2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：抽樣調(diào)查方法與判別分析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.從一個(gè)包含N個(gè)單元的總體中，逐個(gè)抽取單元，直到獲得n個(gè)單元構(gòu)成樣本，且每次抽取后不放回，這種抽樣方式稱為（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.不等概率抽樣2.在分層抽樣中，最優(yōu)化的分層方法是使層內(nèi)方差盡可能小，層間方差盡可能大，這種做法的主要目的是（）。A.提高抽樣效率B.確保樣本代表性C.簡(jiǎn)化抽樣工作D.降低抽樣成本3.抽樣誤差是指（）。A.測(cè)量工具造成的誤差B.調(diào)查人員造成的誤差C.由于抽樣導(dǎo)致樣本結(jié)果與總體真值之間的差異D.登記錯(cuò)誤造成的誤差4.在其他條件不變的情況下，樣本量增大，抽樣平均誤差（）。A.不變B.減小C.增大D.可能增大也可能減小5.對(duì)于分類(lèi)數(shù)據(jù)，若要判斷一個(gè)個(gè)體屬于哪個(gè)類(lèi)別，可以使用的方法是（）。A.回歸分析B.主成分分析C.聚類(lèi)分析D.判別分析6.費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)的基本思想是通過(guò)線性組合將多維數(shù)據(jù)投影到一維空間，使得投影后（）。A.類(lèi)內(nèi)離差最小B.類(lèi)間離差最大C.類(lèi)內(nèi)離差最大D.類(lèi)間離差最小7.在計(jì)算費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)時(shí)，如果某個(gè)自變量的系數(shù)為負(fù)，意味著（）。A.該變量對(duì)判別貢獻(xiàn)不大B.該變量在投影后方向相反C.該變量與判別組別無(wú)關(guān)D.該變量必為分類(lèi)變量8.使用馬氏距離進(jìn)行判別分析時(shí)，主要考慮的是（）。A.各變量均值之間的差異B.各變量方差的大小C.變量間的相關(guān)關(guān)系D.數(shù)據(jù)點(diǎn)到類(lèi)中心點(diǎn)的距離，同時(shí)考慮變量的尺度差異9.在距離判別中，如果一個(gè)待判樣本點(diǎn)到各個(gè)類(lèi)的馬氏距離都很大，這可能意味著（）。A.該樣本點(diǎn)肯定不屬于任何一個(gè)已知類(lèi)B.該樣本點(diǎn)可能屬于任何一個(gè)已知類(lèi)C.該樣本點(diǎn)一定是某個(gè)已知類(lèi)的核心點(diǎn)D.計(jì)算過(guò)程中存在誤差10.判別分析模型的構(gòu)建需要先有已知的樣本分類(lèi)信息，這是因?yàn)樗枰眠@些信息來(lái)（）。A.預(yù)測(cè)模型的未來(lái)表現(xiàn)B.計(jì)算未知樣本的歸屬概率C.確定最優(yōu)的分類(lèi)邊界D.估計(jì)總體的參數(shù)二、填空題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）1.在分層抽樣中，理想的分層是層內(nèi)同質(zhì)性高，層間異質(zhì)性高。2.抽樣調(diào)查中，若保持抽樣比例不變，將總體單位數(shù)增加一倍，則樣本量也會(huì)增加一倍（在比例抽樣框架下）。3.抽樣誤差可以分為抽樣平均誤差和抽樣極限誤差。4.系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔應(yīng)盡量避免與周期性因素重合，以防止系統(tǒng)偏差。5.判別分析的核心目的是找到一個(gè)或多個(gè)判別函數(shù)，以區(qū)分不同的總體或類(lèi)別。6.費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)的構(gòu)建基于最大化類(lèi)間散度矩陣與最小化類(lèi)內(nèi)散度矩陣之比的原則。7.在進(jìn)行判別分析之前，通常需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，尤其是在使用馬氏距離或計(jì)算協(xié)方差矩陣時(shí)。