第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣西邕衡教育名校聯(lián)盟高三（上）9月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?4x+3>0}，B={?4,2,3,5}，則A∩B=A.{2} B.{?4,5} C.{5} D.{?4}2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=3+i2?i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為A.i B.1 C.?i D.?13.已知函數(shù)f(x)=?x+1,x≤1ln(x?1),x>1，則f(f(2))的值為A.1 B.0 C.e D.24.已知向量a=(1,3)，則下列選項中與aA.(12,32)B.(12,5.行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，最簡單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：abcd=ad?bc，已知Sn是等比數(shù)列{an}的前A.31 B.63 C.127 D.2556.已知tanα+1tanα=7，則A.27 B.17 C.477.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，其中AB=AC，BC=2，點(diǎn)P為球O上一個動點(diǎn)，則三棱錐P?ABC體積的最大值為(

)A.16 B.13 C.128.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)?f(x)f(y)=0，f(?1)=1，則(

)A.f(0)=0 B.f(x)為奇函數(shù) C.f(8)=?1 D.f(x)的周期為3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計的知識，其中說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)?3，?1，3，7，8，9，11，15的第75百分位數(shù)是9

B.若一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,?,n)的對應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線y=?12x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為?1

C.已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=36，D(X)=9，則p=310.已知以F1、F2為左右焦點(diǎn)的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為23，點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P到F2的最大距離是點(diǎn)P到A.橢圓的方程為x24+y23=1 B.三角形PF1F211.已知函數(shù)f(x)=ax3?3ax2+b，其中實(shí)數(shù)a>0A.f(x)必有兩個極值點(diǎn)

B.y=f(x)有且僅有3個零點(diǎn)時，b的范圍是(0,4a)

C.當(dāng)b=2a時，點(diǎn)(12,0)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.當(dāng)5a<b<6a時，過點(diǎn)A(2,a)可以作曲線y=f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)C(1,?2)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．13.函數(shù)y=ex?lnx在14.把5個相同的乒乓球放入編號為1?7號的盒子里，其中編號為1?5號的盒子，每個盒子至多放1個球，編號為6?7號的盒子，每個盒子至多放3個球，則不同的放法有______種.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3asinB=b(2?cosA)．

(1)求內(nèi)角A的大小；

(2)若a=1，求△ABC面積S16.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率e=32．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，點(diǎn)S在平面ABCD上的投影為線段AD的中點(diǎn)O，且AD=2SO=2BC=2CD，∠BCD=∠CDA=90°，E，F(xiàn)分別是線段SA，SB的中點(diǎn)．

(1)求證：EF//平面SOC；

(2)求平面CEF與平面SCE夾角的余弦值．18.(本小題17分)

2025年多哈世界乒乓球錦標(biāo)賽，中國隊組合王楚欽、孫穎莎以3：1戰(zhàn)勝日本隊組合吉村真晴、大藤沙月，連續(xù)第三次奪得世乒賽混雙冠軍.假設(shè)2026年的一次乒乓球比賽中，S組合與D組合相遇.每局比賽必須決出勝負(fù)，已知每局比賽D組合獲勝的概率為15，每局比賽勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，規(guī)定先達(dá)到凈勝3局者獲得比賽勝利并結(jié)束比賽(規(guī)定：凈勝m局指的是一方比另一方多勝m局)．

(1)分別求恰好3局比賽結(jié)束時D組合獲得比賽勝利的概率P(A)，恰好5局比賽結(jié)束時D組合獲得比賽勝利的概率P(B)；

(2)若規(guī)定比賽總局?jǐn)?shù)達(dá)到7局時無論是否分出勝負(fù)都直接結(jié)束比賽，求結(jié)束比賽時雙方對戰(zhàn)的總局?jǐn)?shù)X的分布列；

(3)若比賽局?jǐn)?shù)不限，求D組合獲得比賽勝利的概率．19.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn+1=2an2?1+Sn(n∈N+)．

(1)當(dāng)a1=1時，分別求a2，a3的值，并猜想此時數(shù)列{an}的通項公式(直接寫結(jié)論)答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|x2?4x+3>0}={x|x<1或x>3}，

因為B={?4,2,3,5}，所以A∩B={?4,5}．

故選：B．

先解得集合A2.【答案】B

【解析】解：z=3+i2?i=(3+i)(2+i)(2?i)(2+i)=5+5i5=1+i，

所以復(fù)數(shù)z=3+i2?i的虛部為13.【答案】A

【解析】解：由題意可知，f(2)=ln(2?1)=ln1=0，

所以f(f(2))=f(0)=1．

故選：A．

根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)代入求出f(2)=0，再代入計算即可求得結(jié)果．4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)a=(1,3)，可得|a|=1+3=2，

