五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積（5年5考）2025天津卷：求數(shù)量積2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加減與數(shù)量積運(yùn)算，通常運(yùn)用基底法與建系法數(shù)形結(jié)合。2.平面向量的線性表示，通常會(huì)與共線結(jié)合，同時(shí)結(jié)合基本不等式求解最值與取值范圍問題.3.向量的夾角與模長(zhǎng)問題是高考中中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合最值與取值范圍進(jìn)行考察考點(diǎn)2平面向量的線性表示（5年4考）2025天津卷：平面向量的線性運(yùn)算2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)3向量夾角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)4向量模長(zhǎng)（5年1考）2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；考點(diǎn)4復(fù)數(shù)（5年5考）2025天津卷：復(fù)數(shù)的模2024天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；2023天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2022天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2021天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)在高考中主要考察了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，包含了加減乘除運(yùn)算.考點(diǎn)01平面向量數(shù)量積1．（2024·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則【答案】；【解析】如圖，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為線段的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)?，所以，，所以所以，所以?.（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，【答案】43【解析】解法一：因?yàn)镃E=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由題意可知：BC=因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BF=k則AF=又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DG=可得AF=1又因?yàn)閗∈0,1，可知：當(dāng)k=1時(shí)，AF?DG解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A-1,0可得BA=因?yàn)锽E=λBA+μBC=因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=-3x,x∈-13且G為AF中點(diǎn)，則Ga-1可得AF=則AF?且a∈-13,0，所以當(dāng)a=-1故答案為：43；-考點(diǎn)02平面向量的線性表示3．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=1【答案】14a【解析】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因?yàn)锽F=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=x,AC=y，則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC于是AE?由x2+y故xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1取得等號(hào)，則x=y=1時(shí)，AE?AF有最大值故答案為：14a+

考點(diǎn)03向量夾角4．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示【答案】32b【解析】方法一：DE=CE-CD3b2+a2=4a?b故答案為：32b-方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(-x+3DE⊥AB?(x+32)(x-1)+y22=0?(x+1)2+y2考點(diǎn)04向量模長(zhǎng)5．（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E．DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為【答案】111【解析】設(shè)BE=x，x∈0,12，∵△ABC∴∠BDE=30∵DF//AB，∴△DFC為邊長(zhǎng)為1-2x的等邊三角形，∴(2∴|2BE∵(=(所以當(dāng)x=310時(shí)，(DE考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算6．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【解析】先由題得，所以.7．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i【答案】7-【解析】5+8．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)5+14i2+3【答案】4+i/【解析】由題意可得5+14i9．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)11-3i1+2i的結(jié)果為【答案】1-5i/【解析】11-3i10．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+2i2+i【答案】4-【解析】9+2i一、單選題1．（2025·天津和平·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)．故選：C．2．（2025·天津·一模）若（是虛數(shù)單位，a，b是實(shí)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故選：D.二、填空題3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則.【答案】【解析】由，得，則4．（2025·天津北辰·三模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由，可得.5．（2025·天津河西·二模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由條件可知，.6．（2025·天津南開·二模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】/【解析】∵，∴，7．（2025·天津·二模）在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，，記，，點(diǎn)M是線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DC上一點(diǎn)，且A，M，N三點(diǎn)共線．若，則用，表示；若，則的值為．【答案】【解析】設(shè)，，則，若，則，因?yàn)锽，M，D三點(diǎn)共線，則，得，所以；設(shè)，，則，又B，M，D三點(diǎn)共線，則，得，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，，，，所以，．又，所以，整理，得，解得，或（舍去）．故．8．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.【答案】/【解析】由條件可知，,所以；由，得，得，所以，得，且，，所以，得,,所以.9．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長(zhǎng)為1，中心為，過作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（?。┊?dāng)時(shí)，；（ⅱ）的最小值為．【答案】【解析】由于，則，，（?。┊?dāng)，則，故，（ⅱ）,由于為相反向量，故，所以，由，故當(dāng)時(shí)，取最小值，而的最大值為，因此當(dāng)取最大值，取最小值時(shí)，取最小值，故最小值為，10．（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.【答案】【解析】由條件可知，,，所以，所以，，，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；在上的投影向量為，則，即,因?yàn)?，所以，得，，則.11．（2025·天津南開·二模）在梯形中，，，，記，，用和表示；若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，；因?yàn)?，，又，即可得，設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)有最大值，12．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為；（2）邊和的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為和的交點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則的最小值為.【答案】4；【解析】（1）因?yàn)椋?，解得，則，結(jié)合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量為，故向量在向量上的投影向量的模為，（2）如圖，根據(jù)題意可知為的重心，故，

