2024年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題匯編：作圖題（原卷版）

一、尺規(guī)作圖

1.（2024年廣東省廣州市白云區(qū)）【問題探究】

（I）如圖①，在四邊形A3CO白，NA=NB=90。，在AA邊上作點(diǎn)E為一點(diǎn)，連接CE,DE，使得

CEA.DE（畫出-一個(gè)點(diǎn)E即可，要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作圖的證明）：

（2）如圖②，在四邊形A3CD中，AD//BC.BC=CD,NC=60。，點(diǎn)E為CO上一點(diǎn)，連接AE，

BE,ZABE=60°,試判斷AO與C￡之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖③，四邊形A8C力是趙叔叔家的果園平面示意圖，點(diǎn)E為果園的一個(gè)出入口（點(diǎn)?在邊CE）上），

AE,BE為果園內(nèi)的兩條運(yùn)輸通道（通道寬度忽略不計(jì)），經(jīng)測量，AD//BC,AB=AE，

NC=ZABE=45。,40=150米，趙叔叔計(jì)劃在ABCE區(qū)域內(nèi)種植某種果樹，并沿CE修建一條安全

柵欄，為提前做好修建安全柵欄的預(yù)算，請你幫趙叔叔計(jì)算出CE的長度.

2.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，43co為0O內(nèi)接四邊形，AC為。。的直徑，AB=3D，

點(diǎn)、E為AD上一點(diǎn)，且E4=￡：（??

B

（I）求作點(diǎn)石，連接石。，延長ED，BC交于點(diǎn)F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖中，連接CE.

①求證：△CEF為等腰三角形；

②若EC=5,〃C=15,求弦DZT的長.

3.（2024年廣東省廣州市海珠區(qū)）如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)C、D在圓上,ZCDB=3ZABC,CD平分

ZACB,與AB相交于點(diǎn)E.

（1）在CA的延長線上找一點(diǎn)F,使=連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留昨圖痕跡）；

（2）求證：FD是的切線.

D

第21題圖

4.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)》如圖，在oABCD中，NDC8=30。.

（I）操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)乃作A8邊上的高OE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）計(jì)算：在（1）的條件下，若4）=4,A4=6,求梯形EB8的面積.

5.（2024年廣東省廣州市花都區(qū)）數(shù)學(xué)中的軸對稱就像鏡子?樣，可以展現(xiàn)出圖形對稱的美，初中常見

的軸對■稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等.如圖，在等腰&48c中，AB=BC.

（I）尺規(guī)作圖：作“15C關(guān)于直線AC對稱的△AZX?（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）連接3。，交AC于點(diǎn)0,若BD=2,四邊形A8CD周長為46，求四邊形A5CO的面積.

6.（2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，二次函數(shù)），=一入1十。）（工一3。）（。＞0）的圖象與X軸交于A,

8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E.

（I）尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點(diǎn)。，并標(biāo)記拋物線的頂點(diǎn)C,連接A石，且AE與對稱

軸相交于點(diǎn)尸；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，若AO=2QE,求NC4O的大小及"的值.

7.（2024年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，是&43c的外接圓，A8為宜徑,

（I）尺規(guī)作圖：在直徑4B下方的半圓上找點(diǎn)。，使得=（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖中，連接A。，BD，CD.已知AB=20,sinZADC=—

10

①求四邊形ACB。的面積;

②求。到弦C。的距離.

8.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖，在448C中，ZABC=9O°,ZA=60°,4/6=3.

2024年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題匯編：作圖題（解析版）

一、尺規(guī)作圖

1.（2024年廣東省廣州市白云區(qū)）【問題探究】

（I）如圖①，在四邊形NA=N8=90。，在A8邊上作點(diǎn)上為一點(diǎn)，連接CE,DE，使得

CEA.DE（畫出一個(gè)點(diǎn)E即可，要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作圖的證明）；

（2）如圖②，在四邊形ABC及中，AD//BC,BC=CD,NC=60。，點(diǎn)石為CO上一點(diǎn)，連接AE,

BE,ZABE=60°,試判斷AO與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖③，四邊形A3CO是趙叔叔家的果園平面示意圖，點(diǎn)E為果園的一個(gè)出入口（點(diǎn)E在邊CO上），

AE，跖為果園內(nèi)的兩條運(yùn)輸通道（通道寬度忽略不計(jì)），經(jīng)測量，AD//BC,AB=AE^

ZC=ZABE=45°,AO=150米，趙叔叔計(jì)劃在△BCE區(qū)域內(nèi)種植某種果樹，并沿CE修建一條安全

柵欄，為提前做好修建安全柵欄的預(yù)算，請你幫趙叔叔計(jì)算出CE的長度.