8.若一個(gè)樣本點(diǎn)根據(jù)計(jì)算得到的后驗(yàn)概率，其屬于A類(lèi)的概率遠(yuǎn)高于B類(lèi)，但最終卻被判為B類(lèi)，可能的原因之一是先驗(yàn)概率的影響。9.對(duì)于多類(lèi)判別問(wèn)題，可以采用逐一判別（一對(duì)一）或直接判別（一對(duì)多）的方法進(jìn)行處理。10.判別分析的效果好壞，可以通過(guò)回代正確率、錯(cuò)判率等指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述分層抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)。2.簡(jiǎn)述影響抽樣誤差大小的因素。3.簡(jiǎn)述費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)的基本思想。4.簡(jiǎn)述距離判別與費(fèi)歇爾判別的主要區(qū)別。四、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.某社區(qū)共有1000戶家庭，欲采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為50戶的樣本。試計(jì)算重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣下，抽樣平均誤差（以樣本均值為例）。2.現(xiàn)有兩類(lèi)樣本數(shù)據(jù)，A類(lèi)有5個(gè)樣本，B類(lèi)有5個(gè)樣本，每個(gè)樣本包含2個(gè)變量。經(jīng)計(jì)算得到：SA=2,SB=3,SW=1(其中SA和SB分別是A類(lèi)和B類(lèi)的離差陣的跡，SW是合并離差陣的跡)。試比較兩類(lèi)數(shù)據(jù)的類(lèi)內(nèi)離散程度和總離散程度，并簡(jiǎn)要說(shuō)明這對(duì)你構(gòu)建判別函數(shù)有何啟示。3.已知某問(wèn)題分為三類(lèi)（1,2,3），使用費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。對(duì)于一個(gè)新的待判樣本X=(x1,x2)，計(jì)算得到其關(guān)于三個(gè)類(lèi)的判別值分別為：d1=5,d2=3,d3=4。假設(shè)先驗(yàn)概率相等，請(qǐng)判斷該樣本X最可能屬于哪一類(lèi)？五、綜合應(yīng)用題（10分）某公司想根據(jù)員工的月收入（X1，單位：千元）和工作年限（X2，單位：年）來(lái)區(qū)分高績(jī)效員工和普通員工。收集了15名員工的數(shù)據(jù)（假設(shè)數(shù)據(jù)已標(biāo)準(zhǔn)化），并使用費(fèi)歇爾判別分析法建立了判別函數(shù)。對(duì)于新入職的一名員工，其月收入為5千元，工作年限為1年（數(shù)據(jù)已標(biāo)準(zhǔn)化），該員工被歸類(lèi)為高績(jī)效員工。請(qǐng)結(jié)合判別分析的基本原理，解釋為什么該員工會(huì)被歸類(lèi)為高績(jī)效員工，并說(shuō)明在建立和使用判別函數(shù)時(shí)應(yīng)注意哪些潛在問(wèn)題。試卷答案一、選擇題1.B*解析思路：逐個(gè)抽取且不放回是系統(tǒng)抽樣的典型特征。2.A*解析思路：分層抽樣通過(guò)劃分同質(zhì)層，使得層內(nèi)方差?。ǔ闃诱`差?。?，層間方差大（類(lèi)間差異明顯），從而提高抽樣效率。3.C*解析思路：抽樣誤差是抽樣方法本身帶來(lái)的、不可避免的隨機(jī)誤差，是樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異。4.B*解析思路：抽樣平均誤差與樣本量的平方根成反比（n^(1/2)），樣本量增大，誤差減小。5.D*解析思路：判別分析的目標(biāo)是根據(jù)個(gè)體在多個(gè)特征上的觀測(cè)值，判斷其所屬的已知類(lèi)別。6.B*解析思路：費(fèi)歇爾判別函數(shù)的核心思想是找到投影方向，使得投影后類(lèi)間散度最大，類(lèi)內(nèi)散度最小，從而最大化類(lèi)間差異與類(lèi)內(nèi)差異的比值。