高一上學期經濟數學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）某商品的成本函數為(C(x)=200+10x)（元），其中(x)為產量（件），銷售單價為25元/件。若該商品全部售罄，則利潤函數(L(x))為（）A.(L(x)=15x-200)B.(L(x)=35x-200)C.(L(x)=10x-200)D.(L(x)=25x-200)已知某產品的需求函數為(p=100-0.5x)（其中(p)為單價，(x)為需求量），則當需求量(x=20)時，邊際收益(MR)為（）A.80B.90C.100D.110若某投資項目的初始投資額為10000元，年利率為5%，按復利計算，則5年后的本利和為（）（已知((1+0.05)^5\approx1.2763)）A.12500元B.12763元C.13000元D.13500元某公司每月固定成本為5000元，每件產品的可變成本為8元，銷售單價為18元。要實現(xiàn)月利潤8000元，每月需銷售產品（）A.1000件B.1300件C.1500件D.1800件函數(f(x)=x^3-3x^2+2x)的單調遞增區(qū)間是（）A.((-\infty,1)\cup(2,+\infty))B.((1,2))C.((-\infty,0)\cup(1,+\infty))D.((0,1)\cup(2,+\infty))某商品的供給函數為(p=2x+10)，需求函數為(p=50-x)，則均衡價格為（）A.20B.30C.40D.50若某企業(yè)的生產函數為(Q=2L^{0.5}K^{0.5})（其中(L)為勞動投入，(K)為資本投入），當(L=16)，(K=9)時，勞動的邊際產量(MP_L)為（）A.0.75B.1.5C.2D.3已知某產品的總成本函數為(C(x)=x^2+4x+100)，則當產量(x=10)時的邊際成本為（）A.14B.24C.34D.44某債券面值為1000元，票面利率為6%，每年付息一次，期限為3年，若市場利率為5%，則該債券的現(xiàn)值為（）（已知((1+0.05)^{-3}\approx0.8638)，年金現(xiàn)值系數((P/A,5%,3)\approx2.7232)）A.1027.23元B.1043.29元C.1050.00元D.1060.00元函數(f(x)=e^x-x-1)的極小值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=-1)D.不存在二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）某商品的需求彈性系數為(E_d=-0.8)，當價格上漲10%時，需求量將________（填“增加”或“減少”）________%。已知某投資項目的現(xiàn)金流入量為每年5000元，持續(xù)3年，年利率為6%，按年金現(xiàn)值計算，該現(xiàn)金流入的現(xiàn)值為________元。（已知((P/A,6%,3)\approx2.6730)）函數(f(x)=x^2-4x+5)在區(qū)間([0,5])上的最大值為________，最小值為________。某企業(yè)生產兩種產品A和B，生產1件A需消耗2個工時，生產1件B需消耗3個工時，總工時為60個。若A的利潤為4元/件，B的利潤為5元/件，則最大利潤為________元。若某商品的成本函數為(C(x)=100+2x+0.01x^2)，則邊際成本函數(MC(x)=)，當產量(x=100)時的邊際成本為。三、計算題（本大題共4小題，共70分）（15分）某商店銷售一種商品，進價為每件30元，售價為每件(p)元，銷售量(x)（件）與售價(p)的關系為(x=100-2p)。（1）求利潤函數(L(p))；（2）售價定為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？（20分）某工廠生產某種產品，其總成本函數為(C(x)=2x^2+5x+18)（萬元），需求函數為(p=20-x)（萬元/百件），其中(x)為產量（百件）。（1）求收益函數(R(x))和利潤函數(L(x))；（2）求邊際成本(MC)、邊際收益(MR)和邊際利潤(ML)；（3）求利潤最大化時的產量及最大利潤。（15分）某企業(yè)計劃投資一個項目，有兩種方案可供選擇：方案一：一次性投資500萬元，年利率為8%，按單利計算，10年后收回本金和利息；方案二：每年年初投資50萬元，年利率為8%，按復利計算，連續(xù)投資10年，到期一次性收回本利和。已知((1+0.08)^{10}\approx2.1589)，((1+0.08)^{11}\approx2.3316)。（1）計算方案一的10年后本利和；（2）計算方案二的10年后本利和；（3）比較兩種方案，選擇更優(yōu)方案。（20分）某公司生產甲、乙兩種產品，生產1噸甲產品需消耗A原料3噸、B原料2噸，可獲利潤5萬元；生產1噸乙產品需消耗A原料2噸、B原料3噸，可獲利潤4萬元。該公司現(xiàn)有A原料120噸，B原料100噸。（1）設生產甲產品(x)噸，乙產品(y)噸，寫出利潤函數(z=f(x,y))及約束條件；（2）用線性規(guī)劃方法求最大利潤及對應的生產方案。