【答案】（1）見解析；（2）AD=CE,理由見解析；（3）150亞米

【解析】

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

尺規(guī)作圖：

（I）先作出CO的中點(diǎn)。，再作。石=OC交于點(diǎn)E，即可；

（2）連接30,根據(jù)題意可得△BCD是等邊三角形，可得到乙4BO=NCBE,

ZADB=/CBD=60。=/C,可證明即可；

（3）過點(diǎn)A作A/_LAT＞交CO的延長線于點(diǎn)F,證明ZVIDF和44的是等腰直角三角形，可得

CFBFr-

BE=?E，再證明aAMs△石6c，可得一=——=y/2,即可求解.

AFAE

【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)E即為所求；

理由：由作法得：OC=OD=OE,

??.ZODE=NOED,ZOCE=ZOEC,

???ZODE+ZOCE=ZOED+ZOEC=/DEC,

???ZODE+ZOCE+/DEC=180。，

AZD￡C=90°,

ADEICE；

(2)AD=CE,理由如下：

???△BCD是等邊三角形，

:?BC=BD,NCBD=60。,

???ZABE=6O0,

???ZABE=/CBD=3,

：?ZABD=NCBE,

VAD//BC.

???ZADB=/CBD=60°=ZC,

在△A3。和AEBC中，

?；NABD=4CBE,HC=BD,ZADb=NC，

IAABD^EBC(ASA),

AD=CE；

(3)如圖，過點(diǎn)人作AF_LAZ)交CO的延長線于點(diǎn)凡

?：AD〃BC，ZC=45%

???ZADF=NC=45。，

???ZXAOF是等腰直角三角形，

???Ab=40=150米，

*：AB=AE,

???ZAEB=ZABE=45°,

：?&ABE是等腰直角三角形，

:.BE=?AE.ZAEF+Z.BEC=180°-45°=135°,

VZC=45°,

???/EBC+/BEC=180°-45°=135°,

：,/EBC=ZAEF,

*/ZC=ZF=45°,

**.AAEFS^EBC,

CEBE入

:.——=——=V2,

AFAE

????！辏?血4b=150拉米?

2.(2024年廣東省廣州市越秀區(qū))如圖，ABCQ為。O內(nèi)接四邊形，AC為。。的直徑，，48=60,

點(diǎn)、E為AD上一點(diǎn)，且￡A=￡C-

B

（l）求作點(diǎn)石，連接EO,延長ED,BC交于點(diǎn)、F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖中，連接CE.

①求證：為等腰三角形；

②若/C=5,BC=15,求弦DE的長.

【答案】（1）詳見解析

（2）①詳見解析；②二~

2

【解析】

【分析】（1）利用垂徑定理的性質(zhì)可作AC的垂直平分線交圓。與點(diǎn)E,即可得解;

（2）①如圖，連30,利用圓周角定理證出/石（下=135。一NACB,ZF=135°-ZDCF,由四邊形

48。為圓內(nèi)接四邊形證出NBA。=NOb,進(jìn)而可證出/尸=/比尸，即可得解，②先證出

AB=BD=20,再由勾股定理得出AC=25,由△尸ECs△尸3。得出比值，代入計(jì)算即可得解.

【小問1詳解】

如到，作人C的垂直平分線交圓。與點(diǎn)E,點(diǎn)E印為所求作的點(diǎn)，

\E

【小問2詳解】

①如圖，連8。，AE，

R

\E

,**EA=EC，AC為直徑，

IOMO_QQO

：.ZACE=-----------=45°,ZADC=90°

2

???ZACE=ZADE=45°,

???/EDC=135°=ZF+/DCF,ZECF=180°-ZACE-ZACB=135°-ZACB,

???ZF=135°-Z/)CF,

???川邊形AAC。為圓內(nèi)接四邊形.

.??ZBAD+ZBCD=\80°,

??,/BCD+NDCF=180。,

???ZBAD=ZDCF

,:AB=BD，

???/BAD=ABDA=ZACB,

???/DCF=ZACB,

???ZF=ZECF,

:,EC=EF,

???/XCEF為等腰三角形；

②???CD所對的圓周角為/DEC,NDBC,

???/DEC=NDBC,

???NF=NF，

???ZBDF=ZECF,

由①知，ZECF=ZF,

：?/BDF=/F,

???BD=BF=BC+CF=15+5=20,

;AB=BD，

???AB=BD=20,

???AC為直徑，

???ZABC=90°,

；?AC=>Jl3C2+AB2=7152+202=25，

.”"If25?f25?2572

H2JI2J2

,:/FEC=/DBF,ZF=ZF,

???AFECS^FBD,

FECF

??—=----，

FBDF

25夜

:.2_5,

20~~DF

???DF=AO,

:.DE=EF-DF=-4&=.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

3.(2024年廣東省廣州市海珠區(qū))如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，NCDB=3NABC,CD平分

NACB,與AB相交于點(diǎn)E.

