2024年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊18.21矩形精品同

步練習(xí)（學(xué)生版）

一、基礎(chǔ)闖關(guān)全練

知識點一矩形的定義

1.四邊形/8G）的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）.

A.AB=CDB.AD=BCc.AB=BCo.AC=BD

知識點二矩形的性質(zhì)

2.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分

3.如圖，在矩形;13C7）中，對角線AC，*9交于點0，若0/1=2，則以9的長為（）

A.4B.3c,2D.1

4.在矩形＜8。。中，對角線40、80交于點0,/1B=1，乙408=60°，則用9=

知識點三直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

5.如圖，在△/WC中，AB=AC^ADJ.BC，垂足為。，七'是/1C的中點，若0E=5，則43

的長為.

、.知識點四矩形的判定方法

6.在數(shù)學(xué)活動課上，老師要同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形.下面是某合作學(xué)習(xí)小

組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）.

A.測量對角線是否互相平分B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量一組對角是否

都為直角D.測量其中三個角是否都為直角

7.如圖，已知四邊形48。）是平行四邊形，下列結(jié)論中不一定正確的是（）.

A.AB=CDB.AC=BDc.當(dāng)"IBC=90°時，它是矩形D/C與3?；ハ嗥?/p>

分

二、能力提升全練

8.如圖，將矩形力也。沿對角線8。折疊，點。落在點七'處，8七交/W于點/；，已知

乙BDC=62°，則匕的度數(shù)為（）.

A.31°B,28°c,62°D,56°

9.如圖，在矩形48。/）中，按以下步驟作圖：①分別以點4和。為圓心，以大于的長為

半徑作弧，兩弧相交于點M和N：②作直線MN交CD于點心若DE=2,CE=3，則知形

的對角線4C的長為.

10.如圖，在矩形/13C7）中，=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足

SAPAR=為矩形4BCD'則點'到小8兩點的距離之和P/1+08的最小值為

三、三年模擬全練

二）一、選擇題

11.八年級（3）班同學(xué)要在廣場上布置一個矩形的花壇，計劃用紅花擺成兩條對角線.如

果一條對角線用了49盆紅花，還需要從花房運來紅花（）.

A.48盆B.49盆C.50盆D.51盆

12.如圖，已知矩形43CD中，4c與相交于0,DE平分"DC交BC^E，Z.BDE=15S

則乙C'OE的度數(shù)為（）.

A.75。B,85。C,90。D.65。

13.如果平行四邊形的四個內(nèi)角的平分線能夠圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是

().

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

14.如圖，在△48。中，LC=90°?/1。=6，8。=8，點〃為斜邊48上一動點，過點P作

PELAC于點E，PF工BC于點F，連接//；，則線段以'的最小值為()?

A.1.2B,2.4C,2.5D,4.8

二二、填空題

15.如圖,在四邊形ABC。中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊ABBC，CD，的中點.請你添加

一個條件，使四邊形E/G”為矩形，可添加的條件是.

16.如圖,在中，Zi4cB=90。，點。，E，F(xiàn)分別為43,A&BC的中點?若

CD=5?則￡/的長為.

。三、解答題

17.如圖18—2—1一13，在△/1BC中，D是邊BC上的一點，￡'是/!〃的中點，過4點作8c的

平行線交CE的延長線于點/；，且4;=86連接川九

(1)求證：BD=CD-

(2)如果48=/1。，試判斷四邊形4F8C的形狀，并證明你的結(jié)論.

四.五年中考全練

二)一、選擇題

18.已知平行四邊形48CD,下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是().

A/A=LBB.4A=/CC.AC=BDD,AB1BC

。二、填空題

19.如圖，Rta/IBC中，z/!CZ?=90°,43=6,。是力?的中點，則

CD=.

20.如圖，矩形/13C'。的對角線4c與8D相交點0，/。=10，P、Q分別為40、40的中點,

則PQ的長度為.

