2025二輪復習專項訓練25圓錐曲線的方程與性質[考情分析]圓錐曲線的方程與幾何性質是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題第一問的形式命題，題目常為中檔難度．【練前疑難講解】一、圓錐曲線的定義與標準方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)．溫馨提醒：應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤．2．圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)(焦點在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦點在y軸上)．(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點在y軸上)．(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．二、橢圓、雙曲線的性質橢圓、雙曲線的性質(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點坐標F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．②雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點坐標F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．三、拋物線的性質拋物線的焦點坐標與準線方程(1)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線方程x＝－eq\f(p,2).(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準線方程y＝－eq\f(p,2).一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·四川成都·階段練習）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（23-24高三上·甘肅武威·期末）已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（

）A．當不與左、右端點重合時，的周長為定值B．當時，C．有且僅有4個點，使得為直角三角形D．當直線的斜率為1時，直線的斜率為4．（2024·山西晉中·模擬預測）已知拋物線的焦點為為拋物線上的任意三點（異于坐標原點），，且，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則C．設到直線的距離分別為，則D．若直線的斜率分別為，則三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為．6．（2024·福建泉州·模擬預測）已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，準線為l．若C恰過，，三點中的兩點，則C的方程為；若過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，且A到l的距離為4，則．【基礎保分訓練】一、單選題1．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的任意一點，若的最大值是，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）雙曲線的左、右焦點分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·陜西商洛·三模）已知點在拋物線上，拋物線的準線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·內蒙古赤峰·開學考試）已知拋物線C：的頂點為O，經(jīng)過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2二、多選題9．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習）已知橢圓，則（

）A．的焦點都在軸上 B．的焦距不相等C．有公共點 D．橢圓比橢圓扁平10．（21-22高二上·遼寧沈陽·階段練習）十七世紀法國數(shù)學家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質：若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（

）A．M的值與Р點在橢圓上的位置有關 B．M的值與Р點在橢圓上的位置無關C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小11．（23-24高二下·江西·階段練習）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結論正確的是（

）A．的焦點在x軸上，的焦點在y軸上B．的焦點到其漸近線的距離與的焦點到其漸近線的距離相等C．的最小值為D．12．（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說法中正確的是（

）A．雙曲線C的實軸長為2 B．雙曲線C的焦點坐標為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為三、填空題13．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點分別是，，點在橢圓上，如果，那么點到軸的距離是.14．（2023·廣東深圳·一模）若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為．15．（2024·湖南長沙·一模）已知為坐標原點，，，，向量，動點滿足，寫出一個，使得有且只有一個點同時滿足，則.16．（2023·四川成都·一模）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為．四、解答題17．（2021·陜西西安·三模）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標為．求直線的方程．18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.19．（2021·四川·二模）已知點，直線，為軸右側或軸上動點，且點到的距離比線段的長度大1，記點的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）已知直線交曲線于，兩點（點在點的上方），，為曲線上兩個動點，且，求證：直線的斜率為定值.【能力提升訓練】一、單選題1．（2024·山西·一模）已知是橢圓的左?右焦點，經(jīng)過的直線與橢圓相交于兩點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·河北石家莊·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則（

）A． B． C． D．45．（2024·湖南長沙·三模）已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（

）A．4 B． C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當變化時，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023·天津濱海新·三模）已知雙曲線：，拋物線：的焦點為，準線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點為，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．28．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．9．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點.已知，則拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．或4 B． C．或4 D．4二、多選題10．（2024·江蘇南通·二模）已知橢圓（）的左，右焦點分別為，，上，下兩個頂點分別為，，的延長線交于，且，則（

）A．橢圓的離心率為B．直線的斜率為C．為等腰三角形D．11．（2024·全國·模擬預測）關于方程表示的曲線，下列說法正確的是（

）A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2B．若為雙曲線，則為鈍角C．若為銳角，則為焦點在軸上的橢圓D．若為橢圓，為橢圓上不與長軸頂點重合的點，則12．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點，過點作軸的垂線，垂足為．則下列說法正確的是（

）A．若，則雙曲線的漸近線方程為B．若點為線段的三等分點，則雙曲線的離心率為3C．若點為線段的三等分點，，則雙曲線的方程為D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長的最小值為413．（2024·廣西賀州·一模）“雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點．這種燈利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．并且過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，如圖所示：已知左、右焦點為的雙曲線C的離心率為，并且過點，坐標原點O為雙曲線C的對稱中心，點M的坐標為，則下列結論正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為C．D．過點作垂直的延長線于H，則三、填空題14．（2024·陜西咸陽·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為.15．（24-25高三上·云南德宏·階段練習）已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點，，分別為橢圓的上、下焦點，為橢圓上任意一點，且，則的面積為.16．（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過原點的直線與交于兩點．若，且的面積為2，則的焦距為．17．（2024·江蘇·一模）設雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為．四、解答題18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．19．（2024·吉林白山·一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．(1)求雙曲線的方程；(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．20．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，且橢圓過點．(1)求橢圓與拋物線的標準方程；(2)橢圓上一點在軸