2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)電競(jìng)”知識(shí)基礎(chǔ)試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）電競(jìng)戰(zhàn)隊(duì)訓(xùn)練時(shí)間分配某電競(jìng)戰(zhàn)隊(duì)每天訓(xùn)練時(shí)長(zhǎng)為12小時(shí)，分為“個(gè)人技術(shù)訓(xùn)練”（$x$小時(shí)）和“團(tuán)隊(duì)?wèi)?zhàn)術(shù)演練”（$y$小時(shí)），且滿足$x\geq4$，$y\geq3$，$x+y\leq12$。若個(gè)人技術(shù)訓(xùn)練每小時(shí)提升0.8個(gè)競(jìng)技評(píng)分，團(tuán)隊(duì)?wèi)?zhàn)術(shù)演練每小時(shí)提升1.2個(gè)競(jìng)技評(píng)分，則戰(zhàn)隊(duì)每天評(píng)分提升的最大值為（）A.10.4B.11.2C.12.0D.12.8游戲角色技能冷卻時(shí)間某游戲角色釋放技能后，冷卻時(shí)間$t$（秒）與技能等級(jí)$n$（$n\in\mathbb{N}^*$）的關(guān)系為$t(n)=\frac{60}{n+1}+5\lnn$。當(dāng)技能等級(jí)從3級(jí)提升至5級(jí)時(shí)，冷卻時(shí)間的減少量約為（參考數(shù)據(jù)：$\ln3\approx1.10$，$\ln5\approx1.61$）（）A.8.2秒B.9.5秒C.10.8秒D.12.1秒電競(jìng)比賽晉級(jí)概率某電競(jìng)比賽采用“五局三勝制”，甲、乙兩隊(duì)每局獲勝概率分別為0.6和0.4。若比賽已進(jìn)行兩局，甲隊(duì)以2:0領(lǐng)先，則甲隊(duì)最終晉級(jí)的概率為（）A.0.6B.0.72C.0.84D.0.936裝備合成資源優(yōu)化合成一件頂級(jí)裝備需依次完成3個(gè)階段，每個(gè)階段消耗“水晶”數(shù)量$a_n$（$n=1,2,3$）成等比數(shù)列，且$a_1+a_2+a_3=35$，$a_1a_2a_3=1000$。若水晶獲取效率為每小時(shí)5個(gè)，則完成合成的最少時(shí)間為（）A.5小時(shí)B.7小時(shí)C.10小時(shí)D.14小時(shí)游戲地圖視野范圍某圓形游戲地圖的半徑為100米，玩家操控的角色位于圓心$O$，其技能“偵查守衛(wèi)”可放置在距離$O$點(diǎn)50米的$A$處，守衛(wèi)的視野范圍是以$A$為圓心、60米為半徑的圓。則該守衛(wèi)覆蓋的地圖面積為（）平方米A.$3600\pi$B.$(3600+1200\arccos\frac{7}{25})\pi$C.$(3600+1600\arccos\frac{1}{4})\pi$D.$6400\pi$戰(zhàn)隊(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析某戰(zhàn)隊(duì)10場(chǎng)比賽的擊殺數(shù)（單位：個(gè)）分別為：18,22,25,27,30,30,32,35,38,40。若用中位數(shù)$m$、平均數(shù)$\bar{x}$、方差$s^2$描述該組數(shù)據(jù)，則（）A.$m=30$，$\bar{x}=29.7$，$s^2=46.41$B.$m=28.5$，$\bar{x}=29.7$，$s^2=46.41$C.$m=30$，$\bar{x}=28.5$，$s^2=52.25$D.$m=28.5$，$\bar{x}=28.5$，$s^2=52.25$技能傷害函數(shù)模型某角色的技能傷害$y$（單位：點(diǎn)）與技能釋放距離$x$（單位：米）的關(guān)系滿足$y=-0.1x^2+3x+20$（$0\leqx\leq20$）。若敵方角色位于$x=10$米處，且以2米/秒的速度向遠(yuǎn)離角色的方向移動(dòng)，則1秒后技能傷害的變化率為（）A.減少0.4點(diǎn)/秒B.減少0.8點(diǎn)/秒C.增加0.4點(diǎn)/秒D.增加0.8點(diǎn)/秒游戲服務(wù)器負(fù)載均衡某游戲服務(wù)器可支持$N$名玩家同時(shí)在線，其卡頓概率$P(N)=\frac{1}{1+e^{5-0.01N}}$。當(dāng)在線人數(shù)從100人增加到200人時(shí)，卡頓概率的增幅約為（參考數(shù)據(jù)：$e^4\approx54.6$，$e^3\approx20.1$）（）A.18%B.35%C.52%D.69%路徑規(guī)劃最短距離游戲地圖中，三個(gè)資源點(diǎn)$A$、$B$、$C$的坐標(biāo)分別為$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,3)$，玩家從$A$出發(fā)，依次經(jīng)過$B$、$C$再返回$A$，若只能沿坐標(biāo)軸方向移動(dòng)（即上下左右），則最短路徑長(zhǎng)度為（）A.12B.14C.16D.18電競(jìng)比賽獎(jiǎng)金分配某賽事獎(jiǎng)金池為100萬(wàn)元，按名次分配規(guī)則：第$k$名獎(jiǎng)金$b_k=\frac{20}{k(k+1)}$萬(wàn)元（$k=1,2,\cdots,n$），且$\sum_{k=1}^nb_k\leq100$。則最多可設(shè)置的獲獎(jiǎng)名次數(shù)量$n$為（）A.4B.5C.9D.19二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）游戲賬號(hào)等級(jí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)迟~號(hào)從$L$級(jí)升級(jí)到$L+1$級(jí)所需經(jīng)驗(yàn)值$E(L)=100\times1.2^L$，則從1級(jí)升級(jí)到5級(jí)的總經(jīng)驗(yàn)值為__________；若每天可獲取經(jīng)驗(yàn)值2000，則從1級(jí)升到10級(jí)至少需要__________天（精確到整數(shù)）。