B

21.如圖，在平行四邊形力/兄。中，添加一個條件，使平行四邊形小北。是矩

22.如圖，將矩形/BCD折疊，折痕為￡/，8C'的對應(yīng)邊B'C'與C刀交于點M，若

)MD=50。，則NW的度數(shù)為.

0三、解答題

23.如圖，平行四邊形713c。，對角線4C與80相交于點￡，點G為/。的中點，連接CG，CG

的延長線交/M的延長線于點”,連接

(I)求證：AB=AF.

(2)若4G=4叢LBC1)=120°,判斷四邊形力G才的形狀，并證明你的結(jié)論.

五.核心素養(yǎng)全練

24.閱讀以下短文，然后解決下列問題：

如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊

所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖①所

示，矩形/見而即為△川北的“友好矩形”，顯然，當(dāng)△/加；是鈍角三角形時，其“友好

矩形”只有一個.

圖①

(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”.

(2)如圖②，若△ADC為直角三角形，且乙，=90。，在圖②中畫出△4〃。的所有“友好矩

形”，并比較這些矩形面積的大小.

(3)若△/13C是銳角三角形，且8。>/1C>/18，在圖③中畫出△/13C的所有“友好矩

形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.

圖③

25.長與寬之比為V2：l的地形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙，請思考并解答下列問題：

(1)將一張標(biāo)準(zhǔn)紙43(。(/18<3。)對開，如圖①所示，所得的矩形紙片43EF是標(biāo)準(zhǔn)

紙，請給予證明.

（2）在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片713c。（/18<BC）進行如下操作:

第一步：沿過｛點的直線折疊，使8點落在4D邊上的點P處，折痕為力〃（如圖②甲）.

第二步：沿過。點的直線折疊，使C點落在710邊上的點N處，折痕為DG（如圖②乙），此

時E點恰好落在力〃邊上的點M處.

第三步：沿直線折疊（如圖②丙），此時點G恰好與N點重合.

請你探究：矩形紙片/BCD是不是標(biāo)準(zhǔn)紙，請說明理由.

（3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖③所示的方式一次又一次對開后，所得的矩形紙片都

是標(biāo)準(zhǔn)紙，現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙48。。，48=1，=隹，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周

長是多少，探索并直接寫出第2018次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.

I

興

第三次對開

2024年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊18.2.1矩形精品同

步練習(xí)（教師版）

一、基礎(chǔ)闖關(guān)全練

知識點一矩形的定義

1.四邊形山北。的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是（）.

A.AB=CDB.AD=BCc.AB=BCD.AC=BD

【答案】D

【解析】添加AC=BD,

???四邊形力BCD的對角線互相平分，

???四邊形力3。。是平行四邊形，

?;AC=BD,根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，

，四邊形是矩形，

故選：D.

,知識點二矩形的性質(zhì)

2.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分

【答案】C

【解析】矩形的對角線相等，而平行四邊形的對角線不一定相等.

故選C.

3.如圖，在矩形4/"/）中，對角線4C，8。交于點。，若"4=2，則80的長為（）.

AJ

區(qū)

BC

A.4D.3c.2D,1

【答案】A

【解析】???四邊形ABC'。是矩形，

.\OC=OA,BD=AC,

又???0A=2,???力。=0/1+0C=20A=4,

：,BD=AC=4.

故選A.

4.在矩形力比。中，對角線“、BD交于點、0,/1B=1，々108=60°，則/W=

【答案】V3

【解析】在矩形/次⑦中，

04=08,4BAD=90°,43=1,

...4力。8=60°,

???為等邊三角形，

JZ-ADB=90°-Z-A0B=30°,

,\/W=2/l/?=2,

：.AD=帆）2--爐=促一仔=祗

故答案為：y/3.

知識點三直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

5.如圖，在△/WC中，AB=AC^AD工BC，垂足為0,芥是/1C的中點，若OE=5，則43

的長為.

BD

【答案】10

【解析】-：AB=ACt

:.△48。為等腰三角形，

?：AD1BC,

工點。是8。的中點，

???￡'是/。的中點，

:?DE走△/1BC的中位線，

.??48=2〃?=10.

