第六章勒讓德多項(xiàng)式6.1勒讓德方程及其解表示1勒讓德方程勒讓德多項(xiàng)式在分離變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程第1頁

（1.1）在球坐標(biāo)系下分離變量后得到歐拉型常微分方程和球諧函數(shù)方程（１.2）(1.2)式解與半徑無關(guān)，故稱為球諧函數(shù)或簡(jiǎn)稱為球函數(shù)．第2頁球諧函數(shù)方程深入分離變量，令得到關(guān)于常微分方程

（1.3）

稱為階連帶勒讓德方程.令

和

把自變數(shù)從換為，則方程（1.3）能夠化為以下階連帶勒讓德方程

形式第3頁

（1.4）

若所討論問題含有旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱性，即定解問題解與無關(guān)，則，即有

（1.5）

稱為階勒讓德（legendre）方程．

第4頁一樣若記，則上述方程也可寫為以下形式階勒讓德方程

(1.6)

第5頁2勒讓德多項(xiàng)式表示(1)勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表示我們知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程解為

（1.7）式中

上式含有多項(xiàng)式形式，故稱為階勒讓德多項(xiàng)式．勒讓德多項(xiàng)式也稱為第一類勒讓德函數(shù)．第6頁式（1.7）即為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表示．注意到,故可方便地得出前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式:

第7頁勒讓德多項(xiàng)式圖形可經(jīng)過計(jì)算機(jī)仿真(如MATLAB仿真)得到第8頁計(jì)算，這應(yīng)該等于多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)．

如為（即為奇數(shù)）時(shí)，則

只含奇

數(shù)次冪，不含常數(shù)項(xiàng)，所以

（１.8）

（即為偶數(shù)）時(shí)，

則含有常數(shù)項(xiàng)，即

（１.7）中

那一項(xiàng)，所以

（１.9）

式中記號(hào)

而所以，．第9頁(2)勒讓德多項(xiàng)式微分表示

（1.10）

上式通常又稱為勒讓德多項(xiàng)式羅德里格斯（Rodrigues）表示式．下面證實(shí)表示式(1.10)和（1.7）是相同．【證實(shí)】

(略）第10頁6.2勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)1勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)

(1)勒讓德多項(xiàng)式零點(diǎn)對(duì)于勒讓德多項(xiàng)式零點(diǎn)，有以下結(jié)論：（i）個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)，且在內(nèi)；（ii）零點(diǎn)與零點(diǎn)相互分離．

(2)奇偶性依據(jù)勒讓德多項(xiàng)式定義式，作代換輕易得到

（2.1）

即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式為偶函數(shù)，為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)

第11頁(3)勒讓德多項(xiàng)式正交性及其模不一樣階勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間上滿足(2.2)其中當(dāng)時(shí)滿足，(2.3)稱為正交性．相等時(shí)可求出其模

(2.4)第12頁下面給出公式（2.2），及其模(2.4)證實(shí)

【證實(shí)】

（1）正交性

勒讓德多項(xiàng)式必定滿足勒讓德方程，故有兩式相減，并在[-1,1]區(qū)間上對(duì)x積分，得第13頁因?yàn)樯厦娴仁阶筮叿e分值為所以當(dāng)時(shí)，必定有

依據(jù)

成立．（2）模（利用分部積分法證實(shí)）

為了分部積分方便，把上式用微分表示給出，則有第14頁注意到以為級(jí)零點(diǎn)，

故其階導(dǎo)數(shù)

必定以為一級(jí)零點(diǎn)，從而上式已積出部分值為零

再進(jìn)行次分部積分，即得

第15頁是次多項(xiàng)式，其階導(dǎo)數(shù)也就是最高冪項(xiàng)階導(dǎo)數(shù)為．故

再對(duì)上式分部積分一次輕易看出已積出部分以為零點(diǎn)．

至此，分部積分結(jié)果是使冪次降低一次，冪次升高一次，且積分乘上一個(gè)對(duì)應(yīng)常數(shù)因子．第16頁繼續(xù)分部積分（計(jì)次），即得

故勒讓德多項(xiàng)式模為

且有

第17頁(4)廣義傅里葉級(jí)數(shù)定理2.1在區(qū)間[-1,1]上任一連續(xù)函數(shù)可展開為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)

（2.5）

其中系數(shù)

(2.6)在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常要作代換,此時(shí)勒讓德方程解為，這時(shí)有

(2.7)

第18頁其中系數(shù)為

（2.8）2.勒讓德多項(xiàng)式應(yīng)用（廣義傅氏級(jí)數(shù)展開）

例2.1

將函數(shù)按勒讓德多項(xiàng)式形式展開.【解】依據(jù)（2.5）設(shè)考慮到

，由(2.6)顯然有第19頁所以例2.2

將函數(shù)展開為勒讓德多項(xiàng)式形式

【解】用直接展開法令

，則由

我們知道：第20頁可設(shè)

考慮到勒讓德函數(shù)奇偶性，顯然由項(xiàng)系數(shù)，顯然得出故有

第21頁下面我們給出普通性結(jié)論：結(jié)論1：設(shè)為正整數(shù)，能夠證實(shí)：結(jié)論2：依據(jù)勒讓德函數(shù)奇偶性，若需展開函數(shù)為奇函數(shù)，則展開式（2.5）系數(shù)若需展開函數(shù)為偶函數(shù)，則展開式（2.5）系數(shù)

第22頁例2.3

以勒讓德多項(xiàng)式為基，在[-1,1]區(qū)間上把展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)．【解】本例無須應(yīng)用普通公式，實(shí)際上，是三次多項(xiàng)式（注意既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)），設(shè)它表示為第23頁比較同次冪即得到由此得到第24頁例3.1求

【解】

勒讓德多項(xiàng)式遞推公式

證實(shí)（略）

第2