功的計(jì)算方法總結(jié)試卷一、基礎(chǔ)概念辨析1.1功的定義與物理意義功是物理學(xué)中描述力對(duì)物體作用效果的物理量，其大小等于力與物體在力的方向上移動(dòng)距離的乘積。公式表達(dá)為W=Fscosθ，其中θ為作用力F與位移s之間的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，cosθ=1，此時(shí)力對(duì)物體做正功；當(dāng)θ=90°時(shí)，cosθ=0，力不做功；當(dāng)θ>90°時(shí)，cosθ<0，力做負(fù)功（或稱為物體克服該力做功）。1.2功的單位與標(biāo)矢性國(guó)際單位制中功的單位為焦耳（J），1J=1N·m。需特別注意：功是標(biāo)量，其正負(fù)僅表示力對(duì)物體做功的性質(zhì)（動(dòng)力做功或阻力做功），不表示方向。例如，摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)物體做負(fù)功，實(shí)質(zhì)是物體克服摩擦力消耗機(jī)械能。二、恒力做功的計(jì)算方法2.1直接公式法（W=Fscosθ）適用條件：物體在恒力F作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，且力與位移方向的夾角θ恒定。計(jì)算步驟：確定研究對(duì)象及受力分析；找出做功的力F及其對(duì)應(yīng)的位移s；確定力與位移方向的夾角θ；代入公式計(jì)算，注意單位統(tǒng)一（F用N，s用m，W單位為J）。例題1：質(zhì)量為2kg的物體在水平拉力F=10N作用下沿粗糙水平面移動(dòng)5m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s2。求：（1）拉力做的功；（2）摩擦力做的功。解析：（1）拉力方向與位移方向一致（θ=0°），W拉=Fs=10×5=50J；（2）摩擦力f=μmg=0.2×2×10=4N，方向與位移相反（θ=180°），W摩=fscos180°=4×5×(-1)=-20J。2.2分解法（正交分解力或位移）當(dāng)力與位移方向不在同一直線時(shí)，可將力或位移分解為相互垂直的兩個(gè)分量，再計(jì)算做功。分解力：將F分解為Fx（沿位移方向）和Fy（垂直位移方向），則W=Fx·s；分解位移：將s分解為sx（沿力方向）和sy（垂直力方向），則W=F·sx。例題2：用與水平方向成37°角的斜向上拉力F=20N拉動(dòng)質(zhì)量為3kg的物體前進(jìn)10m，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求拉力做的功。解析：將拉力分解為水平分力Fx=Fcos37°=20×0.8=16N，豎直分力不做功，故W=Fx·s=16×10=160J。三、變力做功的計(jì)算方法3.1微元法（無(wú)限分割思想）適用場(chǎng)景：力的大小或方向隨位移變化（如彈簧彈力、曲線運(yùn)動(dòng)中的變力）。原理：將物體運(yùn)動(dòng)軌跡分割為無(wú)數(shù)小段，每小段中力可視為恒力，計(jì)算各段功后累加。公式表達(dá)：W=ΣFiΔsicosθi（當(dāng)Δs→0時(shí)，求和轉(zhuǎn)化為積分）。例題3：水平放置的彈簧勁度系數(shù)k=100N/m，一端固定，另一端連接質(zhì)量m=1kg的物體。將彈簧從原長(zhǎng)拉長(zhǎng)x=0.5m，求彈力做的功。解析：彈力F=-kx（負(fù)號(hào)表示方向與位移相反），取向右為正方向，彈力做的功W=∫0[^0.5]Fdx=∫0^0.5dx=-?kx2=-?×100×0.52=-12.5J，即物體克服彈力做功12.5J。3.2圖像法（F-s圖像面積）方法：在F-s坐標(biāo)系中，圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”表示功的大小。面積正負(fù)：位于s軸上方的面積為正功，下方為負(fù)功；適用類型：恒力（矩形面積）、線性變力（三角形/梯形面積）、復(fù)雜變力（分割估算面積）。例題4：某力F隨位移s變化的關(guān)系如圖所示，求物體從s=0移動(dòng)到s=6m過(guò)程中力F做的功。解析：圖像由三角形（0-4m）和矩形（4-6m）組成，面積W=?×4×10+2×5=20+10=30J。3.3動(dòng)能定理法（W合=ΔEk）原理：合外力對(duì)物體做的功等于物體動(dòng)能的變化量，即W合=Ek末-Ek初=?mv末2-?mv初2。適用場(chǎng)景：不便于直接計(jì)算變力功時(shí)，可通過(guò)動(dòng)能變化反求功。例題5：質(zhì)量為m的物體以初速度v0豎直上拋，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為0，空氣阻力f恒定。求上升過(guò)程中空氣阻力做的功。解析：合外力W合=WG+Wf=-mgh+Wf，動(dòng)能變化ΔEk=0-?mv02。由動(dòng)能定理：-mgh+Wf=-?mv02，又上升過(guò)程中v02=2ah，a=(mg+f)/m，解得Wf=-fh=-f·v02/(2g+2f/m)。四、特殊情境下的做功計(jì)算4.1多個(gè)力做功的計(jì)算方法：先求合外力再求功：W合=F合scosθ（適用于合外力恒定）；分別求各力做功再代數(shù)和：W合=W1+W2+…+Wn（普遍適用）。例題6：物體在三個(gè)力F1=3N（水平向右）、F2=4N（豎直向上）、F3=5N（與水平成45°角向左上方）作用下向右移動(dòng)2m，求合外力做的功。解析：F1做功：W1=3×2=6J；F2與位移垂直，W2=0；F3水平分力F3x=5cos45°≈3.54N（向左），做功W3=3.54×2×cos180°≈-7.08J；合功W合=6+0-7.08≈-1.08J。