2025-2026學年人教版（2024）數(shù)學八年級上冊18.5.1分式方程及其解法第十八章

分式1.通過閱讀課本理解分式方程的概念，能夠辨別分式方程，培養(yǎng)學生的模型觀念．2．通過類比含分母的一元一次方程的解法，學習分式方程的解法，體會類比的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的計算能力．3．經歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程，發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力，滲透數(shù)學的轉化思想，培養(yǎng)學生的意識，讓學生體會數(shù)學的應用價值．重點難點舊識回顧1．什么是方程？2．解一元一次方程的一般步驟是什么？3．解方程：

.含有未知數(shù)的等式去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1去分母，得2x－1＝x＋2，移項、合并同類項，得x＝3

一艘輪船在靜水中的最大航速為20km/h,它沿江以最大航速順流航行100km所用時間,與以最大航速逆流航行60km所用時間相等,江水的流速為多少?解:設江水的流速為vkm/h，

根據題意，得

這樣的方程與以前學過的方程一樣嗎？知識點1分式方程的概念分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.這些方程有什么共同特征？*我們以前學習的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中.（1）是方程——含有未知數(shù)的等式；（2）是分式——分母中含有未知數(shù).提煉分式方程必須滿足的條件：知識點2分式方程的解法如何解方程？思考（1）如何把它轉化為整式方程？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個分母都約去？（4）這樣做的依據是什么？解分式方程最關鍵的問題是什么？整式方程轉化各個分母的最簡公分母等式的性質2去分母方程兩邊同乘各分母的最簡公分母：(30+v)(30–v)得解得

v=6檢驗：將

v=6代入原方程中，左邊=2.5=右邊，因此v=6是原方程的解.90(30–v)=60(30+v)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般方法.結小納歸解下列方程：【教材P166練習第(1)(2)題】最簡公分母：x(x–2)解：去分母，得解得

x=–5檢驗：將

x=–5代入原方程中，左邊=–1=右邊，因此x=–5

是原方程的解.5(x–2)=7x最簡公分母：(x+3)(x–1)解：去分母，得解得

x=5檢驗：將

x=5代入原方程中，左邊=0.25=右邊，因此x=5

是原方程的解.2(x–1)=x+3解：在方程兩邊乘最簡公分母_____________，去分母，得x+5=10解得x=5(x–5)(x+5)x=5是①的解嗎？檢驗：將x=5代入①，分母x–5和x2–25的值都為0，相應的分式無意義.因此x=5雖然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解.此分式方程無解.①②比較解上面兩個分式方程的過程，為什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？思考最簡公分母解結論(x–5)(x+5)(30+v)(30–v)x=5v=6所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解與①的解相同回代結果≠0回代結果=0x=5是分式方程的增根一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應做如下檢驗:歸納將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.解：方程兩邊乘x(x–3)，得2x=3x–9解得

x=9檢驗：當x=9時，x(x–3)≠0，所以，原分式方程的解為x=9.例1

解方程例2

解方程解：方程兩邊乘(x–1)(x+2)，得x(x+2)–(x–1)(x+2)=3解得

x=1檢驗：當x=1時，(x–1)(x+2)=0所以，原分式方程無解.因此，x=1不是原分式方程的解.分式方程去分母整式方程解整式方程x=m檢驗x=m

是分式方程的解歸納x=m

不是分式方程的解最簡公分母不為0最簡公分母為0目標解分式方程的一般過程：解下列方程：【教材P166練習第(3)~(6)題】解：方程兩邊乘2x(x+3)，得x+3=4x解得

x=1檢驗：當x=1時，

2x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解為x=1.解：方程兩邊乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3解得

x=檢驗：當x=時，

3(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：方程兩邊乘(x–1)(x+1)，得2(x+1)=4解得

x=1檢驗：當x=1時，

(x–1)(x+1)=

0，所以，原分式方程無解.解：方程兩邊乘x(x–1)(x+1)，得5(x–1)–(x+1)=0解得

x=檢驗：當x=時，

x(x–1)(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.1.解下列方程：【教材P169習題18.5第1題】解：(1)方程兩邊乘x(x+3)，得x+3

=5x解得x=檢驗：當x=時，

x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：(2)方程兩邊乘2(x–1)，得2x=3–4(x–1)解得x=檢驗：當x=時，

2(x–1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：(3)方程兩邊乘(2x+1)(2x–1)，得2(2x+1)=4解得x=檢驗：當x=時，

(2x+1)(2x–1)=

0，所以，原分式方程無解.解：(4)方程兩邊乘x(x+2)(x–2)，得3(x–2)–(x+2)

=0解得x=4檢驗：當x=4時，

x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解為x=4.解：(5)方程兩邊乘(x–1)(x

–3)，得x(x–1)

=(x+1)(x

–3)解得x=–3檢驗：當x=–3

時，

(x–1)(x

–3)≠0，所以，原分式方程的解為x=–3.解：(6)方程兩邊乘(x

–2)，得x

–3

+x

–2

=–3解得x=1檢驗：當x=1時，

x

–2≠0，所以，原分式方程的解為x=1.解：(7)方程兩邊乘6x(x+1)，得6(2x+1)

=5x解得x=檢驗：當x=時，

6x(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：(8)方程兩邊乘2(3x

–1)，得3(3x

–1)

–2=5解得x=檢驗：當x=時，

2(3x

–1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.知識點1

分式方程的概念1.下列式子中，屬于分式方程的是(