2022-2023學(xué)年選擇性必修一素養(yǎng)提升檢測(cè)（湘教版）3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)（三）（解析版）（測(cè)試時(shí)間60分鐘）一、單選題（1．（2022·四川德陽(yáng)高三專題檢測(cè)）已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的離心率可求得的值，分析可知兩雙曲線的漸近線重合，再結(jié)合兩雙曲線的焦點(diǎn)位置可得出的值.【詳解】由題意可知，雙曲線的離心率為，可得，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線、的漸近線重合，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)橹本€與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則.故選：B.2．（2022·山西長(zhǎng)治高三專題模擬）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚2s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.【詳解】如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)檩S、軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽(tīng)到爆炸聲，故，由雙曲線定義知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線左支上，依題意得故雙曲線方程為，將代入上式，得，即故.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北距中心處．故選：A.3．（2022·浙江舟山高二期末）已知是雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，分別求出和，即可求出.【詳解】設(shè).過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則，解得：，所以.由雙曲線可得漸近線為.由對(duì)稱性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，所以.因?yàn)?，所以，解得?故選：B4．（2023·河北石家莊高三專題檢測(cè)）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出，，的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，結(jié)合為線段的中點(diǎn)，以及兩點(diǎn)之間的斜率公式，通過(guò)恒等變換，得到與的斜率的乘積與的關(guān)系，根據(jù)化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡(jiǎn)得，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即所以，即，由，得.故選：B.5．（2022·陜西寶雞高三專題模擬）已知直線與雙曲線無(wú)公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒(méi)有公共交點(diǎn)，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.6．（2022·江蘇連云港高二檢測(cè)）P為橢圓上異于左右頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，則直線與的斜率之積為定值，將這個(gè)結(jié)論類比到雙曲線，得出的結(jié)論為：P為雙曲線上異于左右頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，則（

）A．直線與的斜率之和為定值B．直線與的斜率之積為定值C．直線與的斜率之和為定值D．直線與的斜率之積為定值【答案】D【分析】橢圓的結(jié)論類比到雙曲線，只需驗(yàn)證直線與的斜率之積為定值即可.【詳解】設(shè)，則，即：，為定值.故選：D.7．（2020·黑龍江黑河模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．20 B．22 C．24 D．25【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為與雙曲線方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出,在利用均值不等式可得答案.【詳解】依題意得直線與的斜率都存在且不為0，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，，同理可得，，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：C8．（2023·銀川二中高三專題檢測(cè)）長(zhǎng)為11的線段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出和，(F為雙曲線右焦點(diǎn)）解出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，求得m的最小值.【詳解】由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設(shè)AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．檢驗(yàn):如圖，當(dāng)F、A、B共線且軸時(shí)，為雙曲線的通徑，則根據(jù)通徑公式得,所以軸不滿足題意.綜上，當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．故選：B．二、多選題（）9．（2022·黑龍江·慶安縣第一中學(xué)高二期中）已知兩點(diǎn)，，則在下列曲線上存在點(diǎn)滿足的方程有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】要使這些曲線上存在點(diǎn)滿足，需曲線與的垂直平分線相交．根據(jù)，的坐標(biāo)求得垂直平分線的方程，分別于題設(shè)中的方程聯(lián)立，看有無(wú)交點(diǎn)即可．【詳解】解：要使這些曲線上存在點(diǎn)滿足，需曲線與的垂直平分線相交．因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，的垂直平分線為，即，，即與，斜率相同、縱截距不相同，故兩直線平行，可知兩直線無(wú)交點(diǎn)，進(jìn)而可知A不符合題意．由與，聯(lián)立消去得，，可知B中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故B正確；與，聯(lián)立消去得，，可知C中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故C正確；與，聯(lián)立消去得，，可知D中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故D正確；故選：BCD．10．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的右焦點(diǎn)在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記、的斜率分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為C．為定值 D．存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【分析】對(duì)于AB，利用雙曲線的概念及幾何性質(zhì)可以容易判斷；對(duì)于C，利用點(diǎn)在雙曲線上得到，進(jìn)而直接化簡(jiǎn)即可；對(duì)于D，利用的范圍可以判斷得范圍，進(jìn)而可以判斷存在點(diǎn)與否.【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)在直線上，易得右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由于離心率為，則，所以，所以雙曲線方程為，故B正確；易得雙曲線漸近線方程為，故A正確；設(shè)點(diǎn)，又、，則，即，故，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵诘谝幌笙蓿瑒t，即，即，，所以，故存在點(diǎn)，使得，故D正確.故選：ABD.11．（2022·陜西渭南高三專題檢測(cè)）下圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C與坐標(biāo)軸交于D，E，則（

