微專題01平面向量總結結論1極化恒等式．1．平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2．極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的。（2）三角形模式：（M為BD的中點）AABCM結論2矩形大法：矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等。已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點，證明：。【證明】（坐標法）設，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則，設，則結論3三點共線的充要條件設、、是三個不共線向量，則A、B、P共線存在使．特別地，當P為線段AB的中點時，。結論4等和線【基本定理】平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然。等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。（1）當?shù)群途€恰為直線時，；（2）當?shù)群途€在點和直線之間時，；（3）當直線在點和等和線之間時，；（4）當?shù)群途€過點時，；（5）若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數(shù)；結論5奔馳定理【奔馳定理】若O為內(nèi)任一點，且，則例1.在中，是的中點，，則____.解：因為是的中點，由極化恒等式得：=9-=-16例2.正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是。解：取AB的中點D，連結CD，因為三角形ABC為正三角形，所以O為三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）又由極化恒等式得：因為P在圓O上，所以當P在點C處時，當P在CO的延長線與圓O的交點處時，所以例3.已知圓與，定點，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是。解：以為鄰邊作矩形，則由得，即，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，。例4.在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.解：因為，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，從而，因為，所以，即例5.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若，則（）A.B.C.D.【答案】B。【解析】，又，。例6、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點在以為圓心的圓弧上變動。若，其中，則的最大值是__________。（秒殺）作平行于AB的直線l，當且僅當l與圓相切時，的取最大值2。詳解：令，則由得.由三點共線可得過關測試一、單選題1．（黑龍江省哈爾濱市第三中學2021-2022學年高三上學期第三次驗收考試數(shù)學（理科）試題）已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由已知得，所以點在的平分線上，即為的角平分線，利用正弦定理得，，可知，結合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.【詳解】表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，的分向與的平分線一致，，所以點在的平分線上，即為的角平分線，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，其中分析可知當時，取得最小值，即故選：C2．（重慶市九龍坡區(qū)2022屆高三上學期期中數(shù)學試題）已知，，，，則的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設易知四邊形為矩形，構建以為原點直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為平面上滿足的情況下，結合兩點距離公式求兩點距離的范圍.【詳解】由題設，四邊形為矩形，構建以為原點的直角坐標系，如下圖，若，則，設，∴，且，又，∴，即.故選：B【點睛】關鍵點點睛：構建直角坐標系，將平面向量的模長問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點的距離問題，應用解析法求范圍.3．（廣東省肇慶市2022屆高三上學期第一次統(tǒng)一檢測數(shù)學試題）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和三點共線，可得和，利用平面向量線性運算可用表示出，由此可得方程組求得，進而得到的值.【詳解】連接，，三點共線，可設，則，；三點共線，可設，則，；，解得：，，即.故選：B.【點睛】思路點睛：本題考查平面向量基本定理的應用，基本思路是根據(jù)為兩線段交點，利用兩次三點共線，結合平面向量基本定理構造出方程組求得結果.4．（云南省師范大學附屬中學2022屆高三高考適應性月考卷（四）數(shù)學（理）試題）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，從而可得，設，由向量減法及數(shù)量積可知的終點在以為圓心，以為半徑的圓周上，結合圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】由得，．不妨設，則的終點在以為圓心，以為半徑的圓周上．因為與是單位向量，所以的最大值是與圓心距離加，即，最小值是與圓心距離減，即，故和為.故選：A．5．（中學生標準學術能力診斷性測試2021-2022學年高三上學期10月測試文科數(shù)學試題）已知是矩形，且滿足.其所在平面內(nèi)點滿足：，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)題意得到點M,N的軌跡方程，然后作出圖形，進而結合數(shù)量積的定義和坐標運算得到答案.