7.B*解析思路：系數(shù)正負(fù)表示該變量在判別空間中的投影方向。系數(shù)為負(fù)，表示該變量值越大，個(gè)體越傾向于遠(yuǎn)離該系數(shù)為正的變量的判別邊界。8.D*解析思路：馬氏距離考慮了變量間的相關(guān)關(guān)系，并按變量的方差進(jìn)行加權(quán)，適用于變量間相關(guān)性強(qiáng)或方差不等的情況。9.B*解析思路：距離大可能意味著該點(diǎn)遠(yuǎn)離各類(lèi)中心，但也可能在邊界附近或?qū)儆谀硞€(gè)類(lèi)但距離中心較遠(yuǎn)，不能絕對(duì)排除。10.C*解析思路：判別分析需要利用已知分類(lèi)的樣本計(jì)算判別函數(shù)（邊界），才能對(duì)未知樣本進(jìn)行分類(lèi)。二、填空題1.高，高*解析思路：分層抽樣目的在于提高效率，需實(shí)現(xiàn)層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)。2.是*解析思路：在比例抽樣中，樣本量與總體量成正比。3.抽樣平均誤差，抽樣極限誤差*解析思路：抽樣誤差的兩種主要表現(xiàn)形式。4.避免，重合*解析思路：系統(tǒng)抽樣需注意抽樣間隔與潛在周期性因素避免重合，以防止引入偏差。5.區(qū)分，不同總體或類(lèi)別*解析思路：判別分析的根本目的在于有效區(qū)分樣本來(lái)源的類(lèi)別。6.最大化，最小化*解析思路：費(fèi)歇爾準(zhǔn)則就是最大化類(lèi)間散度（差異）并最小化類(lèi)內(nèi)散度（相似性）。7.標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化*解析思路：判別分析對(duì)變量的尺度敏感，馬氏距離涉及協(xié)方差矩陣，需先標(biāo)準(zhǔn)化。8.先驗(yàn)概率*解析思路：當(dāng)先驗(yàn)概率差異大時(shí)，即使后驗(yàn)概率不高，也可能因先驗(yàn)權(quán)重而被錯(cuò)判。9.逐一判別，一對(duì)多*解析思路：多類(lèi)判別常見(jiàn)的兩種實(shí)現(xiàn)方式。10.回代正確率，錯(cuò)判率*解析思路：常用的模型評(píng)估指標(biāo)，正確率高、錯(cuò)判率低表示模型效果好。三、簡(jiǎn)答題1.答：分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)在于：*能夠保證樣本在關(guān)鍵特征（分層變量）上的結(jié)構(gòu)比例與總體一致，提高了樣本的代表性，特別是對(duì)于小樣本量時(shí)。*可以縮小抽樣誤差，因?yàn)楦鲗觾?nèi)部變異較小，提高了抽樣的效率（或精度）。*便于對(duì)不同層進(jìn)行獨(dú)立分析和推斷。*可以滿足不同層別特定研究目的的需要。2.答：影響抽樣誤差大小的因素主要有：*總體變異程度：總體中標(biāo)志值的變異（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）越大，抽樣誤差越大。*樣本量的大小：樣本量越大，抽樣誤差越?。粯颖玖吭叫?，抽樣誤差越大。*抽樣方法：不同的抽樣方法（如簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、整群抽樣等）有不同的抽樣誤差，通常分層抽樣效率最高，整群抽樣最低（若組織良好）。*抽樣方式：重復(fù)抽樣比不重復(fù)抽樣的抽樣誤差要大（在樣本量相同時(shí)）。3.答：費(fèi)歇爾線性判別函數(shù)的基本思想是：在一個(gè)高維特征空間中，將不同類(lèi)別的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能區(qū)分開(kāi)。它通過(guò)一個(gè)線性組合（權(quán)重向量乘以變量值向量加上常數(shù)項(xiàng)）將多維數(shù)據(jù)投影到一個(gè)一維的判別軸上。投影的目標(biāo)是使得：*同一類(lèi)內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)在投影軸上的散布（類(lèi)內(nèi)離差）盡可能小。*不同類(lèi)別間的數(shù)據(jù)點(diǎn)在投影軸上的散布（類(lèi)間離差）盡可能大。