所以與a同向的單位向量為1|a|5.【答案】C

【解析】解：因為2a31a41=0，所以由題中定義可得：2a3?a4=0，

因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=1，

所以2a1q6.【答案】A

【解析】解：由于tanα+1tanα=7，

所以tanα+1tanα=sin2α+cos27.【答案】B

【解析】解：由題意，

∵球O的半徑為1，且BC=2，

∴BC為球的一條直徑，A，B，C三點(diǎn)所在的平面經(jīng)過球心，

∵AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，

如圖，

由幾何知識得，當(dāng)點(diǎn)P位于垂直于平面ABC的直徑的端點(diǎn)時，三棱錐P?ABC的體積取得最大值，

此時BO=CO=AO=PO=12BC=1，

∴最大值為V=13S△ABC?OP=13?12BC?AO?OP=13×12×2×1×1=8.【答案】C

【解析】解：依題意，f(?1)=1，f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，

令x=y=0，得f(0)+f(0)=f(0)f(0)，

所以f(0)=0或f(0)=2，

當(dāng)f(0)=0時，f(x)=0，不符合題意，

所以f(0)=2，故A錯誤；

令x=0得f(y)+f(?y)=f(0)f(y)=2f(y)，

所以f(y)=f(?y)，故f(x)為偶函數(shù)，故B錯誤；

令y=?1，得f(x?1)+f(x+1)=f(x)，所以f(x)+f(x+2)=f(x+1)，

所以f(x+2)=?f(x?1)，所以f(x+3)=?f(x)，

所以f(x+6)=?f(x+3)=f(x)，

所以f(x)的周期為6，故D錯誤；

令x=y=?1，得f(?2)+f(0)=f2(?1)，又f(?1)=1，f(0)=2，

可得f(?2)=?1，

所以f(2)=f(?2)=?1，

所以f(8)=?1，故C正確．

故選：C．

利用賦值法令x=y=0，即可求出f(0)，從而判斷A；令x=0，可判斷函數(shù)的奇偶性，從而判斷B；令y=?1，可得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，從而可得f(x+2)=?f(x?1)，進(jìn)而推出函數(shù)的周期，即可判斷D；令x=y=?1，可求出f(?2)，由奇偶性可得f(2)，再由周期性求得f(8)，即可判斷C9.【答案】BCD

【解析】解：A選項：8個數(shù)據(jù)從小到大排列為：?3，?1，3，7，8，9，11，15，由于8×75%=6，

所以第75百分位數(shù)應(yīng)該是第6個與第7個的平均數(shù)9+112=10，故A錯誤；

B選項：因為樣本點(diǎn)都在直線y=?12x+1上，說明是負(fù)相關(guān)且線性相關(guān)性很強(qiáng)，所以相關(guān)系數(shù)為?1，故B正確；

C選項：因為X～B(n,p)，E(X)=36，D(X)=9，

所以np=36np(1?p)=9，解得p=34，故C正確；

對于選項D，由X～N(2,σ2)，該正態(tài)分布曲線對稱軸為X=2，

又P(X>5)=0.2，得P(X<?1)=P(X>5)=0.2，

所以P(?1<X<5)=1?P(X<?1)?P(X>5)=0.6，故D正確．

故選：BCD．

10.【答案】AC

【解析】解：對于選項A：因為橢圓C的短軸長為23，點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P到F2的最大距離是點(diǎn)P到F2的最小距離的3倍，

所以2b=23a+ca?c=3a2=b2+c2，

解得b=3a=2c=1，

則橢圓的方程為x24+y23=1，故選項A正確；

對于選項B：易知S△PF1F2≤12?2c?b=3，故選項B錯誤；

對于選項C：△PQF1的周長=|PF1|+|PF2|+|Q11.【答案】ABD

【解析】解：選項A：由題意可得f′(x)=3ax2?6ax=3ax(x?2)，

令f′(x)=0解得x=0或x=2，

因為a>0，

令f′(x)>0解得x<0或x>2，令f′(x)<0解得0<x<2，

所以f(x)在(?∞,0)，(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值，故A正確；

選項B：要使y=f(x)有且僅有3個零點(diǎn)，只需f(0)=b>0f(2)=8a?12a+b<0，

解得0<b<4a，故B正確；

選項C：當(dāng)b=2a時，f(x)=ax3?3ax2+2a，f(1?x)=a(1?x)3?3a(1?x)2+2a=?ax3+3ax，f(1?x)+f(x)≠0，所以點(diǎn)(12,0)不是曲線y=f(x)的對稱中心，C錯誤；

