高三一輪復習練習試題（提高版）數(shù)學第八章培優(yōu)點9等角定理與蝴蝶定理_第1頁
高三一輪復習練習試題（提高版）數(shù)學第八章培優(yōu)點9等角定理與蝴蝶定理_第2頁
高三一輪復習練習試題（提高版）數(shù)學第八章培優(yōu)點9等角定理與蝴蝶定理_第3頁
高三一輪復習練習試題（提高版）數(shù)學第八章培優(yōu)點9等角定理與蝴蝶定理_第4頁
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培優(yōu)點9等角定理與蝴蝶定理分值：34分1.(17分)已知點P(t，0)(t≠0)，直線AB過點Ea2t，0，且與橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)2.(17分)已知橢圓T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四點P1(1，1)，P2(0，1)，P3-1(1)求橢圓T的方程；(5分)(2)蝴蝶定理：如圖1，AB為圓O的一條弦，M是弦AB的中點，過M作圓O的兩條弦CD，EF.若CF，ED分別與直線AB交于點P，Q，則|MP|＝|MQ|.該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓T中，弦AB的中點M的坐標為0，12，且兩條弦CD，EF所在直線斜率存在，證明：|MP|＝|MQ|.(答案精析1.證明由題意，t≠±a，當直線AB斜率不存在時，易知直線PA，PB與x軸所成的較小角相等；當直線AB斜率存在時，如圖，設點A和點B的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2).因為直線AB過點Ea2所以設直線AB的方程為y=kx-代入橢圓方程可得(b2+a2k2)x22a4k2tx+a6所以x1+x2=2ax1x2=a6因為kPA+kPB=y1x=y1kx=k=k=k=0，所以直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，傾斜角互補.所以直線PA，PB與x軸所成的較小的角相等.綜上，直線PA，PB與x軸所成的較小的角相等.2.(1)解由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知T經(jīng)過P3，P4兩點，又由1a2+1b2>1a2+3所以點P2在T上，因此1解得a故橢圓T的方程為x24+y2(2)證明因為點M的坐標0，12在y軸上，且M所以直線AB平行于x軸，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，F(xiàn)(x4，y4)，設直線CD的方程為y=k1x+12代入橢圓T：x24+y2得k12+14x2+k根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=4k14k12+1，x1同理，設直線EF的方程為y=k2x+12代入橢圓T：x24+y2得k22+14x2+k2x34=0，根據(jù)根與系數(shù)的關系得x3+x4=4k24k由于C，P，F(xiàn)三點共線，得y4-1即x1-xPxxP=(k同理，由于E，Q，D三點共線，得xQ=(k結合①和②可得xP+xQ

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