第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對(duì)a，b滿足且，則下面結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）記地球與太陽(yáng)的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律知：太陽(yáng)的質(zhì)量.已知，由上面的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量約為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，有如下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)的值域?yàn)?；③函?shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④方程有且只有一個(gè)實(shí)根．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④6．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．9．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．10．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．11．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則（

）A．8 B．11 C．12 D．1812．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．13．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┤艉瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，則函數(shù)g(x)＝loga的圖象是（

）A． B．C． D．二、填空題14．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）__________.15．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是__________.16．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)a，函數(shù)無(wú)最小值；②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)都有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④對(duì)任意，都存在實(shí)數(shù)m，使方程有3個(gè)不同的實(shí)根．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________．17．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)且，，則的最小值為_(kāi)_________.18．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是_____.19．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)_____________．①對(duì)，有；②當(dāng)時(shí)，恒成立．20．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是_____________．21．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┖瘮?shù)的定義域是___________.22．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎瘮?shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題23．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，記所有滿足條件a的值構(gòu)成集合A，若，求A.條件①：是增函數(shù)；條件②：對(duì)于恒成立；條件③：，使得.24．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意的，均有.(1)若，證明：；(2)若對(duì)，證明：在上為增函數(shù)；(3)若，直接寫(xiě)出一個(gè)滿足已知條件的的解析式.25．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若函數(shù)是偶函數(shù)，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．26．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知且，函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，且滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè).①函數(shù)為奇函數(shù)；②；③.(1)從中選擇的兩個(gè)條件的序號(hào)為_(kāi)____，依所選擇的條件求得____，____；(2)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)在（1）的情況下，若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.27．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，其中．(1)若，求的零點(diǎn)；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．四、雙空題28．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________；若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.29．（2023秋·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）__________，__________.30．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則的解集為_(kāi)__________；若，，則a的取值范圍為_(kāi)____________．