*理想情況下，投影后不同類(lèi)別的數(shù)據(jù)點(diǎn)能夠被一個(gè)分割點(diǎn)（判別值）清晰分開(kāi)。通過(guò)計(jì)算判別值和比較待判樣本的判別值歸屬，實(shí)現(xiàn)分類(lèi)。4.答：距離判別與費(fèi)歇爾判別的主要區(qū)別在于：*基本思想：距離判別是基于“近朱者赤，近墨者黑”的原則，認(rèn)為距離某個(gè)類(lèi)別中心（均值或質(zhì)心）最近的樣本點(diǎn)就屬于該類(lèi)別，通常使用馬氏距離來(lái)衡量。費(fèi)歇爾判別則側(cè)重于尋找一個(gè)最優(yōu)投影方向，最大化類(lèi)間分離度與類(lèi)內(nèi)離散度的比值。*模型構(gòu)建：距離判別相對(duì)直接，只需計(jì)算樣本點(diǎn)到各類(lèi)中心的距離。費(fèi)歇爾判別需要計(jì)算各類(lèi)樣本的均值向量、協(xié)方差矩陣，并求解特征值和特征向量來(lái)確定判別函數(shù)和判別值。*對(duì)前提假設(shè)的敏感度：距離判別（尤其馬氏距離）對(duì)變量間的相關(guān)性和尺度更敏感。費(fèi)歇爾判別主要依賴于正態(tài)性、等方差性等假設(shè)（雖然在實(shí)際應(yīng)用中常放寬要求）。*適用性：距離判別更直觀，適用于各類(lèi)數(shù)據(jù)。費(fèi)歇爾判別在協(xié)方差矩陣可逆且類(lèi)間差異明顯時(shí)效果較好。四、計(jì)算題1.解：總體N=1000，樣本n=50。*重復(fù)抽樣平均誤差：μ_重=sqrt(σ^2/n)=sqrt(σ^2/50)。(其中σ^2為總體方差，未知時(shí)可用樣本方差s^2或p^2估計(jì)，但題目未給，僅給出公式)*不重復(fù)抽樣平均誤差：μ_不重=sqrt[σ^2/n*(1-(n-1)/N)]=sqrt[σ^2/50*(1-49/1000)]=sqrt[σ^2/50*(951/1000)]=sqrt(0.1902*σ^2/50)=sqrt(σ^2/263.16)。*結(jié)論：不重復(fù)抽樣的平均誤差小于重復(fù)抽樣的平均誤差。2.解：*比較類(lèi)內(nèi)離散程度：A類(lèi)的類(lèi)內(nèi)離差矩陣跡為2，B類(lèi)的為3。跡代表了類(lèi)內(nèi)總散度。因此，B類(lèi)樣本的類(lèi)內(nèi)離散程度大于A類(lèi)。*比較總離散程度：合并離差矩陣的跡為1。總離散程度由類(lèi)內(nèi)離散和類(lèi)間離散組成。由于只比較了類(lèi)內(nèi)跡，無(wú)法直接從這兩個(gè)數(shù)值判斷類(lèi)間離散的大小，但可以知道總離散度（1）小于A、B兩類(lèi)的類(lèi)內(nèi)離散度之和（2+3=5）。*對(duì)構(gòu)建判別函數(shù)的啟示：B類(lèi)的內(nèi)部差異更大，可能需要更關(guān)注B類(lèi)樣本的分布特征?？傠x散度相對(duì)較小，說(shuō)明樣本整體差異不是特別大。構(gòu)建判別函數(shù)時(shí)，應(yīng)關(guān)注如何最大化區(qū)分A、B兩類(lèi)，并注意B類(lèi)內(nèi)部較大的變異可能影響判別效果。3.解：先驗(yàn)概率相等，則待判樣本X屬于第i類(lèi)的后驗(yàn)概率近似與其判別值di成正比。*比較判別值：d1=5,d2=3,d3=4。*d1最大，因此X最有可能屬于第1類(lèi)。五、綜合應(yīng)用題答：該員工被歸類(lèi)為高績(jī)效員工，主要原因可能是：1.標(biāo)準(zhǔn)化后的月收入（5千元）和工作年限（1年）在該員工所屬的樣本群體（高績(jī)效員工群體）中，其線性組合（判別函數(shù)的值）計(jì)算出的判別值（d1=5）最高。這表明該員工在影響績(jī)效的這兩個(gè)維度上（標(biāo)準(zhǔn)化后），表現(xiàn)相對(duì)于其他兩類(lèi)員工（普通員工和該員工自身所屬的高績(jī)效群體）更為突出或更符合高績(jī)效員工在該群體中的典型模式。2.判別函數(shù)是基于歷史已知分類(lèi)數(shù)據(jù)建立的，它反映了高績(jī)效員工和普通員工在收入和工作年限上的差異模式。當(dāng)新樣本的判別值落在某個(gè)類(lèi)別的最大區(qū)域時(shí)，就判斷其屬于該類(lèi)別。潛在問(wèn)題包括：1.維度選擇：僅使用收入和年限兩個(gè)變量可能不夠全