基于EMD的離散數(shù)字曲線曲面光順方法的深度剖析與創(chuàng)新應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今數(shù)字化時代，數(shù)字幾何信號處理在眾多領(lǐng)域如計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、計算機視覺以及醫(yī)學(xué)圖像處理等中占據(jù)著舉足輕重的地位。數(shù)字幾何信號處理旨在對離散的數(shù)字曲線和曲面進行分析、處理與優(yōu)化，以滿足不同應(yīng)用場景的需求，其處理結(jié)果直接影響到后續(xù)的分析、建模和可視化等任務(wù)的質(zhì)量。例如在計算機輔助設(shè)計中，精確且光順的曲線曲面模型能夠確保產(chǎn)品的外觀設(shè)計符合美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，同時滿足工程制造的精度要求；在醫(yī)學(xué)圖像處理中，準(zhǔn)確的器官輪廓提取和表面重建依賴于高效的數(shù)字幾何信號處理算法，以輔助醫(yī)生進行疾病診斷和治療方案的制定。傳統(tǒng)的信號分析方法，如窗口傅里葉變換、小波變換等，在處理數(shù)字幾何信號時存在一定的局限性。窗口傅里葉變換通過固定的窗函數(shù)對信號進行分析，其窗口大小和形狀在整個分析過程中保持不變，這使得它難以準(zhǔn)確捕捉信號在不同時間尺度上的變化特征。當(dāng)處理具有復(fù)雜頻率成分和突變特性的數(shù)字幾何信號時，窗口傅里葉變換可能會丟失重要的局部信息，導(dǎo)致分析結(jié)果不準(zhǔn)確。小波變換雖然在一定程度上改善了對信號局部特征的分析能力，通過多分辨率分析能夠在不同尺度上對信號進行分解，但它依賴于預(yù)先選定的小波基函數(shù)，缺乏自適應(yīng)性。不同的數(shù)字幾何信號可能具有獨特的內(nèi)在特征，固定的小波基函數(shù)無法完全適應(yīng)這些變化，從而影響信號分解的效果。經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpiricalModeDecomposition，EMD）作為一種新興的非平穩(wěn)、非線性信號分析方法，為解決上述問題提供了新的思路。EMD能夠?qū)?fù)雜的非平穩(wěn)信號逐步分解成若干個具有不同特征尺度的平穩(wěn)的數(shù)據(jù)層與趨勢項的疊加，實現(xiàn)時-頻同時局部化，且具有自適應(yīng)性。這種自適應(yīng)性使得EMD能夠根據(jù)信號自身的特點進行分解，無需預(yù)先設(shè)定基函數(shù)，能夠更準(zhǔn)確地捕捉信號的內(nèi)在特征。在處理數(shù)字幾何信號時，EMD可以將信號中的高頻噪聲、低頻趨勢以及不同尺度的幾何特征有效地分離出來，從而為后續(xù)的光順處理提供更純凈的信號成分。將EMD應(yīng)用于離散數(shù)字曲線曲面光順方法的研究，有望克服傳統(tǒng)方法的局限性，提高光順處理的效果和效率，具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。通過基于EMD的光順方法，可以得到更加光滑、連續(xù)且符合實際需求的數(shù)字曲線和曲面，為相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展提供有力的技術(shù)支持。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在離散數(shù)字曲線曲面光順方法的研究領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者已取得了一系列有價值的成果。國外方面，早期的研究主要集中在基于幾何特征的光順方法。如文獻[具體文獻1]提出通過調(diào)整曲線的控制點來實現(xiàn)光順，這種方法直接作用于曲線的幾何結(jié)構(gòu)，能夠直觀地改變曲線的形狀。通過對控制點的位置進行微調(diào)，使得曲線在保持原有大致形狀的基礎(chǔ)上，減少局部的波動和不光滑現(xiàn)象。然而，該方法對于復(fù)雜曲線的處理效果有限，當(dāng)曲線的形狀較為復(fù)雜，控制點的數(shù)量較多時，調(diào)整控制點的過程變得繁瑣且難以準(zhǔn)確把握，容易導(dǎo)致曲線失去原有的特征。隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，基于樣條理論的光順方法逐漸成為研究熱點。文獻[具體文獻2]利用B樣條曲線曲面進行光順處理，B樣條具有良好的局部控制特性和光滑性。它通過定義一組控制點和基函數(shù)，能夠靈活地構(gòu)建出各種形狀的曲線和曲面，并且在連接處能夠保證一定的連續(xù)性。在構(gòu)建復(fù)雜的機械零件模型時，可以利用B樣條曲線曲面來精確地描述零件的輪廓，通過調(diào)整控制點的位置和基函數(shù)的參數(shù)，實現(xiàn)對模型的光順處理，使其更加符合實際的制造要求。但是，B樣條方法對數(shù)據(jù)點的分布較為敏感，當(dāng)數(shù)據(jù)點分布不均勻時，可能會出現(xiàn)局部波動或失真的情況。如果在采集數(shù)據(jù)點時，某些區(qū)域的數(shù)據(jù)點過于密集，而其他區(qū)域的數(shù)據(jù)點稀疏，使用B樣條方法進行光順處理后，可能會導(dǎo)致曲線在數(shù)據(jù)點密集區(qū)域過度光滑，而在數(shù)據(jù)點稀疏區(qū)域出現(xiàn)不連續(xù)或波動的現(xiàn)象。近年來，基于小波分析的光順方法受到了廣泛關(guān)注。文獻[具體文獻3]將小波變換應(yīng)用于數(shù)字曲線曲面光順，利用小波的多分辨率分析特性，能夠在不同尺度上對信號進行分解和重構(gòu)。在處理圖像中的邊緣曲線時，可以通過小波變換將曲線分解為不同頻率的成分，然后對高頻成分進行濾波處理，去除噪聲和細(xì)節(jié)信息，再進行重構(gòu)，從而實現(xiàn)曲線的光順。這種方法在處理含有噪聲的信號時具有較好的效果，能夠有效地保留信號的主要特征。但是，小波變換依賴于預(yù)先選定的小波基函數(shù)，不同的小波基函數(shù)對信號的分解效果不同，選擇合適的小波基函數(shù)需要一定的經(jīng)驗和先驗知識，否則可能會影響光順的效果。如果選擇的小波基函數(shù)與信號的特征不匹配，可能會導(dǎo)致信號在分解和重構(gòu)過程中丟失重要信息，使得光順后的曲線或曲面無法準(zhǔn)確反映原始信號的真實形狀。在國內(nèi)，相關(guān)研究也在不斷深入。一些學(xué)者致力于改進傳統(tǒng)的光順方法，以提高其性能和適用范圍。文獻[具體文獻4]針對基于能量優(yōu)化的光順方法進行了改進，通過引入新的能量項，使得光順過程能夠更好地平衡曲線的光滑性和形狀保持。在處理具有尖銳特征的曲線時，傳統(tǒng)的能量優(yōu)化方法可能會過度平滑這些特征，導(dǎo)致曲線失去原有的形狀信息。而改進后的方法通過合理設(shè)計能量項，能夠在保證曲線整體光滑的前提下，最大程度地保留曲線的尖銳特征，使光順后的曲線更加符合實際需求。還有學(xué)者將機器學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于曲線曲面光順。文獻[具體文獻5]提出基于深度學(xué)習(xí)的光順模型，通過大量的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，模型能夠自動學(xué)習(xí)曲線曲面的光順模式。在處理復(fù)雜的三維模型表面時，該模型可以根據(jù)輸入的模型數(shù)據(jù)，自動預(yù)測出合適的光順參數(shù)和操作，實現(xiàn)對模型表面的快速光順處理。這種方法具有較強的自適應(yīng)能力，但需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和較高的計算資源，訓(xùn)練過程也較為復(fù)雜，容易出現(xiàn)過擬合等問題。如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)不足或數(shù)據(jù)分布不均勻，可能會導(dǎo)致模型的泛化能力下降，無法準(zhǔn)確地對新的數(shù)據(jù)進行光順處理。經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）作為一種新興的信號分析方法，在多個領(lǐng)域得到了應(yīng)用。在語音信號處理中，文獻[具體文獻6]利用EMD對語音信號進行分解，提取出不同頻率的IMF分量，然后對這些分量進行處理，實現(xiàn)了語音增強和去噪。通過將語音信號分解為多個IMF分量，可以更清晰地分析語音信號的組成結(jié)構(gòu)，針對不同頻率的噪聲分布在不同的IMF分量上的特點，對相應(yīng)的分量進行濾波或增強處理，從而有效地提高語音信號的質(zhì)量。在圖像處理領(lǐng)域，文獻[具體文獻7]將EMD用于圖像邊緣檢測，通過對圖像的灰度信號進行EMD分解，利用分解后的IMF分量來提取圖像的邊緣信息。這種方法能夠更好地適應(yīng)圖像的復(fù)雜紋理和噪聲環(huán)境，提高邊緣檢測的準(zhǔn)確性。然而，將EMD應(yīng)用于離散數(shù)字曲線曲面光順的研究相對較少。目前的研究主要集中在如何將EMD與現(xiàn)有的光順方法相結(jié)合，探索新的光順?biāo)惴?。文獻[具體文獻8]提出了一種基于EMD和小波變換的混合光順方法，先利用EMD對曲線信號進行分解，去除高頻噪聲分量，然后再利用小波變換進行進一步的光順處理。這種方法結(jié)合了EMD和小波變換的優(yōu)點，在一定程度上提高了光順效果。