2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)玻璃”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與邏輯用語(yǔ)某玻璃加工廠對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行分級(jí)，設(shè)集合(A={\text{透明度達(dá)標(biāo)產(chǎn)品}})，(B={\text{抗壓強(qiáng)度達(dá)標(biāo)產(chǎn)品}})，(C={\text{邊緣光滑度達(dá)標(biāo)產(chǎn)品}})。若“產(chǎn)品為一級(jí)品”的充要條件是“同時(shí)滿足透明度、抗壓強(qiáng)度、邊緣光滑度達(dá)標(biāo)”，則“產(chǎn)品非一級(jí)品”對(duì)應(yīng)的集合為（）A.(\complement_U(A\cupB\cupC))B.((\complement_UA)\cup(\complement_UB)\cup(\complement_UC))C.((\complement_UA)\cap(\complement_UB)\cap(\complement_UC))D.(A\capB\cap\complement_UC)2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)“數(shù)學(xué)玻璃”的透光率(f(x))（單位：%）與厚度(x)（單位：mm）滿足函數(shù)關(guān)系(f(x)=100e^{-kx})（(k>0)）。當(dāng)厚度為5mm時(shí)透光率為80%，則當(dāng)透光率降至50%時(shí)，玻璃厚度約為（）（參考數(shù)據(jù)：(\ln2\approx0.693)，(\ln5\approx1.609)）A.13.8mmB.15.2mmC.16.7mmD.18.5mm3.三角函數(shù)玻璃切割時(shí)，激光束與水平面的夾角(\theta)（(0<\theta<\frac{\pi}{2})）會(huì)影響切割精度。已知某激光設(shè)備的有效切割深度(d(\theta)=20\sin(2\theta+\frac{\pi}{3}))（單位：mm），則切割深度的最大值及對(duì)應(yīng)(\theta)值分別為（）A.20mm，(\frac{\pi}{12})B.20mm，(\frac{\pi}{6})C.10mm，(\frac{\pi}{12})D.10mm，(\frac{\pi}{6})4.平面向量在玻璃幕墻安裝中，某工人需將一個(gè)質(zhì)量為50kg的玻璃板塊沿墻面移動(dòng)。已知兩個(gè)拉力向量(\vec{F_1}=(30,40))N和(\vec{F_2}=(a,120))N，若兩個(gè)力的合力方向豎直向上（即與(y)-軸正向一致），則(a=)（），合力大小為（）N（重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)，忽略摩擦力）A.-30，160B.-30，200C.30，160D.30，2005.立體幾何“數(shù)學(xué)玻璃”可加工成正八面體形狀的裝飾品，其棱長(zhǎng)為(2\sqrt{2})cm。若用空間向量法計(jì)算該正八面體的體積，則以下步驟正確的是（）A.建立坐標(biāo)系，以中心為原點(diǎn)，棱長(zhǎng)為基向量，體積(V=\frac{1}{3}Sh)B.以其中一個(gè)面為底面，計(jì)算底面積和高，體積(V=\frac{4}{3}\pir^3)C.分解為兩個(gè)正四棱錐，棱長(zhǎng)為(2\sqrt{2})時(shí)，體積(V=\frac{16}{3},\text{cm}^3)D.利用外接球半徑計(jì)算，體積(V=\sqrt{2}a^3)（(a)為棱長(zhǎng)）6.概率統(tǒng)計(jì)某玻璃廠質(zhì)檢部門從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100塊玻璃，檢測(cè)其抗沖擊強(qiáng)度，得到頻率分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分組為[40,50)，[50,60)，…，[90,100]）。若規(guī)定抗沖擊強(qiáng)度≥70為合格，則估計(jì)該批產(chǎn)品的合格率及中位數(shù)所在區(qū)間分別為（）A.65%，[60,70)B.65%，[70,80)C.75%，[60,70)D.75%，[70,80)7.圓錐曲線“數(shù)學(xué)玻璃”的表面常設(shè)計(jì)為拋物面以增強(qiáng)聚光效果。若某拋物面玻璃的軸截面是拋物線(y^2=4x)，平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物面反射后，反射光線必過(guò)焦點(diǎn)，則入射光線(y=2)對(duì)應(yīng)的反射光線方程為（）A.(x=1)B.(y=1)C.(y=x+1)D.(y=-x+1)8.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法玻璃生產(chǎn)線上，每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量成等差數(shù)列。已知第3臺(tái)機(jī)器日產(chǎn)180塊，第8臺(tái)日產(chǎn)280塊，若要使生產(chǎn)線的日總產(chǎn)量達(dá)到3000塊，則至少需要機(jī)器（）A.10臺(tái)B.11臺(tái)C.12臺(tái)D.13臺(tái)9.不等式與優(yōu)化某玻璃運(yùn)輸箱的容積為(V=xyz=1000,\text{cm}^3)（(x,y,z>0)），箱體材料成本與表面積成正比。若底面和頂面材料單價(jià)為側(cè)面的2倍，則當(dāng)成本最低時(shí)，(x:y:z=)（）A.1:1:1B.1:2:1C.2:1:1D.2:2:110.