又為線段上靠近的三等分點(diǎn)，故,因此，，，由（1）知，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，則；若為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】3【解析】由，可得，所以，又由，且，因?yàn)?，所以，即，所以；因?yàn)?，所以為直角三角形，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足，即為（靠近的三等分點(diǎn)），可得，由為線段上的動(dòng)點(diǎn)，可得設(shè)，其中，則，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.14．（2025·天津和平·二模）在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則，若，則當(dāng)最大時(shí)，的值為.【答案】/【解析】由題意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)最大時(shí)，，，由有，所以，所以，15．（2025·天津河北·二模）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)，分別在邊，上.若，，則用和表示；若，則的最小值為.【答案】【解析】由，，則，，由，若且，，則，所以，，所以，而，，所以的最小值為.16．（2025·天津和平·一模）已知平面四邊形滿足，且，為的中點(diǎn)，則，若、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則，且，如下圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如上圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、，；設(shè)點(diǎn)、，其中，，，，所以，，可得，因?yàn)?，則，則，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.17．（2025·天津·一模）在邊長(zhǎng)為的菱形中，，且，，則；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，所以，又且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，由，所以，所以，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，且最小值為.18．（2025·天津河西·一模）如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，，，則；設(shè)，且，則四邊形的面積為．【答案】【解析】（1）過作垂足為，則，所以；（2）在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，取中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，由，可得，所以直線MN過圓心，在中，，，所以，，因?yàn)?，所?所以，所以等腰梯形高為，，所以等腰梯形面積為．

19．（2025·天津南開·一模）在中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，用和表示；則的余弦值為．【答案】；.【解析】由，則，由與的夾角相等，則，又，，則，所以，，，所以.20．（2025·天津武清·一模）已知正方形的邊長(zhǎng)為，，若，其中，為實(shí)數(shù)，則；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)樵O(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，又為鈍角，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，，所以，所以，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，最小值為.專題05平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積（5年5考）2025天津卷：求數(shù)量積2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加減與數(shù)量積運(yùn)算，通常運(yùn)用基底法與建系法數(shù)形結(jié)合。2.平面向量的線性表示，通常會(huì)與共線結(jié)合，同時(shí)結(jié)合基本不等式求解最值與取值范圍問題.3.向量的夾角與模長(zhǎng)問題是高考中中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合最值與取值范圍進(jìn)行考察考點(diǎn)2平面向量的線性表示（5年4考）2025天津卷：平面向量的線性運(yùn)算2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)3向量夾角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)4向量模長(zhǎng)（5年1考）2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；考點(diǎn)4復(fù)數(shù)（5年5考）2025天津卷：復(fù)數(shù)的模2024天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；2023天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2022天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2021天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)在高考中主要考察了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，包含了加減乘除運(yùn)算.考點(diǎn)01平面向量數(shù)量積1．（2024·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則【答案】；【解析】如圖，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為線段的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)椋裕?，所以所以，所以?.（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，【答案】43【解析】解法一：因?yàn)镃E=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由題意可知：BC=因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BF=k則AF=又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DG=可得AF=1又因?yàn)閗∈0,1，可知：當(dāng)k=1時(shí)，AF?DG解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A-1,0可得BA=因?yàn)锽E=λBA+μBC=因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=-3x,x∈-13且G為AF中點(diǎn)，則Ga-1可得AF=則AF?且a∈-13,0，所以當(dāng)a=-1故答案為：43；-考點(diǎn)02平面向量的線性表示3．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=1【答案】14a【解析】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因?yàn)锽F=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=x,AC=y，則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC于是AE?由x2+y故xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1取得等號(hào)，則x=y=1時(shí)，AE?AF有最大值故答案為：14a+

