202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之復(fù)數(shù)（一）

一,選擇題（共13小題）

1.（2025?新高考I）（1+5力，的虛部為（）

A.?1B.0C.1D.6

2.（2025?新高考H）己知z=l+i,則二一=（

）

z-1

A.-/B.iC.-1D.1

3.（2025?北京）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2=2i,則|z|=（）

A.V2B.2&C.4D.8

4.（2024?新高考I）若3=1+3則2=（）

z-1

A.-\-iB.-1+/C.1-iD.\+i

5.（2024?甲卷）設(shè)z=5+i,則，.（5+z）=（）

A.10/B.2/C.10D.-2

6.（2024?新高考H）已知z=-1-i,則|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

7.（2024?甲卷）設(shè)z=&i,則z?5=（）

A.-iB.1C.-1D.2

3+4i

8.（2024?全國(guó)）計(jì)算——：=（）

l-2l

A.1-2/B.1+2/C.-1-2zD.-1+2/

（?北京）若復(fù)數(shù)滿足“=一一則

9.2024z1i,2=（）

1

A.-1-zB.-1+zC.1-iD.1+/

10.（2023?新高考H）在復(fù)平面內(nèi)，（1+3儲(chǔ)（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.（2023?新高考I）已知z二號(hào)，則z-5=（）

A.-iB./C.0D.1

12.（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,國(guó)），則z的共輒復(fù)數(shù)5=（）

A.1+V3/B.1一\囪C.-D.-\—y/3i

5（1+13）

13.⑵23.甲卷%；）屋=（）

A.-1B.1C.1-/D.1+i

二.多選題（共1小題）

（多選）14.（2024?臺(tái)灣）設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，且設(shè)a=|z|、0為z的輻角，其中0W0V2n（其中n為圓周

率）.對(duì)任一正整數(shù)〃，設(shè)實(shí)數(shù)我與），〃分別為/的實(shí)部與虛部.試選出正確選項(xiàng)（）

A.若a=l且。=等則刈）=刈

B.若）3=0,則>6=0

C.若X3=l，則X6=l

D.若數(shù)列｛沖｝收斂，則aSl

E.若數(shù)列｛助｝收斂，則數(shù)列｛沙｝也收斂

三,填空題（共6小題）

3+i

15.（2025?天津）已知i是虛數(shù)單位，則|〒尸.

16.（2025?上海）己知復(fù)數(shù)z滿足z2=（z）2,|z|Wl,則|z-2-3i|的最小值是.

17.（2025?上海）已知復(fù)數(shù)2=，±其中i為虛數(shù)單位，則|z尸.

18.（2024?上海）已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+2=m（mWR），則實(shí)數(shù)用為.

19.（2024?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（述+i）?（6一2。=.

20.（2024?上海）已知二=3則2=.

l+i

202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之復(fù)數(shù)（一）

參考答案與試題解析

一,選擇題（共13小題）

題號(hào)12345678910M

答案CABCACDDCAA

題號(hào)1213

答案DC

二,多選題（共1小題）

題號(hào)14

答案RDF

一,選擇題（共13小題）

1.（2025?新高考I）（1+5力，的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算.

【方題】計(jì)算題；方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法直接運(yùn)算確定虛部即可.

【解答】解：令z=（1+5力i,則z=5產(chǎn)+i=?5+i,

所以z的虛部為1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2025?新高考II）已知z=l+i,則一一=（）

z-1

A.-/B./C.-ID.1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【考點(diǎn)】共枕復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：因?yàn)閦=5+i,

則5=5T,

故z+z=5+i+5-i=10,

所以i(z+z)=10z.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共挽系數(shù)的定義，更數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

6.(2024?新高考H)已知貝恫=()

A.0B.1C.V2D.2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】解：z=-1-i,則|z|=’(-1)2+(-4)2=y[2.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)的模的求法，是基礎(chǔ)題.