故答案為：10.

，知識點四矩形的判定方法

6.在數(shù)學(xué)活動課上，老師要同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形.下面是某合作學(xué)習(xí)小

組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）.

A.測量對角線是否互相平分B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量一組對角是否

都為直角D.測量其中三個角是否都為宜角

【答案】D

【解析】知形的判定定理有①有三個角是直角的四邊形是矩形，②對角線互相平分且相等

的四邊形是矩形，③有一個角是直角的平行四邊形是矩形，

A.R選項能判斷平行四邊形，但不能判斷矩形，

C選項不能判斷矩形.

故選D.

7.如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不一定正確的是（）.

A.AB=CDB.AC=BDC.當(dāng)4/18。=90°時，它是矩形D/C與BO互相平

分

【答案】B

【解析】因為四邊形力BC力是平行四邊形，所以AB=CD,/1C與3D互相平分，當(dāng)

，WC=90°時，它是矩形，歷以選項A、C、D中結(jié)論正確，故選B.

二、能力提升全練

8.如圖，將矩形力以力沿對角線80折疊，點。落在點七'處，8七交4〃于點“，己知

乙BDC=62°，則/小吐'的度數(shù)為（）.

A.31°B,28°c,62°D,56°

【答案】D

【解析】???四邊形力BCD為矩形，

:.AD"BC,/.ADC=90°,

"FDB=90°-z/?DC=90°-62°=28°,

-AD//BC,

，乙CBD=^FDB=28°,

???矩形ABCD沿對角線8。折疊，

：.￡FBD=LCBD=28°,

.\Z-DFE=Z-FBD+乙FDB=28°+28°=56°.

故選：D.

9.如圖，在矩形//?。。中，按以下步驟作圖：①分別以點4和。為圓心，以大于的長為

半徑作弧，兩弧相交于點M和N：②作直線MN交C/）廣點樸若?！?2，CE=則矩形

的對角線/C的長為.

w

N

【答案】煙

M

D

B

N

【解析】連接力〃，如圖,

由作法得MN垂直平分4C,

:.EA=EC=3,

在Rt△/!￡）￡中，AD=、2-22=4,

在RtZk/lDC'中，AC=V（V5）2+52=y/30.

故答案為畫.

10.如圖，在矩形/13C7）中，=4，AD=3?矩形內(nèi)部有一動點P滿足

SZ\P4B=$矩形48C。'則點，到"、8兩點的距離之和P/l+PB的最小值為

【答案】4g

【解析】設(shè)△48P中48邊上的高是九，

，：S&PAB=]S矩形｛BCD,

1,1

：,^Bh=^AB-CDt

2

??.九=//）=2,

???動點〃在與48平行且與AB距離是2的直線1上，如圖，作力關(guān)于直線2的對稱點3連接

AE,連接

則/拉的長就是所求的最短距離，在Rt△/1/"'中,

-AB=4,/l￡=2+2=4,

??.BE=+AE2="2+42=4也，

印24+P8的最小值為小p.

故答案為：4但.

三.三年模擬全練

二1一、選擇題

11.八年級（3）班同學(xué)要在廣場上布置一個矩形的花壇.計劃用紅花擺成兩條對角線.如

果一條對角線用了49盆紅花，還需要從花房運來紅花（）.

A.48盆B.49盆C.50盆D..51盆

【答案】A

【解析】???矩形的對角線互相平分且相等，

???一條對角線用了49盆紅花，中間一盆為對角線交點，49-1=48,

,還需要從花房運來紅花48盆.

故選:A.

12.如圖，已知矩形48CD中，力C與8D相交于。，以平分〃DC交8c于自43/九=15。，

則ZZ'OE的度數(shù)為（）.

兇

BEC

A.75。B.85。C.91D°D,65。

【答案】A

【解析】由題意知乙CDE==45。,又乙8/1E=15。，所以乙?！?。=60。，由矩形的

特征“對角線相等且互相平分”可知。。=。,故△。。。是等邊三角形，從而有

0C=01)=CD=CEfZ.DCO=60°,LOCB=30°,進而求得々COE==75，.

