，共6個。*...以此類推...*十位數(shù)字為8時，個位數(shù)字可以是9，共1個（89）。*十位數(shù)字為9時，個位數(shù)字無法大于十位數(shù)字，共0個。教師活動：那么，根據(jù)加法計數(shù)原理，將每一類的個數(shù)相加即可。學(xué)生活動：計算8+7+6+...+1+0。（引導(dǎo)學(xué)生計算，可提示這是一個等差數(shù)列求和）教師活動：（板書）8+7+6+5+4+3+2+1=36。所以共有36個。這個例子告訴我們，有時候分類需要我們自己去尋找合適的標(biāo)準(zhǔn)。（四）課堂練習(xí)，反饋提升(約10分鐘)教師活動：現(xiàn)在請大家嘗試解決下面幾個問題，檢驗一下我們的學(xué)習(xí)成果?？梢酝乐g小聲討論。1.一個口袋里有5個不同的紅球，3個不同的白球。從中任取一個球，有多少種不同的取法？如果從中任取一個紅球或一個白球，結(jié)果一樣嗎？2.某班有男生25人，女生20人。從中選一人擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？從中選一名男生和一名女生擔(dān)任正副班長，是用加法原理嗎？（此問為后續(xù)乘法原理做鋪墊，只需學(xué)生思考，暫不深入）3.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的兩個小方格涂色（每個小方格涂一種顏色），如果要求相鄰兩個小方格顏色不同，一共有多少種不同的涂法？（此題為拓展，若時間緊張可作為課后思考）教師活動：巡視，觀察學(xué)生解題情況，對有困難的學(xué)生進(jìn)行個別指導(dǎo)。然后請學(xué)生代表回答，師生共同點評。（五）課堂小結(jié)，回顧反思(約5分鐘)教師活動：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了加法計數(shù)原理。誰能談?wù)勀銓臃ㄓ嫈?shù)原理的理解？它有什么關(guān)鍵點？我們在什么情況下使用它？學(xué)生活動：思考，總結(jié)，可以互相補(bǔ)充。教師活動：（根據(jù)學(xué)生回答，梳理并板書核心要點）*加法計數(shù)原理核心：完成一件事，有k類不同方案，各類方案中的方法數(shù)分別為m?,m?,...,m?，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事，則總方法數(shù)N=m?+m?+...+m?。*關(guān)鍵：分類、獨立完成、相加。*口訣（幫助記憶）：“分類相加”。教師活動：加法計數(shù)原理是我們解決計數(shù)問題的重要工具，它體現(xiàn)了“化整為零，各個擊破，再積零為整”的思想。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們還會遇到更復(fù)雜的計數(shù)問題，那時可能需要結(jié)合其他原理一起使用。（六）布置作業(yè)，拓展延伸(約2分鐘)1.基礎(chǔ)作業(yè)：教材對應(yīng)練習(xí)題（具體頁數(shù)略）。2.拓展思考：（1）從1到10這10個自然數(shù)中，任取一個數(shù)，既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)有多少個？任取一個數(shù)，是偶數(shù)或是質(zhì)數(shù)的數(shù)有多少個？（引導(dǎo)學(xué)生注意“既是...又是...”與“或是...”的區(qū)別，后者用加法原理，但要注意是否有重復(fù)計數(shù)，為后續(xù)容斥原理做鋪墊，但此處不展開）（2）你能舉出一些生活中應(yīng)用加法計數(shù)原理的例子嗎？十一、板書設(shè)計加法計數(shù)原理1.引例：小明上學(xué)的走法→2+3+1=62.加法計數(shù)原理：完成一件事，有k類不同方案。在第1類方案中有m?種不同方法，在第2類方案中有m?種不同方法，...在第k類方案中有m?種不同方法，那么完成這件事共有N=m?+m?+...+m?種不同方法。關(guān)鍵：分類、獨立完成、相加。3.例題講解：例1：（1）3+4+2=9（2）3+4=7例2：8+7+...+1=36（簡要過程）4.課堂小結(jié)：“分類相加”5.作業(yè)布置：（略寫）十二、教學(xué)反思本節(jié)課從學(xué)生熟悉的生活情境入手，通過問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生自主探究加法計數(shù)原理的形成過程，較好地體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。例題和練習(xí)的設(shè)計注重了層次性和針對性，有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識。在實際教學(xué)中，應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生對“完成一件事”和“獨立完成”的理解，這是正確應(yīng)用加法計數(shù)原理的前提。對于學(xué)生在分類標(biāo)準(zhǔn)上可能出現(xiàn)的困惑，要給