7.(2024?甲卷)設(shè)z=&i,貝ljz?5=()

A.-/B.1C.-1D.2

【考點(diǎn)】共挽復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共枕復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：z=&i,

則z*z=V2i?(―72()=2.

故選：Q.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3+4i

8.（2024.全國(guó)）計(jì)算百=（）

A.1-2/B.1+2;C.-1-2/D.-1+2/

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

…3+4i(3+4i)(l+2t)-5+10i

【解答】解：匚I=(1-2i)(l+2i)=k=T+2i.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

9.（2024?北京）若復(fù)數(shù)z滿足4二一1—i,則2=（）

I

A.-1-zB.-1+ZC.1-/D.l+i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：

I

則z=i（-1-力=l-i.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2023?新高考II）在復(fù)平面內(nèi)，（1+3儲(chǔ)（3-儲(chǔ)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解：（1+3D（3-i）=3-Z+9/+3=6+8Z,

則在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

II.（2023?新高考1）已知z=懸，則（）

乙I乙I

A.-/B.iC.0D.1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共規(guī)復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】八

【分析】根據(jù)己知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共扼復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

1-i_11-i(1-i)2_1.

【解答】解:Z=2+27=2T+l=(l+0(l-0--2l

則5=

故z—z=-i.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,V5）,則z的共軌復(fù)數(shù)5=（）

A.1+V3/B.1一、囪C.-1+V3ZD.-1-V3/

【考點(diǎn)】由復(fù)平面中的點(diǎn)確定復(fù)數(shù)：共挽復(fù)數(shù).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和好數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共枕復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：???在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,V3）,

?；=-1+V3/,

則z的共規(guī)復(fù)數(shù)5=-1一百八

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共挽狂數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5(14-i3)

13.(2023?甲卷)=()

(2+0(2-0

A.-1B.1C.I-/D.l+z

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專?題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.

5(l+i3)

【解答】解:

(2+i)(2—i)-5

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

二.多選題（共1小題）

（多選）14.（2024?臺(tái)灣）設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，且設(shè)a=|z|、。為z的輻角，其中0W。V2ir（其中n為圓周

率）.對(duì)任一正整數(shù)〃，設(shè)實(shí)數(shù)物與川分別為z〃的實(shí)部與虛部.試選出正確選項(xiàng)（）

A.若a=l且0=等則xio=x3

B.若”=0，則>6=0

C.若X3=l,則X6=1

D.若數(shù)列｛沖）收斂，則aWl

E.若數(shù)列｛切｝收斂，則數(shù)列｛沙｝也收斂

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；數(shù)列的極限.

【專題】分類討論；極限思想；運(yùn)算求解；創(chuàng)新能力；新定義類.

【答案】BDE

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，z=a（cosp+zsinp）,再由棣莫弗定理，z"=a"（cos（邛）-/sin（?。?

n

則x〃，）力的形式即可確定：xn=acos（nP）,%=。叼）（九?）.據(jù)此四個(gè)選項(xiàng)解答如下：

【解答】解：選項(xiàng)4若。=1且0=竽，則？=。”等+isE竽，根據(jù)棣莫弗定理，z1°=cos孚+

3

化簡(jiǎn)得勺0=cos^^-=cos^.rfijz=cos號(hào)+isin寫，x3=cos亨=-cos竿.因此XIO#JG,

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：若）3=0,則a3sin（30）=0,因?yàn)閍#0,所以sin（30）=0,即30=Kr,keZ.則=a6sin6p=

a6sin（2kn）=0,選項(xiàng)B正確;

選項(xiàng)C：若X3=a%os30=1,則若取o（3=2,cos3p=i,則cos6￡=2cos23/y-1=一J,此時(shí)見=

（a3）2cos6/?=4x（-｝=一2H1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

n

選項(xiàng)。：yn=asin（np）,若a>l,a"--8,sin（?。┱鹗幾兓?，｛?｝不收斂.所以｛>〃｝收斂時(shí)，必有

aWl,選項(xiàng)。正確：

n-

選項(xiàng)E：若數(shù)列｛X”｝收斂，則當(dāng)OVaVLa”-0,則為=asi九（九B）*0，｛.y”｝收斂；當(dāng)a=l時(shí),xn=

cos（np）收斂，僅當(dāng)0=0或n,此時(shí)y〃=sin（邪）=0,即數(shù)列｛）加）也收斂.選項(xiàng)E正確.