考點(diǎn)03向量夾角4．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示【答案】32b【解析】方法一：DE=CE-CD3b2+a2=4a?b故答案為：32b-方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(-x+3DE⊥AB?(x+32)(x-1)+y22=0?(x+1)2+y2考點(diǎn)04向量模長(zhǎng)5．（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E．DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為【答案】111【解析】設(shè)BE=x，x∈0,12，∵△ABC∴∠BDE=30∵DF//AB，∴△DFC為邊長(zhǎng)為1-2x的等邊三角形，∴(2∴|2BE∵(=(所以當(dāng)x=310時(shí)，(DE考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算6．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【解析】先由題得，所以.7．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i【答案】7-【解析】5+8．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)5+14i2+3【答案】4+i/【解析】由題意可得5+14i9．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)11-3i1+2i的結(jié)果為【答案】1-5i/【解析】11-3i10．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+2i2+i【答案】4-【解析】9+2i一、單選題1．（2025·天津和平·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)．故選：C．2．（2025·天津·一模）若（是虛數(shù)單位，a，b是實(shí)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故選：D.二、填空題3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則.【答案】【解析】由，得，則4．（2025·天津北辰·三模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由，可得.5．（2025·天津河西·二模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由條件可知，.6．（2025·天津南開·二模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】/【解析】∵，∴，7．（2025·天津·二模）在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，，記，，點(diǎn)M是線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DC上一點(diǎn)，且A，M，N三點(diǎn)共線．若，則用，表示；若，則的值為．【答案】【解析】設(shè)，，則，若，則，因?yàn)锽，M，D三點(diǎn)共線，則，得，所以；設(shè)，，則，又B，M，D三點(diǎn)共線，則，得，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，，，，所以，．又，所以，整理，得，解得，或（舍去）．故．8．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.【答案】/【解析】由條件可知，,所以；由，得，得，所以，得，且，，所以，得,,所以.9．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長(zhǎng)為1，中心為，過作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（?。┊?dāng)時(shí)，；（ⅱ）的最小值為．【答案】【解析】由于，則，，（?。┊?dāng)，則，故，（ⅱ）,由于為相反向量，故，所以，由，故當(dāng)時(shí)，取最小值，而的最大值為，因此當(dāng)取最大值，取最小值時(shí)，取最小值，故最小值為，10．（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.【答案】【解析】由條件可知，,，所以，所以，，，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；在上的投影向量為，則，即,因?yàn)?，所以，得，，則.11．（2025·天津南開·二模）在梯形中，，，，記，，用和表示；若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，；因?yàn)?，，又，即可得，設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)有最大值，12．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為；（2）邊和的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為和的交點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則的最小值為.【答案】4；【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得，則，結(jié)合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量為，故向量在向量上的投影向量的模為，（2）如圖，根據(jù)題意可知為的重心，故，

又為線段上靠近的三等分點(diǎn)，故,因此，，，由（1）知，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，則；若為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】3【解析】由，可得，所以，又由，且，因?yàn)椋裕?，所以；因?yàn)椋詾橹苯侨切?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足，即為（靠近的三等分點(diǎn)），可得，由為線段上的動(dòng)點(diǎn)，可得設(shè)，其中，則，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.14．（2025·天津和平·二模）在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則，若，則當(dāng)最大時(shí)，的值為.【答案】/【解析】由題意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)最大時(shí)，，，由有，所以，所以，15．（2025·天津河北·二模）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)，