參考答案1．D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知移項(xiàng)化簡(jiǎn)即可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)a，b滿足且，所以，則所以，即，解得故選：D2．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，對(duì)A選項(xiàng)在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，對(duì)D選項(xiàng)在單調(diào)性遞增，故D錯(cuò)誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，故C正確，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)性遞增.故選：C.3．A【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以由得：，即，又，所?故選：A.4．B【分析】分別求出每個(gè)選項(xiàng)的單調(diào)性和值域即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，在定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋蔄不正確；對(duì)于B，在定義域上單調(diào)遞增值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，由雙勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于D，的值域?yàn)?，故D不正確.故選：B.5．D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域、對(duì)稱(chēng)性以及方程的根等知識(shí)確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以在上遞增，①錯(cuò)誤.由于，，所以的值域?yàn)?由于，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，③正確.由得構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，也即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，④正確.所以正確結(jié)論的序號(hào)是③④.故選：D6．A【分析】由得，則的周期為2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可化簡(jiǎn)a，b，c，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】由得，∴的周期為2，又為偶函數(shù)，則，，∵，在上單調(diào)遞增，∴.故選：A7．B【分析】由零點(diǎn)存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，由零點(diǎn)存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即由函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，可得，而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件.故選：B.8．A【分析】化簡(jiǎn)，通過(guò)討論函數(shù)和的單調(diào)性和取值范圍即可得出的大小關(guān)系.【詳解】解：由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，∴，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故選：A.9．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意.故選：D.10．D【分析】化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.【詳解】的定義域是，AB選項(xiàng)錯(cuò)誤.①，由解得或，畫(huà)出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式①的解集為.故選：D11．D【分析】計(jì)算，，代入計(jì)算即可.【詳解】，則，，故選：D.12．C【分析】利用特殊值判斷AB，由不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，由特殊值及對(duì)數(shù)的意義判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；由，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C13．D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)可求出的值，把的值代入函數(shù)的解析式，從而根據(jù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性排除選項(xiàng).【詳解】由題意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以排除選項(xiàng)A，B，C.故選：D.14．6【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】.故答案為：615．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由得：，的定義域?yàn)?故答案為：.16．①②④【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，的圖象如下圖所示，由圖可知，沒(méi)有最小值，①正確.②，由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)都有零點(diǎn)，②正確.③當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，③錯(cuò)誤.④，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示，由圖可知存在實(shí)數(shù)m，使方程有3個(gè)不同的實(shí)根，④正確.綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.故答案為：①②④17．2【分析】對(duì)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，得到，再由基本不等式以及條件中的，得到答案.【詳解】因?yàn)榍?，所以且而，且所以由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，基本不等式求和的最小值，屬于簡(jiǎn)單題.18．【分析】直接令真數(shù)大于0可得定義域.【詳解】函數(shù)，由，得，所以定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.19．(答案不唯一)【分析】由滿足的兩個(gè)條件可以聯(lián)想到對(duì)數(shù)函數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)行判斷即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橛蓾M足的兩個(gè)條件可以聯(lián)想到對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)，,滿足條件①；當(dāng)時(shí)，，滿足條件②.故答案為：(答案不唯一)20．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?1．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.【詳解】解：要使函數(shù)有意義就要，即，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：22．【解析】轉(zhuǎn)化條件為直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中作出的圖象,如圖，若要使直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得，.故答案為：.23．(1)；(2)選①②，不存在；選①③，；選②③，．【分析】（1）由偶函數(shù)的定義求解；（2）選①②，時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得是增函數(shù)，時(shí)，由單調(diào)性的定義得函數(shù)的單調(diào)性，然后在時(shí)，由有解，說(shuō)明不滿足②不存在；選①③，同選①②，由單調(diào)性得，然后則函數(shù)的最大值不大于4得的范圍，綜合后得結(jié)論；選②③，先確定恒成立時(shí)的范圍，再換元確定新函數(shù)的單調(diào)性得最大值的可能值，從而可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）是偶函數(shù)，則，恒成立，∴，即；（2）若選①②，（），若，則是增函數(shù)，由得，因此不恒成立，不合題意，若，設(shè)，則，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在滿足題意；若選①③，若，則是增函數(shù)，若，設(shè)，則，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在滿足題意；要滿足①，則，所以時(shí)，，由得，綜上，；所以．若選②③，若，則由，不恒成立，只有時(shí)，恒成立，設(shè)，則，又時(shí)，，，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，要滿足③，若即時(shí)，，所以；若即時(shí)，，所以；若，即時(shí)，，所以；綜上，所以．24．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析(3)，（答案不唯一）【分析】（1）賦值法得到；（2）賦值法，令，且，從而得到，證明出函數(shù)的單調(diào)性；（3）從任意的，均有，可得到函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故下凸函數(shù)符合要求，構(gòu)造出符合要求的函數(shù)，并進(jìn)行證明【詳解】（1）令，則，因?yàn)椋?；?）令，且，則，所以，故，因?yàn)閷?duì)，所以，故，即，在上為增函數(shù)；（3）構(gòu)造，，滿足，且滿足對(duì)任意的，，理由如下：，因?yàn)?，故，，故?duì)任意的，.25．(1)(2)(3)【分析】（1）即，結(jié)合對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可；（2）是偶函數(shù)，則，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可（3）由對(duì)數(shù)運(yùn)算得在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，即可由?shù)形結(jié)合判斷b的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即，即，解得；（2）函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，即，即，∵，故；（3）當(dāng)時(shí)，，.∵為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椤吆瘮?shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為.26．(1)①②；；(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）通過(guò)分析可知一定滿足①②，從而列出方程組，求出，；（2）定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值，作差，變形，判號(hào)；（3）參變分離得到，，換元后轉(zhuǎn)化為在上有唯一解，結(jié)合（2）中函數(shù)單調(diào)性，求出的值域，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，故②；③不會(huì)同時(shí)成立，兩者選一個(gè)，故函數(shù)一定滿足①函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)定義域?yàn)镽，所以有，則，，故一定滿足②，選擇①②；，，解得：，；（2）任取，且，則，由于，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