解析幾何一、單選題1．(2025·全國一卷)若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．2.(2025·北京)雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.3．(2025·全國一卷)若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2025·全國二卷)設拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．65．(2025·上海)已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值6．(2025·天津)雙曲線的左、右焦點分別為，以右焦點為焦點的拋物線與雙曲線交于另一象限點為P，若，則雙曲線的離心率（

）A．2 B．5 C． D．多選題7．(2025·全國一卷)設拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（

）A． B．C． D．8．(2025·全國二卷)雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當時，四邊形的面積為三、填空題9.(2025·北京)拋物線的頂點到焦點的距離為3，則________．10．(2025·天津)，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與交于C、D兩點，，則．四、解答題11．(2025·全國二卷)已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求C的方程；(2)過點的直線l與C交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求．12．(2025·全國一卷)設橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．（i）設，求點的坐標（用m，n表示）；（ⅱ）設O為坐標原點，是橢圓上的動點，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．13.(2025·北京)已知的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，（1）求橢圓方程；（2）設O為原點，為橢圓上一點，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大?。?4．(2025·上海)已知橢圓，，A是的右頂點．(1)若的焦點，求離心率e；(2)若，且上存在一點P，滿足，求m；(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．15．(2025·天津)已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，P為上一點，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分.解析幾何一、單選題1．(2025·全國一卷)若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由題可知雙曲線中的關系，結合和離心率公式求解【詳解】設雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D2.(2025·北京)雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將雙曲線方程化成標準方程，求出，即可求出離心率．【詳解】由得，，所以，即，所以，故選：B．3．(2025·全國一卷)若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結合圖象，即可得出結論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點有且僅有個，∵圓心到直線的距離為：，故由圖可知，當時，圓上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；當時，圓上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；當則的取值范圍為時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.故選：B.4．(2025·全國二卷)設拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由直線求出焦點和即拋物線的方程，進而依次得拋物線的準線方程和點B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】對，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C5．(2025·上海)已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【分析】設出曲線上一點為，得出，將三角形的高轉化成關于的函數(shù),分析其單調性，從而求解.【詳解】設曲線上一點為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點到直線的距離公式，到的距離為：，設，由于，顯然關于單調遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A6．(2025·天津)雙曲線的左、右焦點分別為，以右焦點為焦點的拋物線與雙曲線交于另一象限點為P，若，則雙曲線的離心率（

）A．2 B．5 C． D．【答案】A【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標，利用點在雙曲線上構造齊次方程計算即可.【詳解】根據(jù)題意可設，雙曲線的半焦距為，，則，過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準線，則，由雙曲線的定義及已知條件可知，則，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即離心率為2.故選：多選題7．(2025·全國一卷)設拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，先判斷得直線為拋物線的準線，再利用拋物線的定義即可判斷；對于B，利用三角形相似證得，進而得以判斷；對于C，利用直線的反設法（法一）與正設法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結合韋達定理與焦點弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結合焦半徑公式可判斷D.【詳解】法一：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，易知直線的斜率不為，設直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD.法二：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，當直線的斜率不存在時，，；所以，即；當直線的斜率存在時，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.8．(2025·全國二卷)雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當時，四邊形的面積為【答案】ACD【分析】由平行四邊形的性質判斷A；由且結合在漸近線上可求的坐標，從而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結合B的結果可得，計算后可判斷C的正誤，或者利用并結合離心率變形公式即可判斷；結合BC的結果求出面積后可判斷D的正誤.【詳解】不妨設漸近線為，在第一象限，在第三象限，對于A，由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對于B，方法一：因為在以為直徑的圓上，故且，設，則，故，故，由A得，故即，故B錯誤；方法二：因為，因為雙曲線中，，則，又因為以為直徑的圓與的一條漸近線交于、，則，則若過點往軸作垂線，垂足為，則，則點與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯誤；對于C，方法一：因為，故，由B可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因為，則，則，故C正確；對于D，當時，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.三、填空題9.(2025·北京)拋物線的頂點到焦點的距離為3，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質可求的值.【詳解】因為拋物線的頂點到焦距的距離為，故，故，故答案為：.10．(2025·天津)，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與交于C、D兩點，，則．【答案】2【分析】先根據(jù)兩點間距離公式得出，再計算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式列等式求解即可.【詳解】因為直線與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.四、解答題11．(2025·全國二卷)已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求C的方程；(2)過點的直線l與C交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；（2）設出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結合韋達定理用參數(shù)表示面積后可求的值，從而可求弦長.【詳解】（1）因為長軸長為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.（2）由題設直線的斜率不為0，故設直線，，由可得，故即，且，故，解得，故.12．(2025·全國一卷)設橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．（i）設，求點的坐標（用m，n表示）；（ⅱ）設O為坐標原點，是橢圓上的動點，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．【答案】(1)(2)(ⅰ)(ⅱ)【分析】（1）根據(jù)題意列出的關系式,解方程求出,即可得到橢圓的標準方程；（2）(ⅰ)設,根據(jù)斜率相等以及題目條件列式,化簡即可求出或者利用數(shù)乘向量求出；(ⅱ)根據(jù)斜率關系可得到點的軌跡為圓（除去兩點），再根據(jù)點與圓的最值求法結合三角換元或者直接運算即可解出.【詳解】（1）由題可知,，所以，解得，故橢圓的標準方程為；（2）(ⅰ)設，易知，法一：所以，故，且．因為，，所以，即，解得，所以，所以點的坐標為.法二：設，則，所以，，故點的坐標為.(ⅱ)因為,,由,可得,化簡得,即,所以點在以為圓心,為半徑的圓上（除去兩個點）,為到圓心的距離加上半徑,法一：設,所以,當且僅當時取等號,所以.法二：設，則，，當且僅當時取等號,故.13.(2025·北京)已知的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，（1）求橢圓方程；（2）設O為原點，為橢圓上一點，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點坐標，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【小問1詳解】由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點.設，易知，當時，由對稱性可知，．故設，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設，易知，當時，由對稱性可知，．故設，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.14．(2025·上海)已知橢圓，，A是的右頂點．(1)若的焦點，求離心率e；(2)若，且上存在一點P，滿足，求m；(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由方程可得，再由焦點坐標得，從而求出得離心率；（2）設點坐標，由向量關系坐標化可解得坐標，代入橢圓方程可得；（3）根據(jù)中垂線性質，由斜率與中點坐標得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉化為向量不等式，再坐標化利用韋達定理代入化簡不等式求解可得范圍.【詳解】（1）由題意知，，則，由右焦點，可知，則，故離心率.（2）由題意，由得，，解得，代入，得，又，解得.（3）由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，則，解得，由得中點坐標為，故直線，顯然直線過橢圓內點，故直線與橢圓恒有兩不同交點，設，由消得，由韋達定理得，因為為鈍角，則，且，則有，所以，即，解得，又，故，即的取值范圍是.15．(2025·天津)已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，P為上一點，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到，再由直線的斜率得到，從而利用三角形的面積公式得到關于的方程，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關系求得，進而得到直線的方程與點的坐標，法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質與點線距離公式即可得證.【詳解】（1）依題意，