但是，該方法在分解和重構(gòu)過程中可能會引入誤差，而且對于不同類型的曲線曲面，參數(shù)的選擇還缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，需要進一步的研究和優(yōu)化。在處理不同形狀和特征的曲線曲面時，如何確定EMD的分解層數(shù)、小波變換的參數(shù)等，仍然是一個有待解決的問題，這些參數(shù)的選擇直接影響到光順方法的性能和效果。1.3研究內(nèi)容與方法本研究旨在深入探究基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）的離散數(shù)字曲線曲面光順方法，具體研究內(nèi)容涵蓋以下幾個關(guān)鍵方面。首先，深入剖析經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）的基本原理與算法細(xì)節(jié)。詳細(xì)研究EMD將復(fù)雜非平穩(wěn)信號分解為若干個固有模態(tài)函數(shù)（IMF）和一個殘余項的具體過程。深入理解篩選過程中如何確定信號的局部極值點，進而構(gòu)建上下包絡(luò)線，以及如何通過計算平均包絡(luò)線來提取IMF分量。研究終止條件的設(shè)定，以確保分解過程的合理性和有效性。通過對EMD原理和算法的深入研究，為后續(xù)將其應(yīng)用于離散數(shù)字曲線曲面光順提供堅實的理論基礎(chǔ)。只有準(zhǔn)確把握EMD的核心機制，才能在實際應(yīng)用中充分發(fā)揮其優(yōu)勢，實現(xiàn)對數(shù)字曲線曲面信號的有效分解和處理。其次，基于EMD算法，精心設(shè)計適用于離散數(shù)字曲線曲面光順的算法流程。在設(shè)計過程中，充分考慮離散數(shù)字曲線曲面的特點，如數(shù)據(jù)點的離散性、曲線曲面的幾何特征等。針對數(shù)字曲線，研究如何根據(jù)EMD分解得到的IMF分量，準(zhǔn)確識別和去除高頻噪聲和細(xì)節(jié)信息，從而實現(xiàn)曲線的光順。對于數(shù)字曲面，考慮如何在三維空間中應(yīng)用EMD算法，對曲面的起伏和波動進行分析和處理，以獲得光滑的曲面。通過合理的算法設(shè)計，實現(xiàn)對離散數(shù)字曲線曲面的高效光順處理，提高曲線曲面的質(zhì)量和精度。算法流程的設(shè)計需要綜合考慮多個因素，確保在保留曲線曲面主要特征的前提下，最大程度地減少噪聲和不光滑現(xiàn)象。再者，針對算法中可能出現(xiàn)的模態(tài)混疊等問題，展開深入研究并提出切實可行的解決方案。模態(tài)混疊是EMD算法中常見的問題，它會導(dǎo)致分解得到的IMF分量包含不同尺度的信號成分，從而影響后續(xù)的分析和處理。通過對模態(tài)混疊現(xiàn)象的深入分析，研究其產(chǎn)生的原因，如信號的突變、噪聲的干擾等。基于研究結(jié)果，提出有效的解決方案，如采用改進的EMD算法，引入新的篩選準(zhǔn)則或預(yù)處理方法，以減少模態(tài)混疊的發(fā)生。通過解決模態(tài)混疊問題，提高EMD算法在離散數(shù)字曲線曲面光順中的可靠性和穩(wěn)定性。有效的解決方案能夠確保分解結(jié)果的準(zhǔn)確性，為后續(xù)的光順處理提供可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。然后，對基于EMD的離散數(shù)字曲線曲面光順?biāo)惴ㄟM行全面的實驗驗證與性能評估。使用多種不同類型的離散數(shù)字曲線曲面數(shù)據(jù)進行實驗，包括來自實際工程應(yīng)用的數(shù)據(jù)集和人工合成的測試數(shù)據(jù)。通過實驗，驗證算法在不同場景下的有效性和可行性。在性能評估方面，選擇合適的評價指標(biāo)，如平均絕對誤差（MAE）、均方根誤差（RMSE）、曲率變化等，對光順前后的曲線曲面進行量化分析。對比基于EMD的光順?biāo)惴ㄅc傳統(tǒng)光順?biāo)惴ǖ男阅?，評估其在光滑性、形狀保持性等方面的優(yōu)勢和不足。通過實驗驗證和性能評估，為算法的進一步優(yōu)化和改進提供依據(jù)。實驗結(jié)果能夠直觀地展示算法的性能表現(xiàn)，幫助我們發(fā)現(xiàn)算法存在的問題，從而有針對性地進行改進。最后，將基于EMD的光順方法應(yīng)用于實際工程領(lǐng)域，如計算機輔助設(shè)計、醫(yī)學(xué)圖像處理等，驗證其在實際應(yīng)用中的效果和價值。在計算機輔助設(shè)計中，將該方法應(yīng)用于產(chǎn)品模型的設(shè)計和優(yōu)化，通過對模型曲線曲面的光順處理，提高產(chǎn)品的外觀質(zhì)量和制造精度。在醫(yī)學(xué)圖像處理中，將其用于器官輪廓的提取和表面重建，幫助醫(yī)生更準(zhǔn)確地診斷疾病。通過實際應(yīng)用，進一步完善和優(yōu)化算法，使其更好地滿足實際工程需求。實際應(yīng)用能夠檢驗算法的實用性和可靠性，為算法的推廣和應(yīng)用提供實踐支持。在研究方法上，本研究綜合運用理論分析、算法設(shè)計、實驗驗證等多種方法。通過理論分析，深入研究EMD的原理和算法，為后續(xù)的研究提供理論依據(jù)。在算法設(shè)計過程中，結(jié)合離散數(shù)字曲線曲面的特點，運用數(shù)學(xué)建模和算法優(yōu)化的方法，設(shè)計出高效的光順?biāo)惴?。通過大量的實驗驗證，使用不同的數(shù)據(jù)集和評價指標(biāo)，對算法的性能進行全面評估，確保算法的有效性和可靠性。將理論分析、算法設(shè)計和實驗驗證有機結(jié)合，形成一個完整的研究體系，以實現(xiàn)對基于EMD的離散數(shù)字曲線曲面光順方法的深入研究和有效改進。1.4研究創(chuàng)新點本研究在離散數(shù)字曲線曲面光順方法的研究中，基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）提出了一系列創(chuàng)新內(nèi)容，在方法改進和應(yīng)用拓展等方面展現(xiàn)出獨特優(yōu)勢。在方法改進層面，本研究創(chuàng)新性地將EMD引入離散數(shù)字曲線曲面光順領(lǐng)域。與傳統(tǒng)的光順方法不同，如基于幾何特征的方法依賴于人工設(shè)定的幾何規(guī)則進行光順處理，基于樣條理論的方法受限于樣條基函數(shù)的選擇和數(shù)據(jù)點分布，基于小波分析的方法依賴于預(yù)先選定的小波基函數(shù)。EMD具有自適應(yīng)性，它能夠根據(jù)離散數(shù)字曲線曲面信號自身的特點進行分解，無需預(yù)先設(shè)定基函數(shù)。通過EMD分解得到的固有模態(tài)函數(shù)（IMF）能夠清晰地反映信號在不同尺度上的特征，為后續(xù)的光順處理提供了更豐富、準(zhǔn)確的信息。在處理復(fù)雜形狀的離散數(shù)字曲線時，傳統(tǒng)方法可能會出現(xiàn)局部波動或失真的情況，而基于EMD的方法能夠通過對IMF分量的分析和處理，有效地去除高頻噪聲和細(xì)節(jié)信息，同時保留曲線的主要特征，實現(xiàn)更精確的光順處理。在處理具有復(fù)雜紋理和起伏的數(shù)字曲面時，基于EMD的方法能夠根據(jù)曲面的局部特征進行自適應(yīng)分解，從而更好地處理曲面的不光滑部分，得到更光滑、連續(xù)的曲面。針對EMD算法中常見的模態(tài)混疊問題，本研究提出了創(chuàng)新性的解決方案。通過引入新的篩選準(zhǔn)則，結(jié)合信號的局部特征和頻率分布，在篩選過程中更加準(zhǔn)確地判斷信號的極值點和包絡(luò)線，從而減少模態(tài)混疊的發(fā)生。與傳統(tǒng)的解決模態(tài)混疊的方法相比，如通過添加噪聲輔助分解等方法，本研究提出的方法更加簡潔高效，避免了引入額外噪聲對信號的影響。通過改進的篩選準(zhǔn)則，能夠在分解過程中更準(zhǔn)確地分離不同尺度的信號成分，使得分解得到的IMF分量更加純凈，提高了EMD算法在離散數(shù)字曲線曲面光順中的可靠性和穩(wěn)定性。在處理含有突變和噪聲的離散數(shù)字曲線曲面信號時，傳統(tǒng)方法容易出現(xiàn)模態(tài)混疊，導(dǎo)致分解結(jié)果不準(zhǔn)確，而本研究的方法能夠有效地克服這一問題，為后續(xù)的光順處理提供更可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。在應(yīng)用拓展方面，本研究將基于EMD的光順方法成功應(yīng)用于多個實際工程領(lǐng)域，實現(xiàn)了方法的創(chuàng)新性應(yīng)用。在計算機輔助設(shè)計中，將該方法應(yīng)用于產(chǎn)品模型的設(shè)計和優(yōu)化，通過對模型曲線曲面的光順處理，提高了產(chǎn)品的外觀質(zhì)量和制造精度。與傳統(tǒng)的設(shè)計方法相比，基于EMD的光順方法能夠更好地滿足產(chǎn)品對曲線曲面光滑性和形狀保持性的要求，使產(chǎn)品在外觀上更加美觀，在制造過程中更加符合精度標(biāo)準(zhǔn)。在設(shè)計汽車車身曲面時，傳統(tǒng)方法可能無法很好地處理曲面的復(fù)雜形狀和細(xì)節(jié)，導(dǎo)致車身表面出現(xiàn)不光滑的情況，而基于EMD的光順方法能夠?qū)嚿砬孢M行精確的光順處理，使車身表面更加光滑流暢，提高了汽車的空氣動力學(xué)性能和外觀質(zhì)量。在醫(yī)學(xué)圖像處理中，將基于EMD的光順方法用于器官輪廓的提取和表面重建，幫助醫(yī)生更準(zhǔn)確地診斷疾病。通過對醫(yī)學(xué)圖像中的器官輪廓進行光順處理，能夠更清晰地顯示器官的形態(tài)和結(jié)構(gòu)，減少噪聲和偽影的干擾，提高了醫(yī)學(xué)圖像的診斷價值。在處理腦部醫(yī)學(xué)圖像時，傳統(tǒng)方法提取的腦部器官輪廓可能存在不精確的情況，影響醫(yī)生對疾病的判斷，而基于EMD的光順方法能夠?qū)δX部器官輪廓進行精確的光順和重建，為醫(yī)生提供更準(zhǔn)確的診斷依據(jù)。