故選：BDE.

【點(diǎn)評(píng)】本題前三個(gè)選項(xiàng)考查了復(fù)數(shù)的三角形式及相關(guān)運(yùn)算，后兩個(gè)選項(xiàng)考查了用分類討論的方法解決

極限問題.

三.填空題(共6小題)

3+i「

15.(2025?天津)已知i是虛數(shù)單位，M|—|=_x^L0_.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】VTo.

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得把=1-33再由求模公式計(jì)算即可.

I

………E、，3+i(3+i)ii2+3i-l+3i

【解答】解：因?yàn)?---=—T—=--;-=1-3i,

ii2i2-1

所以I誓|=|1-3/|=十(-3)2=/10.

故答案為：V10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的求解，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2025?上海)已知復(fù)數(shù)z滿足z2=(z)2,|z|Wl,則|z-2-3il的最小值是2夜.

【考點(diǎn)】共扼復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】2V2.

【分析】設(shè)z=a+〃(a,>ER),根據(jù)z2=(z)2,可得岫=0,又|z|Wl,可得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

的軌跡，由復(fù)數(shù)模的幾何意義，可得|z-2-34的最小值.

【解答】解：設(shè)z=a+bi(a,bWR),則-廬+2曲,(z)2=a2-b2-2abi,

2

因?yàn)?=(z),所以而i=0,RPab=0f

又|z|W1,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為。-1或"41，

|z-2-3i|表示點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)(2,3)的距離，

由點(diǎn)(a")的軌跡可知，當(dāng)。=0,b=l時(shí)，|z-2-34有最小值，最小值為J(0-2尸+(1_3,=2魚.

故答案為：2位.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共加狂數(shù)和好數(shù)的模，屬于中檔題.

17.(2025?上海)已知復(fù)數(shù)2=竿，其中，?為虛數(shù)單位，則|z|=_V5_.

【考點(diǎn)】亞數(shù)的除法運(yùn)算；亞數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】V5.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和當(dāng)數(shù)模的計(jì)算公式即可.

【解答】解：2=隼=埠蟲=1-2人

故|Z|="2+（-2）2=V5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

18.（2024?上海）已知虛數(shù)z,其實(shí)部為I,且z+q=7n（7n€R）,則實(shí)數(shù)〃，為2.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：虛數(shù)z,其實(shí)部為1,

則可設(shè)z=l+歷（力#（））,

所以z+?=1+bi+1..—1+biH---=1H----7+（力~~7）^,因?yàn)?，ER，

z1+61+b21+b21+b2

所以b-3=0,解得b=±l,

1+/

所以m=1+]=1+1=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2024?天津），是虛數(shù)單位，密數(shù)（通+i）?（若一2i）=7-bi.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】7-倔.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：（V5+0-（V5-2i）=5-2V5i+V5i+2=7-V5i.

故答案為：7-V5i.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

Z'

20.（2024?上?！导褐?i,則2=-I-/.

1+t:

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】-1-i.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共枕復(fù)數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可求解.

【解答】解：由題意可得z=i(1+i)=-1+/,

所以5=-1-i.