數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新《九章算術(shù)》中“羨除”是指三個(gè)側(cè)面為梯形的五面體?，F(xiàn)有一塊“羨除”形玻璃，其三視圖中主視圖和側(cè)視圖為全等的等腰梯形（上底2cm，下底6cm，高4cm），俯視圖為矩形（長(zhǎng)6cm，寬3cm），則該玻璃的體積為（）A.36cm3B.48cm3C.60cm3D.72cm3二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.復(fù)數(shù)與運(yùn)算若復(fù)數(shù)(z=\frac{2i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(Z)，則點(diǎn)(Z)到原點(diǎn)的距離為______，(z)的共軛復(fù)數(shù)為______。12.立體幾何多空題已知某玻璃三棱鏡的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3且與底面垂直，則其側(cè)面積為______，外接球表面積為______。13.概率與貝葉斯定理玻璃缺陷檢測(cè)中，機(jī)器誤檢率為：合格品被誤判為缺陷品的概率為5%，缺陷品被誤判為合格品的概率為10%。已知該批產(chǎn)品的缺陷率為2%，則當(dāng)機(jī)器判定某產(chǎn)品為缺陷品時(shí)，該產(chǎn)品實(shí)際為缺陷品的概率為______（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。14.數(shù)學(xué)建模初步某玻璃廠的燃料成本(C)（元/天）與日產(chǎn)量(x)（百塊）的關(guān)系為(C(x)=x^3-6x^2+15x+20)，則最低成本為______元，此時(shí)日產(chǎn)量為______百塊。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.三角函數(shù)與解三角形（10分）“數(shù)學(xué)玻璃”的一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景是模擬彩虹形成原理。一束光從空氣（折射率(n_1=1)）射入玻璃（折射率(n_2=\sqrt{3})），入射角為(\alpha)，折射角為(\beta)，滿足折射定律(n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta)。（1）若(\alpha=60^\circ)，求折射角(\beta)及光在玻璃中的傳播速度（光在真空中速度(c=3\times10^8,\text{m/s})）；（2）若折射光線與反射光線垂直，求入射角(\alpha)的正切值。16.數(shù)列與不等式（12分）玻璃纖維的直徑(d_n)（單位：μm）隨生產(chǎn)工藝改進(jìn)逐年減小，已知(d_1=10)，且滿足(d_{n+1}=\frac{2d_n}{1+\frac{d_n}{10}})。（1）證明：數(shù)列(\left{\frac{10}{d_n}-1\right})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({d_n})的通項(xiàng)公式，并判斷是否存在正整數(shù)(m)，使得(d_m<1)？若存在，求(m)的最小值；若不存在，說(shuō)明理由。17.立體幾何與空間向量（12分）如圖，“數(shù)學(xué)玻璃”展示臺(tái)由直四棱柱(ABCD-A_1B_1C_1D_1)構(gòu)成，底面(ABCD)為菱形，(AB=2)，(\angleBAD=60^\circ)，側(cè)棱(AA_1=3)。（1）證明：平面(A_1BD\perp)平面(ACC_1A_1)；（2）若點(diǎn)(E)為(CC_1)的中點(diǎn)，求二面角(E-A_1B-D)的余弦值。18.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（12分）為研究“數(shù)學(xué)玻璃”的硬度與溫度的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)室記錄了8組數(shù)據(jù)（溫度(x/^\circ\text{C})，硬度(y/\text{HV})）：(x:20,30,40,50,60,70,80,90)(y:52,55,58,60,62,64,66,67)（1）繪制散點(diǎn)圖并判斷(y)與(x)是否存在線性相關(guān)關(guān)系（不必畫圖，直接給出結(jié)論）；（2）求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})（精確到0.01）；（3）若溫度為100°C時(shí)，預(yù)測(cè)硬度值并計(jì)算殘差（參考數(shù)據(jù)：(\sumx_i=440)，(\sumy_i=484)，(\sumx_iy_i=28190)，(\sumx_i^2=28000)）。19.圓錐曲線與直線綜合（12分）“數(shù)學(xué)玻璃”的曲面設(shè)計(jì)中，橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若線段(AB)的垂直平分線與(x)軸交于點(diǎn)(P(4,0))，求直線(l)的方程。20.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合探究（14分）“數(shù)學(xué)玻璃”的強(qiáng)度優(yōu)化問(wèn)題可抽象為函數(shù)模型：已知函數(shù)(f(x)=x^3-3mx^2+3nx)（(m,n\in\mathbb{R})），其圖像在點(diǎn)((1,f(1)))處的切線方程為(y=-3x+1)。（1）求(m,n)的值；（2）若函數(shù)(g(x)=f(x)-kx)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(k)的取值范圍；（3）設(shè)(h(x)=f(x)+6x)，是否存在區(qū)間([a,b])，使得(h(x))在([a