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1離散數(shù)字曲線曲面基礎(chǔ)2.1.1離散數(shù)字曲線定義與表示離散數(shù)字曲線是由一系列離散的點組成的曲線，這些點在空間中按照一定的順序排列，用于近似表示實際的連續(xù)曲線。在二維平面中，離散數(shù)字曲線可以看作是由一組有序的二維點列\(zhòng){P_i(x_i,y_i)\}_{i=0}^{n-1}構(gòu)成，其中P_i表示第i個點，x_i和y_i分別是該點在x軸和y軸上的坐標(biāo)，n為點列的長度，即點的數(shù)量。在實際應(yīng)用中，這些離散點可能來自于對連續(xù)曲線的采樣，如通過數(shù)字化設(shè)備對物理模型的輪廓進行測量得到。離散數(shù)字曲線的常用表示方式之一是有序點列表示。這種表示方法直接記錄曲線上的離散點的坐標(biāo)順序，簡單直觀，易于理解和實現(xiàn)。在計算機圖形學(xué)中，當(dāng)繪制一條由離散點構(gòu)成的曲線時，通常采用這種表示方式，通過依次連接這些有序點來呈現(xiàn)曲線的大致形狀。這種表示方式存在一定的局限性，由于僅僅記錄了點的坐標(biāo)，缺乏對曲線整體特征和幾何性質(zhì)的描述，對于曲線的分析和處理相對困難。當(dāng)需要計算曲線的曲率、切線等幾何量時，僅依靠有序點列表示很難直接得出結(jié)果。參數(shù)方程也是離散數(shù)字曲線的一種重要表示方式。對于二維離散數(shù)字曲線，其參數(shù)方程可以表示為x=x(t)，y=y(t)，其中t為參數(shù)，通常在一定的區(qū)間內(nèi)取值，如t\in[0,1]。通過參數(shù)t的變化，可以得到曲線上不同點的坐標(biāo)。對于一條由n個離散點組成的曲線，可以通過插值等方法構(gòu)建參數(shù)方程。假設(shè)已知離散點P_i(x_i,y_i)和P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})，可以使用線性插值來構(gòu)建這兩點之間的參數(shù)方程。令t在[0,1]內(nèi)變化，則x(t)=(1-t)x_i+tx_{i+1}，y(t)=(1-t)y_i+ty_{i+1}。通過這種方式，可以將離散的點用連續(xù)的參數(shù)方程表示，便于對曲線進行進一步的分析和處理。參數(shù)方程表示能夠更好地描述曲線的連續(xù)性和光滑性，在進行曲線擬合、光順等操作時具有優(yōu)勢。它可以通過調(diào)整參數(shù)的取值范圍和變化方式，靈活地控制曲線的形狀和特征。參數(shù)方程的構(gòu)建通常需要一定的數(shù)學(xué)方法和計算過程，對于復(fù)雜的離散數(shù)字曲線，構(gòu)建合適的參數(shù)方程可能較為困難。2.1.2離散數(shù)字曲面定義與表示離散數(shù)字曲面是對連續(xù)曲面的離散化表示，它由一系列離散的幾何元素組成，用于近似描述實際的曲面形狀。在三維空間中，離散數(shù)字曲面可以看作是由多個離散的點、邊和面構(gòu)成的幾何模型。離散數(shù)字曲面在計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、地理信息系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在計算機圖形學(xué)中，用于構(gòu)建三維物體的表面模型；在地理信息系統(tǒng)中，用于表示地形地貌等。三角網(wǎng)格是離散數(shù)字曲面最常見的表示方法之一。它由一組三角形面片組成，每個三角形面片由三個頂點和三條邊構(gòu)成。這些三角形面片通過共享頂點和邊相互連接，形成一個連續(xù)的曲面。在構(gòu)建三角網(wǎng)格時，通常需要確定三角形的頂點坐標(biāo)以及它們之間的連接關(guān)系。可以通過對連續(xù)曲面進行采樣，得到一系列離散點，然后使用三角剖分算法，如Delaunay三角剖分，將這些離散點連接成三角形網(wǎng)格。Delaunay三角剖分能夠保證生成的三角形網(wǎng)格具有較好的幾何性質(zhì)，如最大化最小內(nèi)角，從而使網(wǎng)格更加均勻和穩(wěn)定。三角網(wǎng)格表示具有簡單、靈活的特點，易于進行圖形渲染和幾何計算。在計算機圖形學(xué)中，渲染引擎可以直接對三角網(wǎng)格進行處理，通過光照計算、紋理映射等操作，生成逼真的三維圖像。由于三角形面片是平面圖形，對于復(fù)雜的曲面，可能需要大量的三角形面片才能準(zhǔn)確地逼近，導(dǎo)致數(shù)據(jù)量較大，存儲和計算成本較高。四邊形網(wǎng)格也是離散數(shù)字曲面的一種常用表示方法。它由一系列四邊形面片組成，每個四邊形面片由四個頂點和四條邊構(gòu)成。與三角網(wǎng)格相比，四邊形網(wǎng)格在表示一些具有規(guī)則形狀的曲面時具有優(yōu)勢，如平面、圓柱面等。四邊形網(wǎng)格的構(gòu)建方法有多種，一種常見的方法是基于參數(shù)化的思想。首先對連續(xù)曲面進行參數(shù)化，將其映射到二維平面上，然后在二維平面上劃分四邊形網(wǎng)格，最后再將這些四邊形網(wǎng)格映射回三維空間，得到離散數(shù)字曲面的四邊形網(wǎng)格表示。在構(gòu)建復(fù)雜曲面的四邊形網(wǎng)格時，可能會遇到一些問題，如網(wǎng)格的奇異性、扭曲等，需要進行特殊的處理和優(yōu)化。四邊形網(wǎng)格在某些情況下能夠減少數(shù)據(jù)量，提高計算效率，尤其是對于一些具有規(guī)則結(jié)構(gòu)的曲面。在有限元分析中，四邊形網(wǎng)格可以更方便地進行數(shù)值計算。但是，對于形狀復(fù)雜的曲面，構(gòu)建高質(zhì)量的四邊形網(wǎng)格相對困難，可能需要更多的人工干預(yù)和優(yōu)化。2.2光順的基本概念與準(zhǔn)則2.2.1光順的定義與目標(biāo)在數(shù)字曲線曲面處理中，光順是一個至關(guān)重要的概念，它旨在提升曲線曲面的視覺和幾何質(zhì)量，使其更加符合實際應(yīng)用的需求。從本質(zhì)上講，光順就是通過特定的算法和技術(shù)，去除數(shù)字曲線曲面中由于數(shù)據(jù)采集、傳輸或處理過程中引入的噪聲、毛刺以及其他不光滑因素，使曲線曲面呈現(xiàn)出更加光滑、流暢的形態(tài)。在計算機輔助設(shè)計中，產(chǎn)品的外觀通常由復(fù)雜的曲線曲面構(gòu)成，若這些曲線曲面存在不光滑的部分，不僅會影響產(chǎn)品的美觀度，還可能在制造過程中導(dǎo)致工藝難題。在汽車車身設(shè)計中，不光滑的曲面會增加空氣阻力，影響汽車的燃油經(jīng)濟性和行駛穩(wěn)定性；在航空航天領(lǐng)域，飛行器的外形若不光滑，會產(chǎn)生額外的氣動噪聲和阻力，降低飛行性能。光順的主要目標(biāo)之一是去除噪聲。在實際的數(shù)據(jù)獲取過程中，由于測量設(shè)備的精度限制、環(huán)境干擾等因素，數(shù)字曲線曲面數(shù)據(jù)往往會包含噪聲。這些噪聲可能表現(xiàn)為數(shù)據(jù)點的隨機波動，使得曲線曲面出現(xiàn)不必要的起伏和鋸齒狀。通過光順處理，可以有效地抑制這些噪聲，使曲線曲面回歸到其真實的幾何形狀。在醫(yī)學(xué)圖像處理中，對人體器官的三維重建依賴于對斷層圖像的輪廓提取和曲面構(gòu)建。由于成像設(shè)備的噪聲和人體組織的復(fù)雜性，提取的輪廓曲線和構(gòu)建的曲面可能存在噪聲，影響醫(yī)生對器官形態(tài)和病變的準(zhǔn)確判斷。通過光順處理，可以去除這些噪聲，提高醫(yī)學(xué)圖像的清晰度和診斷準(zhǔn)確性。使曲線曲面更光滑也是光順的重要目標(biāo)。光滑的曲線曲面具有連續(xù)的切線和曲率變化，給人以自然、流暢的視覺感受。在計算機圖形學(xué)中，用于渲染的三維模型的曲線曲面光滑程度直接影響到模型的真實感和視覺效果。對于一個虛擬的人物模型，如果其面部的曲線曲面不光滑，會顯得生硬、不自然，而經(jīng)過光順處理后，模型的面部會更加細(xì)膩、生動，增強了虛擬場景的沉浸感。在工業(yè)設(shè)計中，光滑的曲線曲面也有助于提高產(chǎn)品的制造工藝性和裝配精度。對于機械零件的設(shè)計，光滑的表面可以減少磨損和摩擦，延長零件的使用壽命。2.2.2光順準(zhǔn)則分析在評價光順效果時，需要依據(jù)一系列的光順準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則從不同角度對曲線曲面的光滑程度和質(zhì)量進行衡量，為光順?biāo)惴ǖ脑O(shè)計和優(yōu)化提供了重要的依據(jù)。連續(xù)性是光順準(zhǔn)則中最基本的要求之一。它主要包括位置連續(xù)性（C^0連續(xù)）、切線連續(xù)性（C^1連續(xù)）和曲率連續(xù)性（C^2連續(xù)）等不同的等級。位置連續(xù)性要求曲線曲面在連接點處的位置坐標(biāo)連續(xù)，即曲線曲面在連接處沒有斷點。在構(gòu)建由多個線段組成的曲線時，相鄰線段的端點必須重合，以保證曲線的C^0連續(xù)。切線連續(xù)性則進一步要求曲線曲面在連接點處的切線方向一致。對于參數(shù)曲線P(t)，在連接點t=t_0處，P'(t_0^-)=P'(t_0^+)，其中P'(t)表示曲線的一階導(dǎo)數(shù)，即切線向量。在設(shè)計汽車車身的曲面時，相鄰曲面片之間的切線連續(xù)性能夠使車身表面看起來更加光滑，避免出現(xiàn)明顯的棱邊。曲率連續(xù)性要求更高，它要求曲線曲面在連接點處的曲率連續(xù)。對于參數(shù)曲線，在連接點處不僅切線方向一致，而且曲率的大小和變化率也相同。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的機翼曲面需要具有較高的曲率連續(xù)性，以保證空氣在機翼表面的流動更加平滑，減少空氣阻力和湍流的產(chǎn)生。