4.2曲線運(yùn)動(dòng)中的做功關(guān)鍵：力與瞬時(shí)速度方向的夾角θ決定該力在微小位移上的功，總功需用積分或動(dòng)能定理計(jì)算。重力做功：僅與初末位置高度差有關(guān)，WG=mgh（h為豎直下落高度）；向心力做功：始終與速度方向垂直，不做功（如勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心力W=0）。例題7：質(zhì)量m=0.5kg的小球從半徑R=1m的光滑圓弧軌道頂端由靜止滑下，求到達(dá)底端過(guò)程中重力做的功（g=10m/s2）。解析：重力做功與路徑無(wú)關(guān)，僅與高度差h=R有關(guān)，WG=mgh=0.5×10×1=5J。4.3相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的做功注意點(diǎn)：公式中“位移s”必須是對(duì)地的位移，而非相對(duì)位移；摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積（Q=f·s相對(duì)，即摩擦生熱）。例題8：水平傳送帶以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，將質(zhì)量m=1kg的物體無(wú)初速放在傳送帶上，物體與傳送帶間μ=0.1，g=10m/s2。求物體與傳送帶共速過(guò)程中：（1）摩擦力對(duì)物體做的功；（2）摩擦力對(duì)傳送帶做的功；（3）摩擦產(chǎn)生的熱量。解析：（1）物體加速度a=μg=1m/s2，加速時(shí)間t=v/a=2s，對(duì)地位移s物=?at2=2m，Wf對(duì)物=fs物=μmg·s物=0.1×1×10×2=2J；（2）傳送帶位移s帶=vt=4m，摩擦力對(duì)傳送帶做負(fù)功，Wf對(duì)帶=-fs帶=-0.1×1×10×4=-4J；（3）相對(duì)位移s相對(duì)=s帶-s物=2m，熱量Q=fs相對(duì)=0.1×1×10×2=2J。五、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧5.1常見(jiàn)誤區(qū)混淆“力的作用點(diǎn)位移”與“物體位移”：如人走路時(shí)靜摩擦力作用點(diǎn)無(wú)位移，故靜摩擦力不做功；忽略“力與位移的同時(shí)性”：計(jì)算功時(shí)，F(xiàn)與s必須對(duì)應(yīng)同一物理過(guò)程；錯(cuò)誤理解“負(fù)功”含義：負(fù)功表示力阻礙物體運(yùn)動(dòng)，不表示功的大小（如W=-5J的功比W=3J的功“效果”更顯著）。5.2解題口訣“一重二析三算角，單位統(tǒng)一要記牢”：先確定研究對(duì)象，分析受力及位移，明確力與位移夾角；“恒力直接用公式，變力微元圖像能，動(dòng)能定理最萬(wàn)能，曲線運(yùn)動(dòng)看路徑”：根據(jù)力的性質(zhì)選擇合適方法；“摩擦生熱看相對(duì)，重力做功只看高”：特殊力做功的簡(jiǎn)化計(jì)算技巧。六、綜合應(yīng)用題6.1多過(guò)程問(wèn)題例題9：質(zhì)量m=1kg的物體靜止在光滑水平面上，先受F1=3N水平拉力作用移動(dòng)2m，再受F2=4N（與水平成60°角）作用移動(dòng)3m，最后撤去外力滑行至停止。求全過(guò)程中合外力做的功。解析：第一階段：W1=F1s1=3×2=6J；第二階段：F2水平分力F2x=4cos60°=2N，W2=2×3=6J；第三階段：合外力為0，W3=0；總功W合=6+6+0=12J，由動(dòng)能定理知ΔEk=0，故總功為0（此處矛盾？注意第三階段撤力后物體勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，原解析錯(cuò)誤，正確總功應(yīng)為6+6=12J，物體最終動(dòng)能為12J，不會(huì)停止）。6.2彈簧系統(tǒng)做功例題10：勁度系數(shù)k=200N/m的彈簧兩端連接m1=1kg和m2=2kg的物體，放在光滑水平面上。用外力將兩物體反向拉開(kāi)，使彈簧伸長(zhǎng)x=0.3m后靜止釋放，求彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中彈力對(duì)m1做的功。解析：彈簧彈力為變力，由動(dòng)能定理：對(duì)m1，W1=?m1v12；對(duì)m2，W2=?m2v22。由動(dòng)量守恒m1v1=m2v2，且W1+W2=?kx2=?×200×0.32=9J，聯(lián)立解得W1=6J。七、練習(xí)題（附參考答案）選擇題關(guān)于功的概念，下列說(shuō)法正確的是（）A.力越大，做功越多B.位移越大，做功越多C.物體運(yùn)動(dòng)的路程越大，做功越多D.功的大小取決于力、位移及兩者夾角質(zhì)量為m的物體沿傾角為θ的斜面勻速下滑，位移為s，下列說(shuō)法正確的是（）A.重力做功mgsB.支持力做功mgscosθC.摩擦力做功-mgssinθD.合外力做功mgssinθ計(jì)算題質(zhì)量2kg的物體在F=8N水平力作用下從靜止開(kāi)始在粗糙水平面上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g=10m/s2。求：（1）前5s內(nèi)拉力做的功；（2）前5s內(nèi)合外力做的功。參考答案：DC（1）a=(F-μmg)/m=(8-0.1×2×10)/2=3m/s2，s=?at2=?×3×25=37.5m，W拉=8×37.5=300J；（2）f=2N，W合=(8-2)×37.5=225J。八、方法總結(jié)與拓展功的計(jì)算是力學(xué)的核心內(nèi)容，需根據(jù)力的性質(zhì)（恒力/變力）