五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題10空間向量與立體幾何考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)幾何體的表面積和體積（5年3考）2025年柱體體積的有關(guān)計(jì)算2022年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算2021年圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算1.線面關(guān)系的證明是基礎(chǔ)必考題。2.空間角的求解在近5年保持高頻考查態(tài)勢(shì)。其中二面角是絕對(duì)核心，幾乎每年必考，其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。3.空間幾何體的體積計(jì)算是重點(diǎn)考查內(nèi)容，5年內(nèi)頻繁出現(xiàn)，涉及棱柱、棱錐、球等各種類型的幾何體，且常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。與球有關(guān)的切、接問題也是重要考點(diǎn)，多以正方體、正四棱錐等為背景，考查考生對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解和空間想象能力。此外，空間幾何體的表面積計(jì)算及其他量的計(jì)算也時(shí)有出現(xiàn)。4.從全國(guó)及上海高考數(shù)學(xué)的整體趨勢(shì)來(lái)看，立體幾何部分可能會(huì)出現(xiàn)新定義問題。點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（5年5考）2025年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行、面面平行證明線面平行2024年求線面角、求旋轉(zhuǎn)體的體積2023年證明線面平行、求二面角、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行2022年異面直線的判定；線面角的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算2021年錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法空間幾何體的結(jié)構(gòu)（5年1考）2023年棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類空間向量（5年1考）2024年空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)01幾何體的表面積和體積1．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．

2．（2022·上海·高考真題）已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為.3．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則其側(cè)面積為.考點(diǎn)02點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系4．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段都不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)5．（2021·上海·高考真題）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若△為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45°，求與所成角的大小.6．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.7．（2023·上?！じ呖颊骖}）在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.8．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．考點(diǎn)03空間幾何體的結(jié)構(gòu)10．（2023·上?！じ呖颊骖}）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．考點(diǎn)04空間向量11．（2024·上?！じ呖颊骖}）定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2025·上海奉賢·二模）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，以下命題正確的是（

）A．B．、、三點(diǎn)共線C．與是異面直線D．2．（2025·上海黃浦·二模）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，若、、組成空間向量的一個(gè)基底，則可以是（

）

A． B． C． D．3．（2025·上海閔行·二模）設(shè)為正整數(shù)，空間中個(gè)單位向量構(gòu)成集合，若存在實(shí)數(shù)，滿足對(duì)任意，都有，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）．A． B． C． D．二、填空題4．（2025·上海徐匯·二模）在空間直角坐標(biāo)系中，向量若，則.5．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）不與共面，并且四點(diǎn)在一個(gè)平面上，（），則的最小值為．6．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于.

7．（2025·上海徐匯·二模）已知平面，是直角三角形，且，，則點(diǎn)P到直線BC的距離是.8．（2025·上海普陀·二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿足，則三棱錐體積的最大值為.9．（2025·上海浦東新·二模）已知為空間中三個(gè)單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為．（用反三角表示）10．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）已知在底面半徑為1且高為10的圓柱體的表面上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)、、，則的最小值為.三、解答題11．（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，，，(1)若O是棱的中點(diǎn)，證明：平面，并求三棱錐的體積；(2)求二面角的大?。?2．（2025·上海浦東新·二模）如圖，四邊形為長(zhǎng)方形，平面，，．(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：∥平面；(2)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．13．（2025·上海普陀·二模）如圖，在三棱柱中，，且.

(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.14．（2025·上海金山·二模）如圖，在四棱錐中，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.15．（2025·上海浦東新·三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.16．（2025·上海浦東新·三模）如圖，已知一個(gè)由半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面與半圓柱的下底面共面，且．為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（與，不重合）(1)證明：平面平面；(2)若四邊形為正方形，且，，求二面角的余弦值．17．（2025·上?！と＃┤鐖D，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，，是底面半徑，，為劣弧的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若圓錐底面半徑為1，高為2，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（2025·上海黃浦·三模）如圖，在四面體中，為棱上一點(diǎn)，，，，且，，二面角的大小為.