不同等級的連續(xù)性在實際應(yīng)用中有著不同的重要性，需要根據(jù)具體的需求來選擇合適的連續(xù)性標(biāo)準(zhǔn)。在一些對外觀要求較高的設(shè)計中，如汽車、家具等，通常需要保證較高的連續(xù)性，以提供美觀的視覺效果；而在一些對精度要求較高的工程應(yīng)用中，如機械零件的制造，連續(xù)性的要求則更加嚴(yán)格，以確保零件的性能和質(zhì)量。曲率變化也是評價光順效果的關(guān)鍵準(zhǔn)則。理想的光順曲線曲面應(yīng)具有均勻、連續(xù)的曲率變化，避免出現(xiàn)曲率突變的情況。曲率突變會導(dǎo)致曲線曲面在局部出現(xiàn)尖銳的拐角或不自然的彎曲，影響其光滑性和美觀度。在設(shè)計一條道路的中心線時，如果曲率變化不均勻，會使駕駛員在行駛過程中感到不適，增加駕駛難度和安全風(fēng)險。在計算機圖形學(xué)中，通過對曲線曲面的曲率進行分析和調(diào)整，可以實現(xiàn)對其光順效果的優(yōu)化。可以采用一些算法來計算曲線曲面的曲率，并根據(jù)曲率的分布情況對數(shù)據(jù)點進行調(diào)整，使得曲率變化更加均勻。在處理三維模型的表面時，可以通過對三角形網(wǎng)格的頂點進行微調(diào)，來改變曲面的曲率分布，從而實現(xiàn)曲面的光順。通過合理控制曲率變化，可以使曲線曲面在保持形狀特征的前提下，達到更好的光順效果。2.3經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）原理2.3.1EMD基本原理經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）是一種針對非線性、非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)時頻分析方法，由Huang等人于1998年首次提出。該方法的核心思想是將復(fù)雜的信號分解為一系列固有模態(tài)函數(shù)（IntrinsicModeFunction，IMF）和一個殘余分量的疊加形式。IMF是滿足一定條件的分量，這些條件包括：在整個數(shù)據(jù)長度上，極值點的數(shù)量與過零點的數(shù)量必須相等或最多相差一個；在任意時刻，由局部極大值點構(gòu)成的上包絡(luò)線和由局部極小值點構(gòu)成的下包絡(luò)線的均值為零。通過這樣的分解，EMD能夠?qū)⑿盘栔胁煌瑫r間尺度的波動和趨勢分離出來，從而更清晰地展現(xiàn)信號的內(nèi)在特征。從數(shù)學(xué)角度來看，對于一個給定的信號x(t)，經(jīng)過EMD分解后，可以表示為：x(t)=\sum_{i=1}^{n}IMF_i(t)+r_n(t)其中，IMF_i(t)表示第i個固有模態(tài)函數(shù)，r_n(t)表示殘余分量。殘余分量通常代表信號的趨勢項或均值，而IMF分量則包含了信號在不同頻率段上的主要特征信息。在對一段包含多個頻率成分的語音信號進行EMD分解時，較低頻率的IMF分量可能對應(yīng)著語音的基頻信息，而較高頻率的IMF分量則可能包含了語音的共振峰等細(xì)節(jié)信息。通過對這些IMF分量的進一步分析，可以實現(xiàn)語音信號的特征提取、去噪等處理。2.3.2EMD分解步驟詳解EMD分解過程主要包括以下幾個關(guān)鍵步驟：步驟一：尋找極值點對于給定的離散數(shù)字曲線或曲面信號，首先需要確定其所有的局部極大值點和局部極小值點。對于離散數(shù)字曲線，通過比較相鄰數(shù)據(jù)點的數(shù)值大小來判斷是否為極值點。如果某一數(shù)據(jù)點的值大于其左右相鄰數(shù)據(jù)點的值，則該點為局部極大值點；反之，如果某一數(shù)據(jù)點的值小于其左右相鄰數(shù)據(jù)點的值，則該點為局部極小值點。對于離散數(shù)字曲面，判斷一個點是否為極值點時，需要考慮其在二維鄰域內(nèi)的數(shù)值情況，通常采用3×3或5×5的鄰域窗口進行判斷。若中心數(shù)據(jù)點的值在該鄰域內(nèi)為最大或最小，則該點為極值點。步驟二：擬合包絡(luò)線在確定了極值點后，分別對極大值點和極小值點進行插值擬合，得到上包絡(luò)線e_{max}(t)和下包絡(luò)線e_{min}(t)。常用的插值方法有三次樣條插值。三次樣條插值能夠保證在插值點處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而使得到的包絡(luò)線更加光滑，更能準(zhǔn)確地反映信號的局部變化趨勢。對于離散數(shù)字曲線，將極大值點作為插值節(jié)點，利用三次樣條插值算法構(gòu)建上包絡(luò)線函數(shù)；同樣，將極小值點作為插值節(jié)點構(gòu)建下包絡(luò)線函數(shù)。對于離散數(shù)字曲面，在三維空間中，基于極大值點和極小值點的坐標(biāo)信息，運用三次樣條插值方法分別生成上包絡(luò)面和下包絡(luò)面。步驟三：計算平均包絡(luò)線與篩選IMF計算上下包絡(luò)線的平均值m_1(t)=\frac{e_{max}(t)+e_{min}(t)}{2}，然后從原始信號x(t)中減去平均包絡(luò)線，得到一個新的信號h_1(t)=x(t)-m_1(t)。對h_1(t)進行檢驗，判斷其是否滿足IMF的條件。如果不滿足，則將h_1(t)作為新的原始信號，重復(fù)上述尋找極值點、擬合包絡(luò)線、計算平均包絡(luò)線并相減的過程，直到得到的信號滿足IMF條件，將其記為IMF_1(t)。這一過程被稱為篩選過程，通過多次篩選，能夠逐步提取出信號中最具代表性的高頻分量。在處理一個含有噪聲的離散數(shù)字曲線信號時，經(jīng)過第一次篩選得到的h_1(t)可能仍然包含一些噪聲和非IMF特征，通過多次重復(fù)篩選過程，可以逐漸去除噪聲，使得到的IMF_1(t)更加純凈，準(zhǔn)確地反映信號的高頻波動特征。步驟四：分離IMF與繼續(xù)分解將提取出的IMF_1(t)從原始信號x(t)中分離出來，得到剩余信號r_1(t)=x(t)-IMF_1(t)。將r_1(t)作為新的原始信號，重復(fù)上述步驟，繼續(xù)分解得到IMF_2(t)，r_2(t)，以此類推，直到剩余信號r_n(t)為單調(diào)函數(shù)或常數(shù)，此時分解過程結(jié)束。通過這樣的迭代分解過程，能夠?qū)⒃夹盘栔鸩椒纸鉃槎鄠€不同頻率成分的IMF分量和一個殘余分量，實現(xiàn)對信號的精細(xì)分析。2.3.3EMD的優(yōu)勢與局限性分析EMD作為一種強大的信號分析方法，在處理非線性、非平穩(wěn)信號方面展現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢，但同時也存在一些局限性。優(yōu)勢方面：自適應(yīng)性強：EMD方法無需預(yù)先設(shè)定基函數(shù)，能夠根據(jù)信號自身的特點進行自適應(yīng)分解。與小波變換等方法相比，小波變換需要根據(jù)信號的特性選擇合適的小波基函數(shù)，不同的小波基函數(shù)對信號的分解效果可能存在較大差異。而EMD方法能夠自動地將信號分解為一系列具有不同特征尺度的IMF分量，這些IMF分量能夠準(zhǔn)確地反映信號在不同時間尺度上的內(nèi)在特征。在處理復(fù)雜的生物電信號時，由于生物電信號具有高度的非線性和非平穩(wěn)性，且其特征在不同個體和不同生理狀態(tài)下可能存在很大差異。EMD方法能夠根據(jù)每個生物電信號的獨特特征進行自適應(yīng)分解，提取出與生理過程相關(guān)的特征信息，為生物醫(yī)學(xué)研究和臨床診斷提供有力支持。時頻局部化特性好：EMD分解得到的IMF分量是時間和頻率的函數(shù)，能夠同時在時間和頻率域上對信號進行局部化分析。與傅里葉變換相比，傅里葉變換只能將信號分解為不同頻率的正弦和余弦波的疊加，無法反映信號在時間域上的局部變化信息。而EMD方法通過將信號分解為多個IMF分量，每個IMF分量都對應(yīng)著信號在特定時間尺度上的局部特征，能夠清晰地展示信號在不同時刻的頻率成分變化。在分析地震信號時，地震信號通常包含多個不同頻率的震相，且這些震相在時間上具有不同的出現(xiàn)順序和持續(xù)時間。EMD方法能夠?qū)⒌卣鹦盘柗纸鉃槎鄠€IMF分量，每個IMF分量對應(yīng)著不同震相的特征，通過對這些IMF分量的分析，可以準(zhǔn)確地確定地震的震源位置、震級等參數(shù)。局限性方面：模態(tài)混疊問題：模態(tài)混疊是EMD方法中較為突出的問題，它指的是在分解得到的IMF分量中，一個IMF分量可能包含了不同時間尺度的信號成分，或者不同的IMF分量包含了相同時間尺度的信號成分。模態(tài)混疊的產(chǎn)生主要是由于信號中存在突變、噪聲干擾等因素。在處理含有噪聲的語音信號時，噪聲可能會與語音信號的高頻成分混合在一起，導(dǎo)致分解得到的某些IMF分量中既包含了語音的高頻特征，又包含了噪聲成分，從而影響對語音信號的準(zhǔn)確分析。端點效應(yīng)：在EMD分解過程中，由于對信號的端點進行插值擬合包絡(luò)線時，缺乏足夠的端點信息，容易導(dǎo)致在信號的兩端出現(xiàn)失真現(xiàn)象，這就是端點效應(yīng)。端點效應(yīng)會使分解得到的IMF分量在端點附近出現(xiàn)較大的誤差，影響整個分解結(jié)果的準(zhǔn)確性。在處理較長的時間序列信號時，端點效應(yīng)可能會在整個信號中傳播，導(dǎo)致后續(xù)的分析結(jié)果出現(xiàn)偏差。為了減輕端點效應(yīng)的影響，可以采用一些改進的方法，如鏡像延拓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法等。鏡像延拓法是將信號的端點進行鏡像對稱擴展，增加端點處的信息，從而減少端點效應(yīng)的影響。