(1)在CA的延長線上找一點(diǎn)F,使CF=CD,連接FD(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留昨圖痕跡);

(2)求證：FD是00的切線.

o

D

第21m

答案:

解擰：(1)如圖￡4、FD為所求……2分

(2)證明：連接OD……1分

;。。中，48為直徑，AZACB=9Q9

???C0平分/4C8,???Nl=/2=；/4C8=45?

?：BD=BD

；?N8OD=2/2=90°.......i分

?:CF=CD

：.ZCFD=ZCDF=^18O--Zl)=67.5*.......】分

■:0=國：.ZCAB=ZCDB.

?：ZCDB=3ZABC,:?NCAB=34ABC

???NC/8+46C=9O?，348C+48C=90°.

???//8C=22.5°,NC/8=67.5?……I分

:,tCFD=￡CAE

:.AB〃FD.......I分

.,.ZFDO=Z3=90",:.FDJLOD

又丁。。為0O半徑，???"是。。切我……I分

4.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)》如圖，在口八4c。中，N/X方=30。.

（1）操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)。作邊上的高?！辏海ūＡ糇鲌D痕跡，不要求寫作法）

（2）計(jì)算：在（1）的條件下，若4）=4,AB=6,求梯形EBCZ）的面積.

【釋答】解.：（1）如圖，。石即為所求.

（2）?.?四邊形AACO為平行四邊形,

..AB=CD=6,ZA=ZDCfi=30°.

在RlAADE中，NA=30°,

:.DE=-AD=2,AE=ADcos30°=4x—=2>/3,

22

:,BE=6-2g,

.,.梯形E8CD的面積為』（3￡+CD）xOE=」x（6-2G+6）x2=12-275.

22

5.（2024年廣東省廣州市花都區(qū)）數(shù)學(xué)中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對稱的美，初中常見

的釉對稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等.如圖，在等腰中，AB=BC.

（I）尺規(guī)作圖：作“13。關(guān)于直線AC對?稱的（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）連接3。，交AC于點(diǎn)。，若BD=2,四邊形4BCO周長為46,求四邊形ABCO的面積.

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，A8為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)。，連接A。、CO即可；

（2）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AJBD,OB=OD,則可求得08=1,再根據(jù)（I）知四邊形A8CO為

菱形，根據(jù)菱形的周長可求得AB=石，由勾股定理，可求出04=2,從而求得AC=2Q4=4,然后

由菱形的面積公式可求解.

【小問I詳解】

解：如圖，AADC即為所求，

由作圖可知：AD=CD=AB,

VAB=BC

???AD=CD=AB=BC

，四邊形A4CD為菱形，

???必皮7與△A7X;關(guān)于直線4。對稱.

【小問2詳解】

解：如圖,

???AABC與AADC關(guān)于直線AC對稱.

:.ACLBD,OB=OD，

：.OB=-BD=-x2=l,

22

由（1）知四邊形H8CQ為菱形，

???AC=2OA,

???西邊形A8CO周長為4塢，

???AB=-x4y/5=^5,

4

由勾股定理，得OATAB^—OB?“（可=2,

???AC=2OA=4.

???西邊形ABC。的面積=4AC,BO=LX4X2=4.

22

【點(diǎn)睛】本題考杳尺規(guī)作三角形，軸對稱的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的面枳.熟練掌握

菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，二次函數(shù)y=—；（x+4）（工一3。）（。＞0）的圖象與x軸交于A,

8的點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)4的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E.

（I）尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點(diǎn)。，并標(biāo)記拋物線的頂點(diǎn)C,連接AE，且AE與對稱

軸相交于點(diǎn)尸；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，若AO=2Q七，求NC4。的大小及A尸的值.

【答案】（I）詳情見解析:

（2）ZC4D=45°；AF=2瓜

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，垂直平分線的作法，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟悉掌握

各函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

（I）根據(jù)拋物線的對稱軸為A8的中垂線，按要求作圖即可；

（2）求出點(diǎn)A和E的坐標(biāo)，由AO=2O￡列式運(yùn)算出〃的值，根據(jù)〃的值求出各邊的長進(jìn)而求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意可知拋物線的對稱軸為A8的中垂線，再按要求作圖如下：

II3

解：把工=0代入y=-^（工+〃）（工-3〃）可得：y=-—（0+d）（0-3^）=—6/2,

3

???OE=-a2

4t

把）,=0代入）,=_；（x+a）（x_3〃）可得：0=-；（x+a）（x-3a）,

解得：內(nèi)=一。或工2二3。，

。＞0,

???3（-40）,A（3a,0）,

AO=3ct?