技能連招傷害計(jì)算角色釋放“普攻+技能A+技能B”的連招，普攻傷害為100點(diǎn)，技能A傷害比普攻高$x%$，技能B傷害比技能A高$x%$，且連招總傷害為364點(diǎn)，則$x=$；若$x$在$[10,30]$內(nèi)隨機(jī)取值，則總傷害超過350點(diǎn)的概率為。立體幾何游戲場(chǎng)景某游戲場(chǎng)景中的“魔法塔”是一個(gè)正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為8米，側(cè)棱長(zhǎng)為10米。則該棱錐的體積為__________立方米；若在棱錐頂點(diǎn)安裝一盞燈，燈光照射地面的面積為__________平方米。概率分布期望方差隨機(jī)變量$\xi$表示一局游戲的“擊殺數(shù)”，其分布列為：|$\xi$|0|1|2|3||-------|---|---|---|---||$P$|0.2|$a$|$b$|0.1|若$E(\xi)=1.5$，則$a=$，$D(\xi)=$。復(fù)數(shù)運(yùn)算技能特效技能“能量沖擊”的傷害值對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)$z=(m+2i)(1-i)$（$m\in\mathbb{R}$），若$|z|=10$，則$m=$__________；此時(shí)$z$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限。數(shù)學(xué)建模開放探究某MOBA游戲中，“防御塔”的生命值$H$隨時(shí)間$t$（分鐘）的衰減規(guī)律為$H(t)=H_0e^{-kt}$，其中$H_0$為初始生命值，$k$為衰減系數(shù)。若$t=5$時(shí)$H=0.5H_0$，則$k=$；若玩家在$t=10$時(shí)發(fā)起攻擊，此時(shí)塔的生命值為初始值的（用分?jǐn)?shù)表示）。三、解答題（本大題共6小題，共84分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）（14分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的技能優(yōu)化某角色的“暴擊傷害”$f(x)$與“暴擊率”$x$（$0<x<1$）的關(guān)系為$f(x)=\frac{2x}{1+x}+\ln(1+x)$，其中$\frac{2x}{1+x}$為基礎(chǔ)傷害加成，$\ln(1+x)$為額外傷害加成。（1）求$f(x)$在$x=0.5$處的導(dǎo)數(shù)$f'(0.5)$，并解釋其實(shí)際意義；（2）當(dāng)$x$為何值時(shí)，$f(x)$取得最大值？求出該最大值。（14分）數(shù)列與不等式的裝備強(qiáng)化裝備強(qiáng)化系統(tǒng)中，每次強(qiáng)化成功率$p_n$與強(qiáng)化等級(jí)$n$（$n\in\mathbb{N}^*$）的關(guān)系為$p_n=\frac{1}{n+1}$，強(qiáng)化成功則等級(jí)+1，失敗則等級(jí)不變。（1）求從等級(jí)1強(qiáng)化到等級(jí)3所需次數(shù)的分布列；（2）若每次強(qiáng)化消耗金幣$c_n=100n$，求從等級(jí)1強(qiáng)化到等級(jí)3的平均金幣消耗。（14分）立體幾何與空間向量的地圖設(shè)計(jì)某3D游戲地圖中有一三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，底面$ABC$為直角三角形，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=2$，側(cè)棱$AA_1=4$，且$AA_1\perp$底面$ABC$。（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值；（2）在棱$BB_1$上是否存在點(diǎn)$P$，使得$CP\perp$平面$A_1BC$？若存在，求出$P$點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。（14分）概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析的戰(zhàn)隊(duì)表現(xiàn)為評(píng)估戰(zhàn)隊(duì)實(shí)力，統(tǒng)計(jì)了某戰(zhàn)隊(duì)20場(chǎng)比賽的“場(chǎng)均擊殺數(shù)”$X$與“勝率”$Y$（%），數(shù)據(jù)如下表：場(chǎng)次12345678910$X$15182022252830323538$Y$45525860657072758085場(chǎng)次11121314151617181920$X$40424548505255586065$Y$88909293949596979899（1）繪制$X$與$Y$的散點(diǎn)圖（無(wú)需作答，僅為分析步驟），判斷是否適合用線性回歸模型擬合；（2）求$Y$關(guān)于$X$的線性回歸方程$\hat{Y}=\hat{a}X+\hat$（精確到0.01）；（3）若某場(chǎng)比賽的場(chǎng)均擊殺數(shù)為55，預(yù)測(cè)該場(chǎng)比賽的勝率，并計(jì)算當(dāng)$X=55$時(shí)，殘差$e=Y-\hat{Y}$的值。（14分）圓錐曲線與解析幾何的技能軌跡在平面直角坐標(biāo)系中，玩家位于點(diǎn)$M(0,2)$，其技能“拋物線射擊”的軌跡是一條過$M$點(diǎn)的拋物線，且與$x$軸交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$兩點(diǎn)。（1）求該拋物線的方程；（2）若敵方單位位于直線$l:y=x+4$上移動(dòng)，求技能軌跡與直線$l$的最近距離及對(duì)應(yīng)敵方單位的坐標(biāo)。（14分）數(shù)學(xué)建模與開放探究的賽事策略某電競(jìng)賽事采用“雙敗淘汰制”，16支隊(duì)伍參賽，規(guī)則