三、基于EMD的離散數(shù)字曲線光順方法3.1簡單曲線的EMD光順方法3.1.1三次樣條曲線擬合在構(gòu)建離散數(shù)字曲線的初始模型時，三次樣條曲線擬合是一種常用且有效的方法。對于給定的一組離散點\{P_i(x_i,y_i)\}_{i=0}^{n-1}，三次樣條曲線旨在找到一條分段的三次多項式曲線，使其在每個數(shù)據(jù)點處都能準(zhǔn)確通過，并且在整個區(qū)間上具有良好的光滑性。具體而言，三次樣條曲線將整個曲線區(qū)間[x_0,x_{n-1}]劃分為n-1個子區(qū)間[x_i,x_{i+1}]，i=0,1,\cdots,n-2。在每個子區(qū)間[x_i,x_{i+1}]上，定義一個三次多項式S_i(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i，其中a_i、b_i、c_i和d_i為待確定的系數(shù)。為了確定這些系數(shù)，需要滿足以下條件：插值條件：在每個數(shù)據(jù)點x_i處，三次樣條曲線的值等于該點的縱坐標(biāo)y_i，即S_i(x_i)=y_i，S_{i+1}(x_i)=y_i，i=0,1,\cdots,n-2。這確保了曲線能夠準(zhǔn)確地通過所有給定的離散點，從而保留了原始數(shù)據(jù)的基本信息。對于給定的離散點(1,2)、(2,4)、(3,6)，三次樣條曲線在x=1處的值S_0(1)必須等于2，在x=2處，S_0(2)和S_1(2)都必須等于4，以此類推。連續(xù)性條件：在相鄰子區(qū)間的連接點x_i處，三次樣條曲線的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即S_i'(x_i)=S_{i+1}'(x_i)，S_i''(x_i)=S_{i+1}''(x_i)，i=0,1,\cdots,n-2。一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)保證了曲線在連接處的切線方向一致，使曲線看起來更加光滑，沒有明顯的折角；二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)則進一步保證了曲線的曲率連續(xù)，避免了在連接處出現(xiàn)曲率突變的情況，使曲線的彎曲更加自然。在構(gòu)建一個描述物體輪廓的曲線時，如果一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，物體輪廓在連接處會出現(xiàn)尖銳的角，影響視覺效果；如果二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，物體輪廓在連接處的彎曲程度會發(fā)生突然變化，不符合實際物體的光滑特性。邊界條件：為了使三次樣條曲線的解唯一，需要指定兩個邊界條件。常見的邊界條件有自然邊界條件、固定邊界條件和周期邊界條件等。自然邊界條件是指曲線在兩端點處的二階導(dǎo)數(shù)為零，即S_0''(x_0)=0，S_{n-1}''(x_{n-1})=0。這種邊界條件使得曲線在端點處的曲率為零，曲線在端點處更加平滑，適用于許多實際應(yīng)用場景，如在設(shè)計一個自由形狀的物體表面時，自然邊界條件可以使物體表面在邊界處更加光滑自然。固定邊界條件則是指定曲線在端點處的切線方向，即給定S_0'(x_0)和S_{n-1}'(x_{n-1})的值。當(dāng)已知曲線在端點處的運動方向或與其他曲線的連接關(guān)系時，固定邊界條件可以更好地滿足這些要求。周期邊界條件適用于具有周期性的曲線，要求曲線在端點處滿足周期性條件，即S_0(x_0)=S_{n-1}(x_{n-1})，S_0'(x_0)=S_{n-1}'(x_{n-1})，S_0''(x_0)=S_{n-1}''(x_{n-1})。在處理周期性的信號或物體輪廓時，周期邊界條件可以保證曲線在整個周期內(nèi)的連續(xù)性和光滑性。通過滿足上述條件，可以建立一個包含4(n-1)個方程的線性方程組，求解這個方程組即可得到所有子區(qū)間上三次多項式的系數(shù)a_i、b_i、c_i和d_i，從而確定三次樣條曲線。在實際計算中，通常使用數(shù)值方法，如追趕法（Splineinterpolation）來高效求解這個線性方程組。追趕法是一種基于三對角矩陣的求解方法，利用了線性方程組系數(shù)矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，大大提高了計算效率。通過三次樣條曲線擬合，能夠得到一條光滑的曲線，它不僅能夠準(zhǔn)確地擬合離散點，還具有良好的光滑性和連續(xù)性，為后續(xù)的光順處理提供了一個基礎(chǔ)模型。3.1.2基于EMD的算法設(shè)計與實現(xiàn)在得到通過三次樣條曲線擬合的初始曲線后，將經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）應(yīng)用于該曲線，以實現(xiàn)光順處理。基于EMD的離散數(shù)字曲線光順?biāo)惴ㄖ饕ㄒ韵虏襟E：步驟一：參數(shù)化與信號轉(zhuǎn)換將離散數(shù)字曲線進行一維參數(shù)化，把二維曲線信息轉(zhuǎn)換為一維信號。假設(shè)離散數(shù)字曲線由點列\(zhòng){P_i(x_i,y_i)\}_{i=0}^{n-1}組成，通過某種參數(shù)化方式，如均勻參數(shù)化（令參數(shù)t_i=i，i=0,1,\cdots,n-1），將曲線的坐標(biāo)信息轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)?？梢詷?gòu)建函數(shù)f(t)，當(dāng)t=t_i時，f(t_i)對應(yīng)點P_i的縱坐標(biāo)y_i（如果需要同時考慮橫坐標(biāo)信息，也可以分別構(gòu)建關(guān)于橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的函數(shù)）。這樣，離散數(shù)字曲線就被展開成了一個一維信號，以便后續(xù)進行EMD分解。步驟二：EMD分解對轉(zhuǎn)換后的一維信號f(t)進行EMD分解。如前文所述，EMD分解通過尋找信號的局部極值點，擬合上下包絡(luò)線，計算平均包絡(luò)線并不斷篩選，將信號逐步分解為一系列固有模態(tài)函數(shù)（IMF）\{IMF_j(t)\}_{j=1}^{m}和一個殘余項r_m(t)。在分解過程中，需要注意一些細(xì)節(jié)問題。在尋找極值點時，由于離散信號的特性，可能存在多個相鄰點具有相同值的情況，此時需要根據(jù)具體的判斷規(guī)則來確定極值點?？梢圆捎靡环N方法，當(dāng)遇到多個相鄰相等點時，選擇中間位置的點作為極值點的候選點，再結(jié)合其鄰域點的情況進行最終判斷。在擬合包絡(luò)線時，三次樣條插值是常用的方法，但對于離散數(shù)據(jù)，插值過程可能會出現(xiàn)一些波動，需要對插值結(jié)果進行適當(dāng)?shù)钠交幚怼？梢栽诓逯岛?，對包絡(luò)線進行一次低通濾波，去除可能存在的高頻噪聲，使包絡(luò)線更加光滑，更能準(zhǔn)確反映信號的局部變化趨勢。步驟三：IMF篩選與信號重構(gòu)分析分解得到的各個IMF分量的頻率特性。高頻的IMF分量通常包含了信號中的噪聲和細(xì)節(jié)信息，而低頻的IMF分量則更多地反映了信號的主要趨勢和輪廓。為了實現(xiàn)曲線光順，需要去除高頻的IMF分量。確定去除哪些IMF分量時，可以根據(jù)頻率分析結(jié)果，設(shè)定一個頻率閾值，將頻率高于該閾值的IMF分量去除。也可以通過觀察IMF分量的能量分布，去除能量較小且頻率較高的IMF分量。然后，利用剩余的IMF分量和殘余項進行信號重構(gòu)。重構(gòu)信號f_{smooth}(t)的公式為f_{smooth}(t)=\sum_{j\inselected}IMF_j(t)+r_m(t)，其中selected表示保留的IMF分量的索引集合。通過這樣的篩選和重構(gòu)過程，去除了曲線中的高頻噪聲和不必要的細(xì)節(jié)信息，實現(xiàn)了曲線的光順。步驟四：逆映射回二維曲線將重構(gòu)后的一維信號f_{smooth}(t)逆映射回二維空間，得到光順后的離散數(shù)字曲線。根據(jù)之前的參數(shù)化方式，將參數(shù)t對應(yīng)的f_{smooth}(t)值重新映射為二維坐標(biāo)。如果之前是均勻參數(shù)化，那么t=t_i時，f_{smooth}(t_i)對應(yīng)光順后曲線在該參數(shù)位置的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)可以根據(jù)原始離散點的橫坐標(biāo)信息或其他相關(guān)規(guī)則確定。這樣就完成了基于EMD的離散數(shù)字曲線光順過程，得到了更加光滑、連續(xù)的曲線。3.1.3試驗結(jié)果與分析為了驗證基于EMD的簡單曲線光順方法的有效性，進行了一系列實驗。實驗選取了不同類型的簡單離散數(shù)字曲線，包括具有噪聲干擾的曲線和包含局部波動的曲線。以一條模擬的帶有噪聲的離散數(shù)字曲線為例，原始曲線數(shù)據(jù)點通過在一條理想的光滑曲線上添加高斯噪聲生成。首先，使用三次樣條曲線擬合方法對原始離散點進行擬合，得到初始的三次樣條曲線。從圖[具體圖編號1]中可以看出，初始的三次樣條曲線雖然通過了所有離散點，但由于噪聲的影響，曲線存在明顯的波動，不夠光滑。然后，對初始三次樣條曲線進行基于EMD的光順處理。經(jīng)過EMD分解，得到了多個IMF分量和殘余項。通過分析IMF分量的頻率特性，去除了高頻的IMF分量，然后進行信號重構(gòu)。光順后的曲線如圖[具體圖編號2]所示，可以明顯看出，光順后的曲線有效地去除了噪聲引起的波動，變得更加光滑，同時較好地保留了曲線的整體形狀。為了更定量地評估光順效果，選擇平均絕對誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）作為評價指標(biāo)。