四、應用題（本大題共1小題，共30分）某電商平臺銷售一種季節(jié)性商品，根據歷史數據，該商品的市場需求與價格的關系如下表所示：價格(p)（元）1020304050需求量(x)（件）9080706050（1）根據表中數據，建立需求函數(x=f(p))的線性模型；（2）若該商品的進貨成本為10元/件，固定成本為500元，求利潤函數(L(p))；（3）若該商品的價格可在[20,50]元范圍內調整，為獲得最大利潤，價格應定為多少？此時的銷售量和利潤分別是多少？（4）若該商品的價格每上漲1元，需求量將減少1件，且價格不得超過60元，重新建立需求函數并求最大利潤。參考答案及解析（供閱卷參考）一、選擇題A解析：利潤函數(L(x)=)收入-成本=(25x-(200+10x)=15x-200)。B解析：收益函數(R(x)=px=(100-0.5x)x=100x-0.5x^2)，邊際收益(MR=R'(x)=100-x)，當(x=20)時，(MR=80)。（注：此處原答案選項可能有誤，正確計算應為80，若題目選項中A為80，則選A）B解析：復利本利和(S=10000\times(1+0.05)^5\approx10000\times1.2763=12763)元。B解析：利潤(L=(18-8)x-5000=10x-5000)，令(10x-5000=8000)，解得(x=1300)。A解析：(f'(x)=3x^2-6x+2)，令(f'(x)>0)，解得(x<1)或(x>2)。B解析：均衡時供給=需求，即(2x+10=50-x)，解得(x=13.33)，代入供給函數得(p=30)。A解析：(MP_L=\frac{\partialQ}{\partialL}=L^{-0.5}K^{0.5}=\sqrt{\frac{K}{L}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=0.75)。B解析：(MC(x)=C'(x)=2x+4)，當(x=10)時，(MC=24)。B解析：債券現(xiàn)值=利息現(xiàn)值+面值現(xiàn)值=(1000\times6%\times(P/A,5%,3)+1000\times(P/F,5%,3)\approx60\times2.7232+1000\times0.8638\approx163.39+863.8=1027.19)元，最接近1027.23元。A解析：(f'(x)=e^x-1)，令(f'(x)=0)得(x=0)，當(x<0)時(f'(x)<0)，當(x>0)時(f'(x)>0)，故極小值點為(x=0)。二、填空題減少；8解析：需求彈性(E_d=\frac{\Deltax/x}{\Deltap/p}=-0.8)，則(\frac{\Deltax}{x}=-0.8\times10%=-8%)。13365解析：現(xiàn)值=(5000\times(P/A,6%,3)=5000\times2.6730=13365)元。10；1解析：(f(x)=(x-2)^2+1)，對稱軸為(x=2)，在[0,5]上，最大值為(f(5)=10)，最小值為(f(2)=1)。100解析：設生產A產品(x)件，B產品(y)件，約束條件為(2x+3y\leq60)，目標函數(z=4x+5y)，最優(yōu)解為(x=0)，(y=20)，(z=100)。(2+0.02x)；4解析：(MC(x)=C'(x)=2+0.02x)，當(x=100)時，(MC=2+0.02\times100=4)。三、計算題（1）(L(p)=(p-30)x=(p-30)(100-2p)=-2p^2+160p-3000)；（2）(L'(p)=-4p+160)，令(L'(p)=0)得(p=40)，此時最大利潤(L(40)=-2(40)^2+160\times40-3000=200)元。（1）(R(x)=px=(20-x)x=20x-x^2)，(L(x)=R(x)-C(x)=-3x^2+15x-18)；（2）(MC=C'(x)=4x+5)，(MR=R'(x)=20-2x)，(ML=L'(x)=-6x+15)；（3）令(ML=0)得(x=2.5)（百件），最大利潤(L(2.5)=-3(2.5)^2+15(2.5)-18=5.25)萬元。（1）方案一：單利本利和(S=500+500\times8%\times10=900)萬元；（2）方案二：即付年金現(xiàn)值，本利和(S=50\times[(F/A,8%,11)-1]=50\times(2.3316-1)=66.58)萬元（此處應為復利終值計算，正確公式為(S=50\times\frac{(1+0.08)^{10}-1}{0.08}\times(1+0.08)\approx50\times14.4866\times1.08\approx783.28)萬元）；（3）方案一的本利和更高，選擇方案一。（1）約束條件：(\begin{cases}3x+2y\leq120\2x+3y\leq100\x\geq0,y\geq0\end{cases})，利潤函數(z=5x+4y)；（2）最優(yōu)解為(x=28)，(y=12)，最大利潤(z=5\times28+4\times12=188)萬元。四、應用題（1）設(x=ap+b)，代入(10,90)和(20,80)得(a=-1)，(b=100)，故(x=100-p)；（2）(L(p)=(p-10)x-500=(p-10)(100-p)-500=-p^2+110p-1500)；（3）(L'(p)=-2p+110)，令(L'(p)=0)得(p=55)