故答案為：-1-i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及到共規(guī)復(fù)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)列的極限

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、數(shù)列極限的定義:

一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)〃無限增大時(shí)，無窮數(shù)列｛〃〃｝的項(xiàng)4〃無限趨近于某個(gè)常數(shù)。(即|。無

限地接近于0),那么就說數(shù)列｛的｝以。為極限，記作nt8a〃=a.(注：a不一定是｛”｝中的

lim

項(xiàng))

2、幾個(gè)重要極限：

(1)Em—=0

n

(2)limC=C(C是常數(shù))

0(]o|<l)

(3)liman='1.la=11

不存在,(|o|>1,或。=-1,1

’0(5>t)

(4)lim出”。。業(yè)且」曳…

壇汀+6]〃$+…++bQ

不存在($<。

3、數(shù)列極限的運(yùn)算法則：

如果Kmq,=4Hmbn=3：那么

Em(a”+bQ=A+B

hm(an-bn)=A-B

g⑷瓦)二月上

a4

HmK0).

rw?4B

4、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和：

(I)公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前〃項(xiàng)的和，當(dāng)〃無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列

各項(xiàng)的和，記做5=n—8S”.

lim

S=limSn="<0<|q]<1).

(2)1A*1-q

【解題方法點(diǎn)撥】

（I）只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限.

（2）運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算

法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形）

（3）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為二（wGN）或（[切<1）型的極限.

n"1

<4）求極限的常用方法：

①分子、分母同時(shí)除以小或

②求和（或積）的極限一般先求即（或積）再求極限.

lim/=0（|g|<1Llim—=0…

③利用已知數(shù)列極限（如is"'18〃等）.

④含參數(shù)問題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限.

oo0

⑤8?8,一，0-0,一等形式，必須先化簡(jiǎn)成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限.

oo0

【命題方向】

典例1：已知數(shù)列｛如｝的各項(xiàng)均為正數(shù),滿足：對(duì)于所有〃WN*,有4Sn=4+l）2,其中S表示數(shù)列｛如｝

的前n項(xiàng)和.則〃機(jī)4=（）

n-?ooun

1

A.0B.1C.-D.2

2

解：V45i=4?i=（ai+l）2,

?<?<11=1.當(dāng)〃22時(shí)，4a〃=4s“-4S〃-]=（。〃+1）（.an.1+1）2,

A2（〃〃+〃〃」）=若一Wt，又1“4各項(xiàng)均為正數(shù)，

???“〃-如-1=2.數(shù)列伍〃｝是等差數(shù)列，

**?（in=2〃-1.

.n..n..11

..lint-=lim5—r=hm—r=5.

RT8H-*W-171f82—2J

n

故選：c.

典例2：已知點(diǎn)辦（dn,bn）在直線/：y=2x+\上，Pi為直線/與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列｛〃”｝的公差為I

（nGN*）.

（I）求數(shù)列｛〃〃｝、｛加｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）設(shè)Cn=「丁產(chǎn)川（九22）,求，亶（C2+C3+???+C?J的值；

（3）若dn=2d〃-i+an-i（〃22）,且力=1,求證：數(shù)列｛</〃+〃｝為等比數(shù)列，并求｛為｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）,??點(diǎn)為（a〃，bn）在直線/：y=2x+\±,Pi為直線/與），軸的交點(diǎn)，

/?bn=2cin+1>ai=0,

???等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為1（〃€N"）,

/.</?=0+（H-1）=11-1.

bn=2（/?-1）+1=2/2-1.

(2)解：由(1)nJWan-a\=n-1,bn-b\=2n-1-1=2n-2,

???|PP〃|=J(an-%)2+(%-,)2=dm-1)2+4(71—1)2=V5(n-1)(〃22).

11

??門=麗可=、%.（九_(tái)1）4島一力

,1r/rl,A1、，,1I、11-1、

??門+。3+…+3=而?一力x+(2一中+…+(z口一/,(1一》

：.Um(c2+C3+-+cn)=n->84(1-J)二祭

n-?8limV5〃>

(3)證明：〃22,d“=2dn-i+an-1,=2d”-1+〃-2,

dn^~f1=2（dn-I+/7-1）,

J數(shù)列（4+〃｝為等比數(shù)列，

首項(xiàng)為4+1=2,公比為2,

n

dn+n=2,

n

/.dn=2—n.