MAE用于衡量光順前后曲線在縱坐標(biāo)上的平均絕對偏差，公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|y_{i,original}-y_{i,smooth}|，其中y_{i,original}是原始曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，y_{i,smooth}是光順后曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，n為數(shù)據(jù)點的數(shù)量。RMSE則更關(guān)注誤差的平方和的平均值的平方根，能更突出較大誤差的影響，公式為RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(y_{i,original}-y_{i,smooth})^2}。通過計算，得到光順前曲線的MAE值為[具體數(shù)值1]，RMSE值為[具體數(shù)值2]；光順后曲線的MAE值降低為[具體數(shù)值3]，RMSE值降低為[具體數(shù)值4]。這些數(shù)據(jù)表明，基于EMD的光順方法能夠顯著降低曲線的誤差，提高曲線的光滑度。從曲率變化的角度分析，使用離散曲率計算公式計算光順前后曲線的曲率。離散曲率的計算可以采用基于相鄰點坐標(biāo)的差分方法，如對于曲線點列P_i(x_i,y_i)、P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})、P_{i+2}(x_{i+2},y_{i+2})，可以通過公式k_i=\frac{2|(x_{i+1}-x_i)(y_{i+2}-y_{i+1})-(x_{i+2}-x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)|}{((x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2)^{\frac{3}{2}}}來近似計算第i個點的離散曲率。通過對比光順前后曲線的曲率變化，可以發(fā)現(xiàn)光順前曲線的曲率變化較為劇烈，存在許多局部的峰值和谷值，這反映了曲線的不光滑；而光順后曲線的曲率變化更加均勻，局部的曲率突變明顯減少，表明曲線的光滑性得到了顯著改善。3.2封閉曲線的EMD光順方法3.2.1算法設(shè)計與實現(xiàn)封閉曲線在幾何形狀上具有特殊性，其起點和終點重合，形成一個完整的環(huán)狀結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)特點使得在對封閉曲線進行光順處理時，需要特別考慮端點連接問題，以確保光順后的曲線在連接處保持良好的連續(xù)性和光滑性。針對封閉曲線的特點，基于EMD的光順?biāo)惴ㄔO(shè)計如下：步驟一：封閉曲線的預(yù)處理與參數(shù)化對于給定的封閉曲線，其離散點集表示為\{P_i(x_i,y_i)\}_{i=0}^{n-1}，且P_0=P_{n-1}。在進行光順處理之前，首先對封閉曲線進行預(yù)處理，以消除可能存在的噪聲和異常點?？梢圆捎煤唵蔚闹兄禐V波方法，對于曲線上的每個點，將其鄰域內(nèi)的點進行排序，取中間值作為該點的新坐標(biāo)。對于點P_i，其鄰域可以定義為P_{i-1}，P_i，P_{i+1}（當(dāng)i=0時，P_{i-1}為P_{n-1}；當(dāng)i=n-1時，P_{i+1}為P_0）。通過中值濾波，可以有效地去除孤立的噪聲點，提高曲線數(shù)據(jù)的質(zhì)量。接著，對預(yù)處理后的封閉曲線進行參數(shù)化處理。采用等弧長參數(shù)化方法，該方法能夠使參數(shù)分布更加均勻，更準(zhǔn)確地反映曲線的幾何特征。計算曲線上相鄰兩點之間的弧長，假設(shè)相鄰兩點P_i(x_i,y_i)和P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})，則它們之間的弧長l_i可以通過歐幾里得距離公式近似計算：l_i=\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2}。然后，依次累加弧長，得到從起點到每個點的累積弧長L_i=\sum_{j=0}^{i-1}l_j，i=1,2,\cdots,n-1，L_0=0。最后，將累積弧長歸一化，得到參數(shù)t_i=\frac{L_i}{L_{n-1}}，i=0,1,\cdots,n-1。通過等弧長參數(shù)化，將封閉曲線的二維坐標(biāo)信息轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)t的一維信號f(t)，為后續(xù)的EMD分解做準(zhǔn)備。步驟二：基于EMD的分解與篩選對參數(shù)化后的一維信號f(t)進行EMD分解。在分解過程中，針對封閉曲線的特點，對EMD算法進行適當(dāng)?shù)母倪M。在尋找極值點時，由于封閉曲線的周期性，需要特別處理邊界點?？梢詫⑶€的首尾點視為相鄰點，一起參與極值點的判斷。在擬合包絡(luò)線時，為了保證包絡(luò)線在首尾點處的連續(xù)性，可以采用周期樣條插值方法。周期樣條插值能夠保證插值曲線在周期邊界處的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，從而使得到的包絡(luò)線更加光滑，更符合封閉曲線的特征。經(jīng)過EMD分解，得到一系列的固有模態(tài)函數(shù)（IMF）\{IMF_j(t)\}_{j=1}^{m}和殘余項r_m(t)。分析IMF分量的頻率特性和能量分布。對于封閉曲線，高頻的IMF分量通常包含了噪聲、局部的微小波動以及一些與曲線整體形狀無關(guān)的細(xì)節(jié)信息。通過設(shè)定合適的篩選準(zhǔn)則，去除高頻的IMF分量?？梢愿鶕?jù)IMF分量的能量占比來確定篩選閾值，例如，設(shè)定一個能量閾值E_{threshold}，當(dāng)某個IMF分量的能量占總能量的比例小于E_{threshold}時，將其視為高頻噪聲和細(xì)節(jié)信息進行去除。也可以結(jié)合頻率分析，將頻率高于某個特定值的IMF分量去除。通過這樣的篩選過程，保留能夠反映封閉曲線主要形狀特征的IMF分量。步驟三：信號重構(gòu)與曲線恢復(fù)利用篩選后保留的IMF分量和殘余項進行信號重構(gòu)。重構(gòu)信號f_{smooth}(t)的公式為f_{smooth}(t)=\sum_{j\inselected}IMF_j(t)+r_m(t)，其中selected表示保留的IMF分量的索引集合。重構(gòu)后的信號f_{smooth}(t)已經(jīng)去除了高頻噪聲和不必要的細(xì)節(jié)信息，更加光滑，能夠準(zhǔn)確地反映封閉曲線的主要形狀。將重構(gòu)后的一維信號f_{smooth}(t)逆映射回二維空間，恢復(fù)得到光順后的封閉曲線。根據(jù)之前的等弧長參數(shù)化方法，將參數(shù)t對應(yīng)的f_{smooth}(t)值重新映射為二維坐標(biāo)。由于是封閉曲線，在逆映射過程中，需要確保首尾點的重合性?？梢酝ㄟ^調(diào)整參數(shù)范圍，使得逆映射后的首尾點坐標(biāo)誤差在允許的范圍內(nèi)。經(jīng)過逆映射，得到光順后的封閉曲線的離散點集\{P_{i,smooth}(x_{i,smooth},y_{i,smooth})\}_{i=0}^{n-1}，完成基于EMD的封閉曲線光順過程。3.2.2試驗結(jié)果與分析為了評估基于EMD的封閉曲線光順?biāo)惴ǖ男阅?，進行了一系列實驗。實驗選取了多種不同形狀的封閉曲線，包括圓形、橢圓形、不規(guī)則多邊形等，這些曲線均包含不同程度的噪聲和局部波動。以一個帶有噪聲的圓形封閉曲線為例，原始曲線如圖[具體圖編號3]所示。從圖中可以明顯看出，原始曲線由于噪聲的干擾，存在許多不光滑的地方，曲線的輪廓顯得較為粗糙。對該原始曲線應(yīng)用基于EMD的光順?biāo)惴ㄟM行處理。經(jīng)過EMD分解，得到多個IMF分量，通過分析IMF分量的頻率和能量特性，去除了高頻的IMF分量。然后進行信號重構(gòu)和逆映射，得到光順后的曲線如圖[具體圖編號4]所示?？梢钥吹?，光順后的曲線有效地去除了噪聲，變得更加光滑，曲線的圓形輪廓更加清晰，與理想的圓形更加接近。為了定量地分析光順效果，選擇平均絕對誤差（MAE）、均方根誤差（RMSE）和曲率變化作為評價指標(biāo)。對于MAE，計算公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|y_{i,original}-y_{i,smooth}|，其中y_{i,original}是原始曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，y_{i,smooth}是光順后曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，n為數(shù)據(jù)點的數(shù)量。RMSE的計算公式為RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(y_{i,original}-y_{i,smooth})^2}。曲率變化則通過計算光順前后曲線各點的曲率，并比較其變化情況來衡量。離散曲率的計算可以采用基于相鄰點坐標(biāo)的差分方法，如對于曲線點列P_i(x_i,y_i)、P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})、P_{i+2}(x_{i+2},y_{i+2})，可以通過公式k_i=\frac{2|(x_{i+1}-x_i)(y_{i+2}-y_{i+1})-(x_{i+2}-x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)|}{((x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2)^{\frac{3}{2}}}來近似計算第i個點的離散曲率。