故選A.

13.如果平行四邊形的四個內(nèi)角的平分線能夠圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是

().

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】B

【解析】???平行四邊形對角相等，鄰角互補，

???相鄰兩個角的平分線組成的角是直角.

，這個四邊形一定是矩形.

14.如圖，在△/18C中，zC=90。，AC=6>8。=8，點P為斜邊AB上一動點，過點P作

PEtAC于點E，PF工BC于點2連接ER則線段以；的最小值為().

A.1.2B,2.4C.2.5D,4.8

【答案】D

【解析】連接PC,

-PE1.CA,PF1BCf

...乙PEC=dFC="=90°,

???四邊形ECT'P是矩形，

：.EF=PC,

???當(dāng)PC最小時EF也最小,

又;當(dāng)CP148時,PC最小,

且力C=6,BC=8,

，由勾股定理得48=10.

因此由等面積法,

ACBC6x8

故選D.

;二，二、填空題

15.如圖，在四邊形｛BCD中，E，F(xiàn)，G，〃分別是邊48，BC，CD，D4的中點.請你添加

一個條件，使四邊形七/G”為矩形，可添加的條件是.

【答案】EF1/；G（答案不唯一）

【解析】連接4C,

:E,F分別是邊力B,BC的中點,

:?EF“A3EF="，

同理，HG//AC，HG=%0

:?EF“HG,EF=HG,

，四邊形〃是平行四邊■形，

要使四邊彩EFC〃是知彩，則需有一個角為直角，如EF1FG.

答案不唯一.

16.如圖，在山△/1比?中，乙億3=90°，點。，E，尸分別為43,AC，的中點.若

CD=5?則￡/的長為.

【答案】5

【解析】。是直角三角形，是斜邊的中線,

又?.?E1是△4BC的中位線,

.?.力3=2C1)=2x5=10,

??.E7；=；x10=5.

。三、解答題

17.如圖18—2—1一13，在△48C中，/)是邊8c上的一點，E是4D的中點，過4點作8C的

平行線交CZ'的延長線于點人且力/,'=/*)，連接

(1)求證：BD=CD；

(2)如果48=/1。，試判崎四邊形/1F8D的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析.

(2)四邊形4F3D為矩形.證明見解析.

【解析】(1)由題意知"7/BO,

：.Z-AFE=Z-ECD,

?.?/為4D的中點，

,\AE=DE,義乙AEF=（DEC,

.?.△/!f'與△OEC全等（AAS）,

：.AF=CD,又/IF=3。，

：,BD=CD.

（2）???/13=AC,由（1）知BD=CD,

：,ADLBC（三線合一），即4力。3=90。，

義VAF"BD,AF=BD,

???四邊形力”8D為平行四邊形，

???四邊形/1FBD是矩形.

四.五年中考全練

二尸、選擇題

18.已知平行四邊形48CD,下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）.

A/A=LBB.4A=/Cc.AC=BDD,AB1BC

【答案】B

【解析】A、4力=48,±71+48=180°,所以=/8=90°,可以判定這個平行四邊

形為矩形，正確.

B、4/=乙。不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤.

C、AC=BD,對角線相等，可推出平行四邊形/18C7）是矩形，故正確.

D、AB1Z?C,所以=90°,可以判定這個平行四邊形為矩形，正確.

■二、填空題

19.如圖，々△/13C中，々1CB=9O°,AB=6,Z）是的中點，則

CD=_____

【答案】3

【解析】依題意可知CD是直角三角形力8C斜邊上的中線,

由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD=；AR=3.

20.如圖,矩形力BCD的對角線4c與BD相交點0,/1C=1O，P、Q分別為40、4。的中點,

則PQ的長度為.

【答案】2.5

【解析】???四邊形力BCD是矩形,

.\AC=I3D=10,B()=D()=；RD,

??.0/1=池=5,

?.?點P、Q是/。，71。的中點,

.?.PQ是△/10D的中位線,

：.PQ=^D0=2.5.