2.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，產(chǎn)=-1,所以，是-1的平方根.我僅把〃+歷的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把。=0且〃#0的

數(shù)叫做純虛數(shù)，。/0,且/2=0叫做實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)的模為GT京.形如“+萬（①左R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中

。，b分別是它的實(shí)部和虛部.

3.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，P=-i,所以，?是-1的平方根.我們把。+加的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把。=。且人W0的

數(shù)叫做純虛數(shù)，。#0,且b=0叫做實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)的模為，M+爐.形如“+勿?（〃，/比R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中

。，力分別是它的實(shí)部和虛部.

【解題方法點(diǎn)撥】

-分解好數(shù)：通過給定的復(fù)數(shù)表達(dá)式，提取實(shí)部和虛部.

-應(yīng)用：在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，分開處理實(shí)部和虛部，簡(jiǎn)化計(jì)算過程.

【命題方向】

-實(shí)部與虛部的提取：考查如何從復(fù)數(shù)表達(dá)式中提取實(shí)部和虛部.

-實(shí)部虛部的運(yùn)算：如何利用實(shí)部和虛部進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算和解決問題.

若復(fù)數(shù)z=〃2-3+23的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)4=.

解：若復(fù)數(shù)Z=J-3+23的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

則“2-3+24=0,解得：。=-3或a=l,

故答案為：-3或I.

4.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位

是1,），軸的單位是「實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0,0）,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0.即復(fù)數(shù)z=〃+歷-＞生平

面內(nèi)的點(diǎn)z（〃，b）-平面向量OZ.

2、除了復(fù)數(shù)與更平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

（I）|z|=|z-0|=?（＜z＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；

（2）|z-zo|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

【辭題方法點(diǎn)撥】

一點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)。+初作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示.

-幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析.

【命題方向】

-復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義.

-復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問題.

5.由復(fù)平面中的點(diǎn)確定復(fù)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、更數(shù)的代數(shù)表示法

建立.了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸，工軸的單位

是I,y軸的單位是i,實(shí)軸與虛釉的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)(0,0),對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0.即復(fù)數(shù)z=a+/〃.一復(fù)平

面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b>一平面向量

2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

(I)|z|=|z-0|=a(a>0)表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；

(2)|z-zo|表示復(fù)數(shù)z對(duì)?應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)zO對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

【解題方法點(diǎn)撥】

-從點(diǎn)到更數(shù)：通過點(diǎn)的坐標(biāo)(力y),直接確定復(fù)數(shù)1+y.

-幾何解釋：理解復(fù)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用于實(shí)際問題中.

【命題方向】

一點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系：考查如何根據(jù)復(fù)平面上的點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

-復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何利用復(fù)平面中的點(diǎn)解決實(shí)際問題.

6.共輾復(fù)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

實(shí)都相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共輾復(fù)數(shù).婦2+3i與2-3i互為共扼復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言

來表示即：復(fù)數(shù)2=〃+6的共加復(fù)數(shù)2=〃-歷.

【辯題方法點(diǎn)撥】

共匏復(fù)數(shù)的常見公式有：

|Z|=|Z|：|Z]+Z2I=方+/；|Z]-Zzl=同一2;ZZ=|Z|2

【命題方向】

共粕復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共挽

復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共扼加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣.運(yùn)用共視復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)問

題，提高數(shù)學(xué)符號(hào)變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法.

7.復(fù)數(shù)的模

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.復(fù)數(shù)的概念：形如。+河(小尤R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中b分別是它的實(shí)部和虛部.若6=0,則a+bi

為實(shí)數(shù)；若6W0,則〃+勿?為虛數(shù)；若。=0,叱0,則。+方為純虛數(shù).

2^復(fù)數(shù)相等：a+b