）A．雙曲線C的方程為B．雙曲線與雙曲線C共漸近線C．存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)D．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3【答案】ABD【分析】求出、的坐標(biāo)并代入，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】依題意可知，，將、的坐標(biāo)分別代入，得，解得，，所以雙曲線C的方程為：，其漸近線為，故A正確；對(duì)于B，由，可知其漸近線為，故B正確；對(duì)于C，由雙曲線的性質(zhì)可知，漸近線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則，即，由題可知，則，，即存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，故D正確.故選：ABD.12．（2021·河北唐山高二課時(shí)檢測(cè)）已知定點(diǎn)，定直線l：，動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．軌跡E的方程為B．軌跡E上的點(diǎn)P到定點(diǎn)F距離的最小值為2C．軌跡E上的點(diǎn)P到定直線l：距離的最小值為1D．軌跡E上的點(diǎn)到直線l：距離的最小值為【答案】AD【分析】設(shè)，用坐標(biāo)表示點(diǎn)的幾何性質(zhì)化簡(jiǎn)得軌跡方程，判斷A，求出軌跡E上的點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離，利用A中方程中的范圍可得最小值判斷B，同時(shí)判斷C，求出與平行且與軌跡相切的直線方程后可得軌跡上的點(diǎn)到直線的距離的最小值判斷D．【詳解】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，所以軌跡E的方程是，A正確．軌跡E上的點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離為，因?yàn)榛?，所以距離的最小值為1；軌跡E上的點(diǎn)Р到定直線l：距離的最小值為，B，C不正確．設(shè)直線m：與雙曲線E相切，聯(lián)立，得，由，解得，易知切線m：到直線l：的距離最小，當(dāng)時(shí)，解方程得，當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)即為所求，此時(shí)最小值，D正確．故選：AD．填空題13．（2022·江蘇南通高二階段檢測(cè)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值集合為_(kāi)_____．【答案】【分析】將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，可得出關(guān)于的二次方程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】聯(lián)立可得，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：.14．（2022·浙江·元濟(jì)高級(jí)中學(xué)高二期中）直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，根據(jù)直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的取值范圍.【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線為與曲線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，若，則曲線為以為圓心，1為半徑的圓軸正半軸的部分，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則即，解得，若曲線為雙曲線軸負(fù)半軸的部分，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，雙曲線的漸近線為則綜上：的取值范圍是.故答案為：15．（2022·江蘇鎮(zhèn)江高三階段檢測(cè)）已知雙曲線的右準(zhǔn)線l與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為（，），則C的方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程以及漸近線方程的交點(diǎn)，即可列出等量關(guān)系求解，進(jìn)而可求雙曲線方程.【詳解】雙曲線的右準(zhǔn)線l方程為,由題意可知：且，又解得：，所以雙曲線方程為：，故答案為：16．（2021·重慶八中高二階段檢測(cè)）已知雙曲線離心率為2，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，分別是其左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義將用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的值域.【詳解】∵雙曲線離心率為2，∴，故雙曲線方程為，不妨設(shè)為右支上的一點(diǎn)，其中，，，即，，∴，此時(shí)，∴，∴故答案為：四、解答題（）17．（2022·山東煙臺(tái)高二課時(shí)檢測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足：．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，求雙曲線C的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及相等向量，列式消去參數(shù)m作答.（2）由給定條件，將雙曲線方程化簡(jiǎn)為，再與點(diǎn)P的軌跡方程聯(lián)立求出作答.(1)依題意，，而，則，消去m得：，所以點(diǎn)P的軌跡方程是.(2)因雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，即，雙曲線C的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即OM⊥ON，有，而，因此，，，解得，，所以雙曲線方程為.18．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高二階段檢測(cè)）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，且滿足P是線段的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程可得的值，即可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)過(guò)的直線方程為：，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，代入雙曲線方程，再相減，運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程，代入雙曲線方程，檢驗(yàn)判別式即可判斷．（1）解：已知點(diǎn)在雙曲線上所以，整理得：，解得：，則所以雙曲線方程為：.（2）解：由題可知若直線存在則直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為：且設(shè)交點(diǎn)則，兩式相間得：由于為中點(diǎn)，則則即有直線的方程：，即檢驗(yàn)判別式為，方程無(wú)實(shí)根．故不存在過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線相交A,B兩點(diǎn)，且滿足P是線段的中點(diǎn).19．（2022·江蘇南通高二課時(shí)檢測(cè)）如圖，某野生保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置在點(diǎn)O處，正西、正東、正北處有3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生動(dòng)物觀察員在保護(hù)區(qū)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均收到求救信號(hào)，A點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比B點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早（注：信號(hào)每秒傳播）(1)求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；(2)若C點(diǎn)信號(hào)失靈，現(xiàn)立即以C為圓心進(jìn)行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置為點(diǎn),由題意可知,即可判斷出觀察員所有可能出現(xiàn)的位置為雙曲線的左支.結(jié)合，，即