(1)證明：平面；(2)求的長(zhǎng).19．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖所示，圓錐的底面半徑為4，高為4，線段為圓錐底面的直徑，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，證明:平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求與平面所成角的正弦值.專題10空間向量與立體幾何考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)幾何體的表面積和體積（5年3考）2025年柱體體積的有關(guān)計(jì)算2022年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算2021年圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算1.線面關(guān)系的證明是基礎(chǔ)必考題。2.空間角的求解在近5年保持高頻考查態(tài)勢(shì)。其中二面角是絕對(duì)核心，幾乎每年必考，其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。3.空間幾何體的體積計(jì)算是重點(diǎn)考查內(nèi)容，5年內(nèi)頻繁出現(xiàn)，涉及棱柱、棱錐、球等各種類型的幾何體，且常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。與球有關(guān)的切、接問題也是重要考點(diǎn)，多以正方體、正四棱錐等為背景，考查考生對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解和空間想象能力。此外，空間幾何體的表面積計(jì)算及其他量的計(jì)算也時(shí)有出現(xiàn)。4.從全國(guó)及上海高考數(shù)學(xué)的整體趨勢(shì)來(lái)看，立體幾何部分可能會(huì)出現(xiàn)新定義問題。點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（5年5考）2025年圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行、面面平行證明線面平行2024年求線面角、求旋轉(zhuǎn)體的體積2023年證明線面平行、求二面角、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面平行2022年異面直線的判定；線面角的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算2021年錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法空間幾何體的結(jié)構(gòu)（5年1考）2023年棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類空間向量（5年1考）2024年空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)01幾何體的表面積和體積1．（2025·上海·高考真題）如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．

2．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為.3．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則其側(cè)面積為.考點(diǎn)02點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系4．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段都不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)5．（2021·上?！じ呖颊骖}）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若△為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45°，求與所成角的大小.6．（2022·上海·高考真題）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.7．（2023·上?！じ呖颊骖}）在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.8．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．考點(diǎn)03空間幾何體的結(jié)構(gòu)10．（2023·上?！じ呖颊骖}）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．考點(diǎn)04空間向量11．（2024·上?！じ呖颊骖}）定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2025·上海奉賢·二模）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，以下命題正確的是（

）A．B．、、三點(diǎn)共線C．與是異面直線D．2．（2025·上海黃浦·二模）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，若、、組成空間向量的一個(gè)基底，則可以是（

）

A． B． C． D．3．（2025·上海閔行·二模）設(shè)為正整數(shù)，空間中個(gè)單位向量構(gòu)成集合，若存在實(shí)數(shù)，滿足對(duì)任意，都有，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）．A． B． C． D．二、填空題4．（2025·上海徐匯·二模）在空間直角坐標(biāo)系中，向量若，則.5．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）不與共面，并且四點(diǎn)在一個(gè)平面上，（），則的最小值為．6．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于.

7．（2025·上海徐匯·二模）已知平面，是直角三角形，且，，則點(diǎn)P到直線BC的距離是.8．（2025·上海普陀·二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿足，則三棱錐體積的最大值為.9．（2025·上海浦東新·二模）已知為空間中三個(gè)單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為．（用反三角表示）10．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）已知在底面半徑為1且高為10的圓柱體的表面上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)、、，則的最小值為.三、解答題11．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，，，(1)若O是棱的中點(diǎn)，證明：平面，并求三棱錐的體積；(2)求二面角的大?。?2．（2025·上海浦東新·二模）如圖，四邊形為長(zhǎng)方形，平面，，．(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：∥平面；(2)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．13．（2025·上海普陀·二模）如圖，在三棱柱中，，且.

(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.14．（2025·上海金山·二模）如圖，在四棱錐中，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.15．（2025·上海浦東新·三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.16．（2025·上海浦東新·三模）如圖，已知一個(gè)由半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面與半圓柱的下底面共面，且．為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（與，不重合）(1)證明：平面平面；(2