選項D：f′(x)=3ax2?6ax，設(shè)切點(diǎn)為C(x0,ax03?3ax02+b)，

所以在點(diǎn)C處的切線方程為：y?(ax03?3ax02+b)=(3ax02?6ax0)(x?x0)，

又因為切線過點(diǎn)A(2,a)，所以a?(ax03?3ax02+b)=(3ax02?6ax0)(2?x0)，

解得2ax03?9ax02+12ax0+a=b，令g(x)=2ax3?9ax2+12ax+a，y=b，

過點(diǎn)A(2,a)可以作曲線y=f(x)切線條數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=g(x)與y=b圖像的交點(diǎn)個數(shù)，

g′(x)=6ax2?18ax+12a=6a(x2?3x+2)=6a(x?1)(x?2)，

令g′(x)=0解得x=1或x=2，

因為a>0，所以令g′(x)>0解得12.【答案】(1,0)

【解析】解：拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)C(1,?2)，代入可得(?2)2=2p×1，解得p=2，

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x，

∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．

故答案為：(1,0)．

13.【答案】y=ex?e．

【解析】解：由題意可得，y′=ex?lnx+exx，則y′|x=1=e，

又當(dāng)x=1時，y=0，所以切線方程為y=e(x?1)，即y=ex?e14.【答案】98

【解析】解：1?5號盒共放0個球，即5個球放入6?7號盒子，有2種放法；

1?5號盒共放1個球，有C51?(A22+1)=15種放法；

1?5號盒共放2個球，有C52?(A22+A22)=40種放法；

1?5號盒共放3個球，有C53?(C21+1)=30種放法；

15.【答案】A=π3；

【解析】(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

已知3asinB=b(2?cosA)，

由正弦定理有3sinAsinB=sinB(2?cosA)，

因為B∈(0,π)，所以sinB≠0，

故3sinA=2?cosA，即3sinA+cosA=2，即sin(A+π6)=1，

因為A∈(0,π)，所以A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=π2，即A=π3；

(2)因為a2=b2+c2?2bccosA，即1=b2+c2?bc，16.【答案】x24+y2【解析】(1)因為橢圓C的右頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率e=32，

所以a=2，e=ca=32，

解得c=3，

又a2=b2+c2，

解得a2=4，b2=1，

則橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)聯(lián)立y=x+mx24+y2=1，消去y并整理得5x2+8mx+4m2?4=0，

此時Δ=64m2?80(m2?1)>0，

解得?5<m<5．

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由韋達(dá)定理得x1+x17.【答案】證明：因為E，F(xiàn)分別是線段SA，SB的中點(diǎn)，

所以EF/?/AB，

又因為O為AD的中點(diǎn)，且AD=2BC，且∠BCD=∠CDA=90°，

所以AO/?/BC且AO=BC，所以四邊形ABCO為平行四邊形，

所以AB/?/OC，又EF∠AB，所以EF/?/OC，

因為EF?平面SOC，且OC?平面SOC，

所以EF/?/平面SOC；

2【解析】(1)證明：因為E，F(xiàn)分別是線段SA，SB的中點(diǎn)，

所以EF/?/AB，

又因為O為AD的中點(diǎn)，且AD=2BC，且∠BCD=∠CDA=90°，

所以AO/?/BC且AO=BC，所以四邊形ABCO為平行四邊形，

所以AB/?/OC，又EF∠AB，所以EF/?/OC，

因為EF?平面SOC，且OC?平面SOC，

所以EF/?/平面SOC；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD，OS所在直線為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=2SO=2BC=2CD=4，

可得C(2,2,0)，S(0,0,2)，A(0,?2,0)，B(2,0,0)，E(0,?1,1)，F(xiàn)(1,0,1)，

所以CE=(?2,?3,1),EF=(1,1,0),SC=(2,2,?2)，

設(shè)平面CEF的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n?EF=x1+y1=0n?CE=?2x1?3y1+z1=0，

取y1=?1，可得x1=1，z1=?1，所以n=(1,?1,?1)，

設(shè)平面SCE的法向量為m18.【答案】P(A)=1125，P(B)=123125；

分布列答案見解析；【解析】(1)由題意，每局比賽D組合獲勝的概率為15，S組合獲勝的概率為45，

恰好3局結(jié)束，則D組合連贏三局，所以P(A)=(15)3=1125，

恰好5局結(jié)束，則D組合前3局中贏2局，輸1局，且后2局均獲勝，

所以P(B)=C31×(15)2×45×(15X357P65156144(3)設(shè)事件D表示“比賽局?jǐn)?shù)不限，D組合獲得比賽勝利”，

設(shè)比賽過程中，D組合與S組合累計所贏局?jǐn)?shù)的差為Y，

P(Y=n)表示Y=n時最終D組合獲得比賽勝利的概率，其中n∈{?3,?2,?1,0,1,2,3}，

由題知，P(Y=3)=1，P(Y=?3)=0，P(Y=0)=P(D)，

根據(jù)全概率公式，則有P(Y=n)=15P(Y