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系，則設，由，所以，化簡得：，記為圓，設，由，所以，化簡得：，記為圓,即為，兩圓圓心距為：，半徑和為：，所以，則兩圓相離，如圖所示，對圓，令y=0，得：，令圓，令y=0，得：，所以，，又，結合平面向量數(shù)量積的定義可知，的最小值為，的最大值為.故選：B.6．（2021·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示可得點的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以不妨設，，，，，，則，，因為，所以，化簡為：，所以對應的點是以為圓心，半徑為的圓，所以的最小值為，故選：B.7．（2021·湖南·永州市第一中學高一期中）已知平面向量滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得，，，設，，，可得點的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，，，因為，所以，設，，，，，所以，即，所以點在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點與定點的距離，所以的最小值為，故選：D.8．（2021·全國·高二專題練習）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】畫出圖形，將轉(zhuǎn)化為，進而化簡，結合圖形得到答案.【詳解】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2，，則當點P位于雙曲線左支的頂點時，最小，即最小.此時的最小值為：.故選：C.二、多選題9．（廣東省深圳市普通中學2022屆高三上學期質(zhì)量評估（新高考I卷）數(shù)學試題）在中，角所對的邊分別為，，，為的外接圓，，給出下列四個結論正確的是（）A．若，則；B．若P在上，則的最大值為2；C．若P在上，則；D．若，則點P的軌跡所對應圖形的面積為.【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運算以及向量的求模公式可判斷A，根據(jù)向量的線性運算，結合點與圓的位置關系及基本不等式可判斷BC，根據(jù)向量的線性運算，結合點的軌跡及三角形的面積公式可判斷D.【詳解】，，為的外接圓對于A：若，則,故A正確對于BC：由若P在上，則（當且僅當時取等號）故B錯誤，C正確；對于D：若，則點P的軌跡：當時,,此時點在線段;當時,,此時點在線段;當時，，構造平行四邊形,此時點在線段上；當時，，構造平行四邊形,此時點在線段上；當時，，此時點在菱形內(nèi)部，綜上點的軌跡為菱形組成的圖形區(qū)域，則，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了向量的線性運算以及向量的求模公式，點與圓的位置關系，基本不等式，點的軌跡及三角形的面積公式，熟悉以上內(nèi)容綜合運用是解題的關鍵.10．（2021·廣東·仲元中學高一期中）已知?是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結論正確的是（）A．?的夾角是 B．?的夾角是C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件知，的最小值為，結合二次函數(shù)與方程的特點可求出的夾角為或，從而求出的值．【詳解】，是兩個單位向量，且的最小值為，的最小值為，的最小值為，即在上有唯一一個解，所以，所以與的夾角為或，所以正確，或3，或，所以正確，故選：．11．（2021·江蘇·鹽城中學高一階段練習）在中，，，下述四個結論中正確的是（）A．若為的重心，則B．若為邊上的一個動點，則為定值2C．若，為邊上的兩個動點，且，則的最小值為D．已知為內(nèi)一點，若，且，則的最大值為2【答案】AC【分析】A.以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，由為的重心，結合向量的數(shù)乘運算判斷；B.設，把用含t的代數(shù)式表示判斷；C.不妨設M靠近B，，求得M，N的坐標，得到關于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)求值判斷；D.由結合BP=1，得到，再令，轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則，因為為的重心，所以，則，所以，所以，故A正確；設，則，則，，故B錯誤；不妨設M靠近B，，得，則，當時，的最小值為：故C正確；由，且P為內(nèi)一點，BP=1，則，即，令，則，因為，則，所以，所以的范圍是，故D錯誤.故選：AC12．（2021·廣東·高三階段練習）已知，點滿足，則下列說法中正確的是（）A．當時，的最小值為1 B．當時，C．當時，的面積為定值 D．當時，【答案】AD【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再利用余弦定理求出，即可得到，再一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以，，，所以，因為，所以，由余弦定理，所以，所以，所以，當時，點在直線上，故的最小值為點到直線的距離，故A正確；，若，則，故B錯誤；當時，點在過線段中點且平行于直線的直線上，的面積不為定值，故C錯誤；當時，點在過線段中點且平行于直線的直線（即線段的垂直平分線）上，所以，故D正確；故選：AD13．（2021·河北邯鄲·高一期中）如圖，在中，，，，點，為邊上兩個動點，且滿足，則下列選項正確的是（）

A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．當取得最大值時，點與點重合【答案】BC【分析】取的中點，利用向量的加法法則和數(shù)量積的運算律可得，求出的最小值，即可得答案，當點與點重合時，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【詳解】取的中點，則，，則，易知的最小值為點到的距離，即的最小值為，即的最小值為，故B選項正確，A錯誤；當點與點重合時，取得最大值，即，故的最大值為，故C選項正確，D錯誤.故選：BC