通過計算，得到原始曲線的MAE值為[具體數(shù)值5]，RMSE值為[具體數(shù)值6]；光順后曲線的MAE值降低為[具體數(shù)值7]，RMSE值降低為[具體數(shù)值8]。這表明基于EMD的光順?biāo)惴軌蝻@著降低曲線的誤差，提高曲線的光滑度。從曲率變化來看，原始曲線的曲率變化較為劇烈，存在許多局部的峰值和谷值，這反映了曲線的不光滑；而光順后曲線的曲率變化更加均勻，局部的曲率突變明顯減少，表明曲線的光滑性得到了顯著改善。在圓形封閉曲線的實驗中，原始曲線的曲率在噪聲的影響下，局部波動較大，最大值和最小值之間的差距較大；而光順后曲線的曲率更加穩(wěn)定，接近理想圓形的曲率值，變化范圍明顯減小。將基于EMD的光順?biāo)惴ㄅc傳統(tǒng)的光順?biāo)惴ㄟM行對比。傳統(tǒng)光順?biāo)惴ㄈ缁谝苿悠骄墓忭樂椒?，通過對曲線上的點進行鄰域平均來實現(xiàn)光順。在處理帶有噪聲的圓形封閉曲線時，基于移動平均的光順方法雖然能夠在一定程度上去除噪聲，但會導(dǎo)致曲線的形狀發(fā)生一定的變形，圓形的輪廓變得不夠準(zhǔn)確。而基于EMD的光順?biāo)惴ㄔ谌コ肼暤耐瑫r，能夠更好地保留曲線的形狀特征，使光順后的曲線更加接近原始曲線的真實形狀。在處理不規(guī)則多邊形封閉曲線時，傳統(tǒng)光順?biāo)惴赡軙苟噙呅蔚慕亲兊眠^于平滑，失去原有的形狀特點；而基于EMD的光順?biāo)惴軌蚋鶕?jù)曲線的局部特征進行自適應(yīng)處理，在保證曲線光滑的同時，最大程度地保留多邊形的角和邊的特征。3.3任意曲線的EMD光順方法3.3.1算法設(shè)計與實現(xiàn)任意曲線相較于簡單曲線和封閉曲線，具有更為復(fù)雜多樣的形態(tài)和特征，其可能包含多個曲率變化劇烈的區(qū)域、不同尺度的波動以及各種不規(guī)則的形狀。為了實現(xiàn)對任意曲線的有效光順，基于EMD的算法設(shè)計需要充分考慮這些復(fù)雜因素，以確保光順后的曲線既能去除噪聲和不必要的細(xì)節(jié)，又能最大程度地保留曲線的原始特征。具體算法步驟如下：步驟一：曲線特征分析與預(yù)處理在對任意曲線進行光順處理之前，首先需要對曲線的特征進行全面分析。通過計算曲線的曲率、切線等幾何量，確定曲線的關(guān)鍵特征點，如曲率極值點、拐點等。這些關(guān)鍵特征點能夠反映曲線的形狀變化趨勢和重要幾何特征。對于一條具有復(fù)雜形狀的機械零件輪廓曲線，曲率極值點可能對應(yīng)著零件的拐角或突出部分，而拐點則標(biāo)志著曲線彎曲方向的改變。通過準(zhǔn)確識別這些關(guān)鍵特征點，可以為后續(xù)的光順處理提供重要的參考依據(jù)。根據(jù)曲線的特征分析結(jié)果，對曲線進行預(yù)處理。對于曲線中存在的噪聲點和異常點，可以采用中值濾波、高斯濾波等方法進行去除。中值濾波通過將曲線上每個點的鄰域內(nèi)的點進行排序，取中間值作為該點的新值，能夠有效地去除孤立的噪聲點。對于曲線上的離群點，可以通過設(shè)定一定的閾值，將與周圍點偏差較大的點視為離群點并進行修正或刪除。對于一條含有噪聲的手寫數(shù)字曲線，中值濾波可以去除由于書寫抖動或掃描誤差產(chǎn)生的孤立噪聲點，使曲線更加平滑。在預(yù)處理過程中，還可以對曲線進行歸一化處理，將曲線的坐標(biāo)范圍映射到一個統(tǒng)一的區(qū)間，如[0,1]，以便于后續(xù)的計算和分析。步驟二：自適應(yīng)參數(shù)化與EMD分解針對任意曲線的復(fù)雜形狀，采用自適應(yīng)參數(shù)化方法。傳統(tǒng)的參數(shù)化方法，如均勻參數(shù)化，在處理復(fù)雜曲線時可能會導(dǎo)致參數(shù)分布不均勻，影響后續(xù)的分析和處理效果。自適應(yīng)參數(shù)化方法根據(jù)曲線的幾何特征，如弧長、曲率等，動態(tài)地調(diào)整參數(shù)的分布。對于曲率變化較大的區(qū)域，增加參數(shù)的密度，使參數(shù)能夠更準(zhǔn)確地反映曲線在該區(qū)域的形狀變化；對于曲率變化較小的區(qū)域，適當(dāng)減少參數(shù)的密度，以提高計算效率。在處理一條具有尖銳拐角的曲線時，在拐角附近增加參數(shù)的密度，能夠更精確地描述曲線在拐角處的形狀，而在曲線較為平滑的部分，減少參數(shù)密度，避免計算資源的浪費。對自適應(yīng)參數(shù)化后的曲線進行EMD分解。在分解過程中，為了提高分解的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，對EMD算法進行改進。在尋找極值點時，采用更精確的極值檢測算法，如基于局部二階導(dǎo)數(shù)的極值檢測方法。該方法通過計算曲線在每個點處的二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)為零且一階導(dǎo)數(shù)在該點兩側(cè)異號時，確定該點為極值點。這種方法能夠更準(zhǔn)確地識別曲線的極值點，尤其是在曲線形狀復(fù)雜、噪聲干擾較大的情況下。在擬合包絡(luò)線時，結(jié)合曲線的局部特征，采用自適應(yīng)的插值方法。對于曲線局部變化較為平緩的區(qū)域，采用簡單的線性插值即可滿足要求；而對于曲線局部變化劇烈的區(qū)域，采用更高階的樣條插值方法，如五次樣條插值，以確保包絡(luò)線能夠準(zhǔn)確地反映曲線的局部形狀。通過這些改進措施，能夠有效地減少EMD分解過程中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，提高分解結(jié)果的質(zhì)量。步驟三：多準(zhǔn)則IMF篩選與信號重構(gòu)分析分解得到的IMF分量，采用多準(zhǔn)則篩選策略。除了考慮IMF分量的頻率特性和能量分布外，還結(jié)合曲線的幾何特征和關(guān)鍵特征點進行篩選。對于頻率較高且能量較小的IMF分量，通常包含了曲線中的噪聲和細(xì)節(jié)信息，可以直接去除。對于一些雖然頻率較低但與曲線的關(guān)鍵特征點相關(guān)性不大的IMF分量，也可以根據(jù)實際情況進行篩選。對于一條描述物體輪廓的曲線，某些IMF分量雖然頻率較低，但它們對應(yīng)的波動與物體輪廓的關(guān)鍵特征無關(guān)，這些IMF分量可以被去除，以避免對曲線的主要特征造成干擾。利用篩選后保留的IMF分量和殘余項進行信號重構(gòu)。重構(gòu)信號的公式為f_{smooth}(t)=\sum_{j\inselected}IMF_j(t)+r_m(t)，其中selected表示保留的IMF分量的索引集合。在重構(gòu)過程中，為了保證重構(gòu)信號的連續(xù)性和光滑性，對IMF分量進行適當(dāng)?shù)募訖?quán)處理。根據(jù)IMF分量與曲線主要特征的相關(guān)性，為每個IMF分量分配不同的權(quán)重，相關(guān)性越強的IMF分量，權(quán)重越大；相關(guān)性越弱的IMF分量，權(quán)重越小。通過合理的加權(quán)處理，能夠使重構(gòu)信號更好地反映曲線的主要特征，同時保持良好的光滑性。步驟四：后處理與曲線優(yōu)化對重構(gòu)后的信號進行后處理，進一步優(yōu)化光順效果?？梢圆捎靡恍┤謨?yōu)化方法，如最小二乘法，對光順后的曲線進行微調(diào)，使其更加符合光順準(zhǔn)則。最小二乘法通過最小化光順后曲線與原始曲線在數(shù)據(jù)點處的誤差平方和，調(diào)整曲線的參數(shù)，使曲線在保持光滑的同時，盡可能地接近原始曲線。在調(diào)整過程中，需要注意避免過度擬合，保持曲線的平滑性和自然性?？梢酝ㄟ^設(shè)置合適的正則化參數(shù)，控制曲線的平滑程度，防止曲線出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。通過后處理和曲線優(yōu)化，得到最終光順后的任意曲線。3.3.2試驗結(jié)果及分析為了全面評估基于EMD的任意曲線光順?biāo)惴ǖ男阅?，進行了一系列豐富多樣的實驗。實驗選取了多種具有代表性的任意曲線，包括來自實際工程應(yīng)用的汽車外形輪廓曲線、航空發(fā)動機葉片輪廓曲線，以及人工合成的包含復(fù)雜形狀和噪聲的測試曲線。以汽車外形輪廓曲線為例，原始曲線如圖[具體圖編號5]所示。由于在汽車設(shè)計過程中，數(shù)據(jù)采集和處理可能引入噪聲和不光滑因素，原始曲線存在許多細(xì)微的波動和不連續(xù)點，影響了汽車外形的美觀和空氣動力學(xué)性能。對該原始曲線應(yīng)用基于EMD的光順?biāo)惴ㄟM行處理。經(jīng)過EMD分解，得到多個IMF分量，通過多準(zhǔn)則篩選策略，去除了包含噪聲和不必要細(xì)節(jié)的IMF分量。然后進行信號重構(gòu)和后處理，得到光順后的曲線如圖[具體圖編號6]所示。從圖中可以明顯看出，光順后的曲線有效地去除了原始曲線的噪聲和不光滑部分，曲線變得更加光滑流暢，同時準(zhǔn)確地保留了汽車外形的關(guān)鍵特征，如車身的曲率變化、輪廓的起伏等。為了定量地分析光順效果，選擇平均絕對誤差（MAE）、均方根誤差（RMSE）、曲率變化和形狀相似性指數(shù)（SSI）作為評價指標(biāo)。MAE用于衡量光順前后曲線在縱坐標(biāo)上的平均絕對偏差，計算公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|y_{i,original}-y_{i,smooth}|，其中y_{i,original}是原始曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，y_{i,smooth}是光順后曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，n為數(shù)據(jù)點的數(shù)量。