21.如圖，在平行四邊形"⑺中，添加一個條件，使平行四邊形川北。是矩

形.

【答案】AC=BD（或四邊形/BCD任意一個內(nèi)角為90°）

【解析】若使平行四邊形/3C7）變?yōu)榫匦?，可添加的條件是：

AC=BD；（對角線相等的平行四邊形是矩形），/-ABC=90°<（有一個角是直角的平行

四邊形是矩形），

故答案為：任意寫出一個正確答案即可，如：/1C=3DAZ/18C'=9O0.

故答案為：=*9或4480=90°.

22.如圖，將矩形/BCD折疊，折痕為￡/，8。的對應(yīng)邊B,C'與。〃交于點M，若

Z.BMD=50°，則48以'的度數(shù)為?

【答案】70°

【解析】vzC=zC=90°,Z-DMli=Z.CMF=50°,

???“'FM=40。，

設(shè)=則4EFC=180。-a,WFE=Z-BEF=c,zCFE=40°+a,

由折合可得，乙EFC=Z.EFC,

1.1800-a=40°+a,

解得：a=70°,

:/BEF=7U\

故答案為：70°.

三、解答題

23.如圖，平行四邊形/WC。，對角線AC與30相交于點￡，點G為/10的中點，連接CG，CG

的延長線交從4的延長線于點“，連接FD

(I)求證:AB=AF.

（2）若4G=48,Z?CD=120°,判斷四邊形4。。尸的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）證明見解析.

（2）四邊形力。/?'是能形.

【解析】（1廠??四邊形力8CD是平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD,

工乙AFG=￡DCG,

?：GA=GD,Z-AGF=/-DGC,

.??△4G&ZiOGC(AAS),

.W=CD,

：,AB=AF,

(2)結(jié)論：四邊形AC。?是矩形.

3里由：\'AF=CDtAF//CD,

四邊形力CDF是平行四邊形，

???四邊形/3CD是平行四邊形，

,\Z-BAD=z.BCD=120°,

"FAG=60°.

?：AB=AG=AFf

???△/!/訪是等邊三角形，

：.AG=GF,

?:△AGF^△DGC,

：.FG=CG,

?：AG=GD,

：,AD=CF,

???四邊形力C'/力；是矩形.

五.核心素養(yǎng)全練

24.閱讀以下短文，然后解決下列問題：

如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊

所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖①所

示，矩形以'即為△48C的“友好矩形”，顯然，當(dāng)△48。是鈍角三角形時，其“友好

矩形”只有一個.

圖①

(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”.

(2)如圖②，若△/小；為直角三角形，且乙，=90。，在圖②中畫出△4〃。的所有“友好矩

形”，并比較這些矩形面積的大小.

(3)若△/13C是銳角三角形，且8。>/1C>/18，在圖③中畫出△/13C的所有“友好矩

形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.

圖③

【答案】(1)理由見解析.

(2)共有2個友好矩形，矩形8CF小ABEF,

矩形4BEF的面積都等于面積的2倍,

△ABC的“友好矩形”的面積相等?

⑶矩形ABHK的周長最小,證明見解析.

【解析】(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一

邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三

角形的“友好平行四邊形”.

(2)此時共有2個友好矩形，如圖的矩形ABEF,

易知，矩形8cA/)、的面積都等于面積的2倍，

△48。的“友好矩形”的面積相等?

(3)此時共有3個“友好矩形”，

如圖的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形力BHK,

其中的矩形的周長最小.

易知，這三個矩形的面積相等，令其為S,

設(shè)矩形BCDE、&4FG及4BHK的周長分別為K、歷、公,

△48C的邊長8C=Q,CA=b,AB=c,

2S2S2S

則：Li="7+2a,上=7+2b,L3=y+2c,

.../“一歷=仔+2。)一信+2。=2(a-b)黑，

而Q/）>S,a>bf