14．（2021·江蘇常州·高一期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，，分別為，上的動點，設，，其中，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則與不共線C．若，記三角形的面積為，則的最大值為D．若，且，分別是，邊的中點，則的最小值為【答案】ACD【分析】由，得到，即可判定A正確；當時，，可判定B不正確；由的面積為，結合基本不等式，可判定C正確；建立平面直角坐標系，得到，，結合，即可判定以D正確.【詳解】對于A中，因為，，且，可得，所以，其中，所以，即，所以A正確；對于B中，當時，，可得與為共線向量，所以B不正確；對于C中，在等腰直角中，，，且，，所以的面積為，又由，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以C正確；對于D中，如圖所示，以A為原點，以分別為軸建立直角坐標系，可得，則，，可得，因為別是，邊的中點，所以，，又因為，可得點在單位圓上，，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，所以的最小值為，所以D正確.故選：ACD.15．（2021·云南·昆明一中高一期中）如圖，在矩形ABCD內(nèi)(不包含邊界)有一動點Q，滿足，，，若，其中，，則下列命題中正確的選項為（）A．為定值 B．且C．的最小值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】以為原點，所在的直線為軸，以所在的直線為軸建，設，，可得，根據(jù)已知條件以及向量線性運算的坐標表示可得，，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角恒等變換即可得出正確選項.【詳解】如圖：以為原點，所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立平面直角坐標系，，，，設，，因為，所以，，，，由可得：，所以，，即，，對于選項A：，的值隨的變化而變化，所以不是定值，故選項A不正確；對于選項B：可得，所以，故選項B正確；對于選項C：，因為，可得當時，的最大值為，而不是最小值，故選項C不正確；對于選項D：當時，最大值為，故選項D正確，故選：BD.三、填空題16．（浙江省91高中聯(lián)盟2021-2022學年高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知平面向量滿足：，當與所成角最大時，則______【答案】【分析】方法一：記，，，由條件可得，由此確定點C的軌跡，則與的夾角為，證明當C為過，兩點的圓與圓相外切時的切點時，最大，設圓的半徑為，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O為原點，OA，OB為x，y軸建立坐標系，求點C的軌跡，則與的夾角為，證明當C為過，兩點的圓與圓相外切時的切點時，最大，由求點E的坐標，由此可求.【詳解】解：記，，，則，即點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．過，兩點的圓與圓相外切，記切點為，此時最大（如圖）．下證上述結論：取圓上不同于切點的點，因為在圓的外面，所以．下面求當最大時，的值．記圓的半徑為，則．所以只需求出圓的半徑為即可．法一：如右圖，為弦的中點，在中，由余弦定理求得，，則．在中，，，，，由余弦定理得，．即．法二：如圖建系，，，，點在以為圓心，1為半徑的圓上．以為弦長作圓，當圓與圓外切時最大．圓心在弦的中垂線上，設，則，即，化簡得，即或（舍去），此時，得．故答案為：.17．（遼寧省實驗中學2021-2022學年高三上學期期中數(shù)學試題）在銳角中，，若點為的外心，且，則的最大值為___________.【答案】【分析】通過向量的減法，把，轉(zhuǎn)化為與，進行整理后再平方處理即可得解.【詳解】，整理得：設銳角外接圓的半徑為，所以，則上式兩邊平方得：①，其中，代入①式，得：，整理得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立即，解得：或當時，此時，，此時P點在△ABC外部，△ABC為鈍角三角形，與題干矛盾，所以舍去，成立故答案為：18．（專題5.2解析幾何與平面向量相結合問題-玩轉(zhuǎn)壓軸題，進軍滿分之2021高考數(shù)學選擇題填空題）正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，動點P滿足，若，其中，則的最大值是________【答案】【分析】以正方形的中心為原點建立平面直角坐標系，設出相關點的坐標，利用平面向量的線性運算得到，及的表達式，再利用斜率公式將轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關系進行求解.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，又，所以，則，其幾何意義為過點與點的直線的斜率，設過點的直線方程為，即，點的軌跡方程為，由題意，得該直線與圓有公共點，所以，解得，即的最大值是1.故答案為：1.19．（2021·湖南·嘉禾縣第一中學高一階段練習）如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設向量，則的最小值為___________．【答案】【分析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，正方形的邊長為1，求出各點坐標，設，，由列方程，利用和表示和，再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值.【詳解】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則，，，，設，，因為，，所以，所以，解得：，所以，令，可知當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，的最小值為，故答案為：.20．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習（理））如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，.若，，則的最小值是______.【分析】平面向量基本定理，借助三點共線，找出的關系式，的最值利用消元法求解范圍即可.【詳解】平面向量基本定理，借助三點共線可知：，得解得