RMSE則更關(guān)注誤差的平方和的平均值的平方根，能更突出較大誤差的影響，計算公式為RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(y_{i,original}-y_{i,smooth})^2}。曲率變化通過計算光順前后曲線各點的曲率，并比較其變化情況來衡量，離散曲率的計算可以采用基于相鄰點坐標(biāo)的差分方法。形狀相似性指數(shù)（SSI）用于評估光順后曲線與原始曲線在形狀上的相似程度，取值范圍在0到1之間，值越接近1表示形狀越相似。通過計算，得到原始曲線的MAE值為[具體數(shù)值9]，RMSE值為[具體數(shù)值10]；光順后曲線的MAE值降低為[具體數(shù)值11]，RMSE值降低為[具體數(shù)值12]。這表明基于EMD的光順?biāo)惴軌蝻@著降低曲線的誤差，提高曲線的光滑度。從曲率變化來看，原始曲線的曲率變化較為劇烈，存在許多局部的峰值和谷值，這反映了曲線的不光滑；而光順后曲線的曲率變化更加均勻，局部的曲率突變明顯減少，表明曲線的光滑性得到了顯著改善。在汽車外形輪廓曲線的實驗中，原始曲線的曲率在某些區(qū)域波動較大，導(dǎo)致車身表面看起來不平整；而光順后曲線的曲率更加穩(wěn)定，符合汽車外形設(shè)計對光滑性的要求。光順后曲線的形狀相似性指數(shù)（SSI）達到了[具體數(shù)值13]，說明光順后的曲線在去除噪聲和不光滑因素的同時，很好地保留了原始曲線的形狀特征，與原始曲線的形狀非常相似。將基于EMD的光順?biāo)惴ㄅc其他傳統(tǒng)光順?biāo)惴ㄟM行對比。傳統(tǒng)光順?biāo)惴ㄈ缁谝苿悠骄墓忭樂椒?、基于小波變換的光順方法等。在處理汽車外形輪廓曲線時，基于移動平均的光順方法雖然能夠在一定程度上去除噪聲，但會導(dǎo)致曲線的形狀發(fā)生一定的變形，車身的一些細(xì)節(jié)特征被模糊，如車身的棱線變得不清晰?；谛〔ㄗ儞Q的光順方法在去除噪聲方面有一定的效果，但由于小波基函數(shù)的選擇具有局限性，對于復(fù)雜形狀的曲線，可能無法準(zhǔn)確地保留曲線的特征，導(dǎo)致光順后的曲線與原始曲線的形狀差異較大。而基于EMD的光順?biāo)惴ㄔ谌コ肼暤耐瑫r，能夠更好地保留曲線的形狀特征，使光順后的曲線更加接近原始曲線的真實形狀，在各項評價指標(biāo)上都表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。在處理航空發(fā)動機葉片輪廓曲線時，傳統(tǒng)光順?biāo)惴赡軙谷~片的關(guān)鍵幾何特征發(fā)生改變，影響發(fā)動機的性能；而基于EMD的光順?biāo)惴軌驕?zhǔn)確地保留葉片的形狀特征，同時提高曲線的光滑度，為航空發(fā)動機的設(shè)計和制造提供了更可靠的支持。3.4數(shù)字曲線光順性能分析比較3.4.1與傳統(tǒng)光順方法對比為了全面評估基于EMD的離散數(shù)字曲線光順方法的性能，將其與傳統(tǒng)的光順方法進行對比分析是至關(guān)重要的。傳統(tǒng)光順方法中，移動平均法是一種較為簡單且常用的方法。它通過對曲線上每個點的鄰域內(nèi)的點進行平均計算，來平滑曲線。對于曲線上的點P_i，其鄰域可以定義為P_{i-k},P_{i-k+1},\cdots,P_{i+k}（k為鄰域半徑），將這些鄰域點的坐標(biāo)進行平均，得到新的點坐標(biāo)來替換P_i的坐標(biāo)。移動平均法的優(yōu)點是計算簡單、速度快，能夠在一定程度上去除曲線中的高頻噪聲。由于其簡單的平均計算方式，會導(dǎo)致曲線的細(xì)節(jié)信息丟失，使曲線的形狀發(fā)生一定程度的變形。在處理一條帶有尖銳拐角的曲線時，移動平均法可能會使拐角變得平滑，失去原有的形狀特征?；谛〔ㄗ儞Q的光順方法也是傳統(tǒng)方法中的一種重要類型。小波變換通過將曲線信號分解為不同頻率的小波系數(shù)，然后對高頻小波系數(shù)進行處理，去除噪聲和細(xì)節(jié)信息，再進行重構(gòu)得到光順后的曲線。小波變換具有多分辨率分析的能力，能夠在不同尺度上對信號進行分析和處理。它可以根據(jù)曲線的特點選擇合適的小波基函數(shù)，在一定程度上能夠保留曲線的重要特征。小波變換依賴于預(yù)先選定的小波基函數(shù)，不同的小波基函數(shù)對曲線信號的分解效果可能存在較大差異。如果選擇的小波基函數(shù)不合適，可能會導(dǎo)致曲線在光順過程中出現(xiàn)失真或特征丟失的情況。而且小波變換的計算相對復(fù)雜，計算效率較低。將基于EMD的光順方法與上述傳統(tǒng)方法進行對比實驗。實驗選取了多種不同類型的離散數(shù)字曲線，包括含有噪聲的曲線、具有復(fù)雜形狀的曲線等。在實驗中，通過對比光順前后曲線的視覺效果以及各項性能指標(biāo)，來評估不同方法的優(yōu)劣。對于含有噪聲的曲線，基于EMD的光順方法能夠有效地去除噪聲，同時較好地保留曲線的形狀特征。而移動平均法雖然能夠去除噪聲，但會使曲線變得過于平滑，丟失了一些細(xì)節(jié)信息，導(dǎo)致曲線的形狀與原始曲線有較大偏差?；谛〔ㄗ儞Q的光順方法在去除噪聲方面有一定效果，但由于小波基函數(shù)選擇的問題，可能會在曲線的某些部分出現(xiàn)過平滑或欠平滑的情況。在處理具有復(fù)雜形狀的曲線時，基于EMD的光順方法能夠根據(jù)曲線的局部特征進行自適應(yīng)處理，在保證曲線光滑的同時，最大程度地保留曲線的形狀。移動平均法和基于小波變換的光順方法在處理復(fù)雜形狀曲線時，往往難以兼顧曲線的光滑性和形狀保持性，容易出現(xiàn)形狀變形或局部不光滑的問題。3.4.2性能指標(biāo)選擇與評估為了準(zhǔn)確評估基于EMD的離散數(shù)字曲線光順方法的性能，選擇合適的性能指標(biāo)是關(guān)鍵。平均絕對誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）是常用的評估曲線誤差的指標(biāo)。MAE能夠反映光順后曲線與原始曲線在縱坐標(biāo)上的平均絕對偏差，其計算公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|y_{i,original}-y_{i,smooth}|，其中y_{i,original}是原始曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，y_{i,smooth}是光順后曲線在第i個點的縱坐標(biāo)，n為數(shù)據(jù)點的數(shù)量。RMSE則更關(guān)注誤差的平方和的平均值的平方根，能更突出較大誤差的影響，其計算公式為RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(y_{i,original}-y_{i,smooth})^2}。這兩個指標(biāo)的值越小，說明光順后曲線與原始曲線的偏差越小，光順效果越好。曲率變化也是評估光順效果的重要指標(biāo)。理想的光順曲線應(yīng)具有均勻、連續(xù)的曲率變化。通過計算光順前后曲線各點的曲率，并比較其變化情況，可以評估曲線的光滑性。離散曲率的計算可以采用基于相鄰點坐標(biāo)的差分方法，如對于曲線點列P_i(x_i,y_i)、P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})、P_{i+2}(x_{i+2},y_{i+2})，可以通過公式k_i=\frac{2|(x_{i+1}-x_i)(y_{i+2}-y_{i+1})-(x_{i+2}-x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)|}{((x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2)^{\frac{3}{2}}}來近似計算第i個點的離散曲率。如果光順后曲線的曲率變化更加均勻，局部的曲率突變明顯減少，說明曲線的光滑性得到了顯著改善。形狀相似性指數(shù)（SSI）用于評估光順后曲線與原始曲線在形狀上的相似程度。SSI的取值范圍在0到1之間，值越接近1表示形狀越相似。通過計算SSI，可以衡量光順過程中曲線形狀的保持程度。在處理具有特定形狀要求的曲線時，如汽車外形輪廓曲線、航空發(fā)動機葉片輪廓曲線等，形狀相似性指數(shù)能夠直觀地反映光順方法在保留曲線形狀特征方面的能力。通過對上述性能指標(biāo)的計算和分析，對基于EMD的離散數(shù)字曲線光順方法進行全面評估。在一系列實驗中，針對不同類型的曲線，計算光順前后曲線的MAE、RMSE、曲率變化和SSI等指標(biāo)。實驗結(jié)果表明，基于EMD的光順方法在降低MAE和RMSE方面表現(xiàn)出色，能夠有效地減少曲線的誤差，提高曲線的光滑度。在曲率變化方面，光順后曲線的曲率變化更加均勻，局部的曲率突變明顯減少，表明曲線的光滑性得到了顯著改善。在形狀相似性方面，基于EMD的光順方法能夠較好地保留曲線的形狀特征，SSI值較高，說明光順后的曲線與原始曲線的形狀非常相似。與傳統(tǒng)光順方法相比，基于EMD的光順方法在各項性能指標(biāo)上都具有明顯的優(yōu)勢，能夠更有效地實現(xiàn)離散數(shù)字曲線的光順處理。3.5邊界處理3.5.1邊界問題分析在基于EMD的離散數(shù)字曲線光順過程中，邊界問題是一個不可忽視的重要因素。端點效應(yīng)是邊界問題中最為突出的表現(xiàn)之一，它主要源于EMD分解過程中對信號端點的處理方式。在EMD分解時，需要通過對信號的局部極值點進行插值擬合來構(gòu)建上下包絡(luò)線，進而計算平均包絡(luò)線并提取固有模態(tài)函數(shù)（IMF）。在信號的端點處，由于缺乏足夠的鄰域信息，插值過程容易出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致包絡(luò)線在端點附近不能準(zhǔn)確地反映信號的真實趨勢。在處理一條離散數(shù)字曲線時，若采用三次樣條