3

VAO=2OE,即3a=2x,a2,

4

解得：a=2或。=0（舍去），

???4（6,0）,8（-2,0）,E（0,3）,y=—；（x+2）（x—6）,

上勺=即（）

〈AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為:2,02,0,

2

?J把x=2］弋入y=—1(x+2)(x—6)可得：y=-w(2+2)(2—6)=4,

???C(2,4),

：.CD=4=AD,

???zcm=90°,

???ZC4P=45°，

設(shè)直線AE的函數(shù)解析式為y=kx+b,

則:06k+3b=0，

k=--

解得：2,

b=3

所以直線AE的表達(dá)式為：y=-^x+3,

把x=2代入y=-gx+3可得：y=-gx2+3=2,

???/(2,2),

:?DF=2,

AD=AO-OD=6-2=4,

???AF=JDF2+AD2=V22+42=2>75"

7.（2024年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，。。是3c的外接圓，A8為直徑,

（I）尺規(guī)作圖：在直徑下方的半圓上找點(diǎn)。，使得=（保留作圖痕跡，不寫作法）;

(2)在(1)所作的圖中，連接AO,BD，CD.已知AB=20,sinZADC=—

10

①求四邊形AC8。的面積;

②求。到弦。。的距離.

【答案】（I）見解析（2）?160；②2逐

【解析】

【分析】（1）直接作A8的垂直平分線即可;

（2）①利用分割的思想求解面積，②作出相應(yīng)輔助線，利用相似三角形的判定及性質(zhì)求出0G=5,再利

用勾股定理及等面積法進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意作圖如下:

【小問2詳解】

解：①如下圖:

??,sinZADC=，AB=20，

10

AB10

解得：AC=2jlU，

/.BC=>]AB2-AC2=6V10，

S=—AC-BC=60,

^A.DUnB=-2ABOD=-2X20X10=100,

??S四邊形ACM=SJDB+S4|8C=160；

②解：過。作48的垂線交于E,過。作CO的垂線交于取CO與的交點(diǎn)為G,

根據(jù)等面枳法得：ACBC=CEAB,

解：CE=6,

:.AE=JAC2-CE2=2,

:.OE=OA-AE=S,

?/ZCEG=/COG/CGE=Z.DGO,

:.R^CGE^Rt?DOG,

3

.-.EG=-OG,

5

解得：OG=5,

:.DG=ylOG2+OD2=5y/5^

根據(jù)等面積法得：DGOF=OGOD,

,OF=OG^D=2^

DG

。到弦C。的距離為26.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、利用正弦值求邊長,

解題的關(guān)鍵是利用等面積法建立等式求解.

8.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖，在443C中，N43c=90。，NA=60。，AB=3.

（I）尺規(guī)作圖：在8。上找一點(diǎn)P,作0P與AC，AA都相叨，與AC的切點(diǎn)為Q（保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖中，連接BQ,求sinNCBQ的值.

【答案】（1）見解析（2）sin/C4Q=g

【解析】

【分析】（I）結(jié)合切線的判定與性質(zhì)，作。的平分線，交BC于點(diǎn)P,以點(diǎn)尸為圓心，的長為

半徑畫圓即可.

（2）由題意可得尸gRtZXAQP,則A3=AQ,可得aA'Q為等邊三角形，即/48Q=60。,

則NC8Q=30。，進(jìn)而可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖，作的平分線，交BC于點(diǎn)P,以點(diǎn)尸為圓心，PA的長為半徑畫圓，交AC于點(diǎn)Q,

則O尸即為所求.

解：由（1）可得，BP=PQ,PQLAC,

ZA0P=9O°,

/.RSA8%RSAQP(HL),

：.AB=AQ,

vZ/MC=60°,

.??△4向2為等邊三角形,

「4%=60。，

/.46Q=3(T,

.*.sinZCB(2=sin30o=-.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識

點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2024年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，在“13。中，NC是鈍角.

（I）尺規(guī)作圖：在A5上取一點(diǎn)。，以。為圓心，作出。0,使其過A、C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D,連接

CD：（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖中，若NBCQ=NA,tanA=-,BC=9.

3

①求證：8C是。。的切線；

②求弦AC的長.

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②迎械

5

【解析】

【分析】（I）作出線段AC的垂直平分線確定圓心，再作出圓即可求解；

（2）①連接OC,得出NQ4C=NOC4,根據(jù)NACO+NOCD=90。，結(jié)合已知條件得出

/BCD+/OCD=900,即可得證；

②先證明得到變=型=_2=1，再利用勾股定理即可求解.

BABCAC3

【小問1詳解】

解：點(diǎn)。如圖所示：

c

【小問2詳解】

①證明：如圖所示，連接0C,

,:AO是直徑，

???ZACD=90°，

???ZACO+"CD=90°,

?：OA=OC,

???NO4C=NOC4,

，；NBCD=ZA,

???/BCD=ZACO,

???/BCD+NOCD=90。,