專題30圓錐曲線三角形面積與四邊形面積題型全歸類【考點預(yù)測】1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量．【題型歸納目錄】題型一：三角形的面積問題之底·高題型二：三角形的面積問題之分割法題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形【典例例題】題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求面積最大時直線的方程．例2．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設(shè)直線與橢圓交于A，兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點，橢圓的離心率為，且過點．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P，Q兩點，且的面積是，求證：．例4．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））已知橢圓的左，右焦點分別為且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）例5．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三開學(xué)考試）如圖，橢圓：的離心率是，短軸長為，橢圓的左、右頂點分別為、，過橢圓與拋物線的公共焦點的直線與橢圓相交于兩點，與拋物線相交于兩點，點為的中點．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．例6．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知圓，圓，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點.(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.題型二：三角形的面積問題之分割法例7．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且C的左、右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與x軸交于點M，與橢圓C交于P，Q兩點，過點P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個交點為N，求面積的最大值．例8．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上，右頂點為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.例9．（2022·全國·清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.例10．（2022·云南大理·模擬預(yù)測）已知為橢圓C的左、右焦點，點為其上一點，且．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點R，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.例12．（2022·廣西桂林·高三開學(xué)考試（理））已知P為橢圓（）上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線l交橢圓于A，B兩點，點C與點B關(guān)于x軸對稱，求面積的最大值例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點.(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1，過A(2，0)，B(0，1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求四邊形ABNM的面積.例15．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）橢圓經(jīng)過點且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點，且以為直徑的圓過原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的最大值.例16．（2022·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經(jīng)過原點.（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為點，求面積的最大值．例18．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：（）的焦距為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點的直線交橢圓C于A、B兩點，求（O為原點）面積的最大值.題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線W：的左、右焦點分別為、，點，右頂點是M，且，．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過點的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．例20．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點為，上頂點為H，O為坐標(biāo)原點，，點在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，點，．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點，記，的面積分別為，，求的值．例21．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓過點．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個動點M，連接動點M與橢圓C的左頂點A與y的負(fù)半軸交于點E，連接動點M與橢圓的上頂點B，與x的正半軸交于點F，記四邊形的面積為，的面積為，，求的取值范圍．例22．（2022·上海金山·二模）已知橢圓的左?右焦點分別為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上一點，的延長線分別交橢圓于點，直線與交于點.(1)求的周長；(2)當(dāng)垂直于軸時，求直線的方程；(3)記與的面積分別為，求的最大值.例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，點為橢圓的上頂點，過點作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點，，直線與圓和橢圓分別相交于點，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上、下頂點分別為，拋物線在點處的切線l交橢圓于點M，N，交橢圓的短軸于點C，直線交x軸于點D．(1)若點C是的中點，求p的值；(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值．例25．（2022·河北邯鄲·二模）已知點P（2，）為橢圓C：）上一點，A，B分別為C的左、右頂點，且△PAB的面積為5．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點Q（1，0）的直線l與C相交于點G，H（點G在x軸上方），AG，BH與y軸分別交于點M，N，記，分別為△AOM，△AON（點O為坐標(biāo)原點）的面積，證明為定值．例26．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（理））已知橢圓，橢圓的焦點在y軸上．經(jīng)過點且與橢圓有相同的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A為橢圓的上頂點，點P是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點，點Q與點P關(guān)于原點對稱，直線與橢圓的另一個交點分別為M，N兩點，設(shè)與的面積分別為，求的取值范圍．例27．（2022·江西鷹潭·二模（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點P在圓上，過點P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動點D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩個不同的點A、B，點T為線段AB的中點.線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點，記的面積分別為，求的取值范圍.題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型例28．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點為，焦距為2，點P是橢圓C上一點滿足軸，．(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線交橢圓C于A，B（異于點P）兩點，直線分別交直線于M，N，記，求的最小值．例29．（2022·上?！つM預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點B與點關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．(1)求動點P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線與第（1）問的曲線C交于不同的兩點E、F，以線段為直徑作圓D，圓心為D，設(shè)是圓D上的動點，當(dāng)t變化時，求的最大值；(3)設(shè)直線和分別與直線交于點M、N，問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的左、右焦點分別為，離心率為，過點且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點P，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線C交于點E，軸，過點S的另一直線與曲線C交于M，N兩點，若，求所在的直線方程．例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為F，直線PQ過F交橢圓于P，Q兩點，且．(1)求橢圓的長軸和短軸的比值；(2)如圖，線段PQ的垂直平分線與PQ交于點M，與x軸，y軸分別交于D，E兩點，求的取值范圍．例32．（2022·遼寧鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點關(guān)于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.(1)求動點P的軌跡方程，并注明x的范圍；(2)設(shè)直線AP與BP分別與直線交于M，N，問是否存在點P使得與面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且.求四邊形面積的最小值.例34．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的左?右焦點分別為是上一動點，的最大面積為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點，為上兩點，且，求四邊形面積的最大值.例35．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形例36．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點，且的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時，斜率為的直線交橢圓于，兩點（，兩點在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．例37．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．例38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長軸長為4．(1)求C的方程．(2)直線l經(jīng)過點，且斜率大于零．過C的左焦點作直線l的垂線，垂足為A，過C的右焦點作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）O為坐標(biāo)原點橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，切．(1)求的方程；(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點，