1/2試卷第=page22頁，共=sectionpages55頁2025-2026學(xué)年山東省濟寧市高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教A版必修2第十章、選擇性必修1第一、二章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線，平行，則＝（

）A． B．1或0 C．0 D．12．已知，，平面的一個法向量為，若平面，則（

）A． B． C． D．3．已知圓C：，D是圓C上的動點，點，若動點M滿足，則點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．4．若，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．設(shè)為不共線的三點，在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標原點）（

）A． B．C． D．6．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．7．某運動員每次投擲飛鏢命中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：02

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07據(jù)此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為（

）A．0．50 B．0.45 C．0.40 D．0.358．如圖，在四棱錐中，底面，，，，是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（

）A．直線必過定點B．直線在y軸上的截距為1C．直線的傾斜角為D．經(jīng)過任意兩個不同點的直線都可用方程表示10．已知正方體的棱長為2，點，分別是的中點，點在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．與所成角的正弦值是 B．點到平面的距離是C．平面與平面間的距離為 D．點到直線的距離為11．為響應(yīng)校團委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號召，某班組織了有獎知識競答活動.決賽準備了4道選擇題和2道填空題，每位參賽者從6道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取1道題作答.設(shè)事件為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與互斥；與互斥B．不管第幾次抽取，抽到選擇題的概率都相同C．D．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是__________.13．袋中有3個大小、質(zhì)地相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，從中隨機抽取3次，每次取1個球，規(guī)則如下：第一次若抽到1號球，則不放回，否則放回；第二次若抽到2號球，則不放回，否則放回.則第三次抽到3號球的概率為______．14．已知正四面體的棱長為6，是棱的中點，是棱上一動點，若在上，使得與平面所成的角為，則線段的長度的最小值是______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知圓C經(jīng)過點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若點在圓C上，求的最大值與最小值；（3）過原點的直線l交圓C于M，N兩點，若，求直線l的方程．16．（15分）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1，若依次收到1，1，1，則譯碼為1）.（1）已知，.（i）若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；（ⅱ）若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送0，0，1，試判斷事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”是否相互獨立，并給出理由.（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍.17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，D是棱AC的中點，

（1）求C點到平面的距離.（2）求直線與平面所成的角的正弦值.18．（17分）為了激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動．該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券，其它情況均不能獲得書券．游戲規(guī)則如下表：箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”項目游戲一游戲二游戲三取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）當(dāng)時，求游戲三的獲勝概率；（3）一名同學(xué)首先玩游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大？19．（17分）已知正方體的棱長為1．（1）證明：平面；（2）已知點為平面內(nèi)一動點，且與所成角為，求線段所形成的曲面面積S；（3）在棱上分別取點（均不與端點重合），二面角，分別記為，求的取值范圍．

2025-2026學(xué)年山東省濟寧市高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教A版必修2第十章、選擇性必修1第一、二章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線，平行，則＝（

）A． B．1或0 C．0 D．1【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用兩直線平行列式計算并驗證作答.【詳解】由題意，，解得或，當(dāng)時，，，即為，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時，，，兩直線平行.綜上所述，.故選：D.2．已知，，平面的一個法向量為，若平面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面，且平面的一個法向量為，由求解.【詳解】因為，，所以，又因為平面的一個法向量為，且平面，所以，則，即，故選：D3．已知圓C：，D是圓C上的動點，點，若動點M滿足，則點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)得到，將其代入圓C方程，即得點的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，因，則，由，可得，即，故（*），因D是圓C上的動點，故，將（*）代入上式，可得，整理得，即為點M的軌跡方程.故選：B4．若，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】使用列舉法求出樣本空間，列舉出滿足條件的樣本點，然后可得概率.【詳解】從中任取兩個數(shù)的樣本空間為：，共25個.使為整數(shù)的樣本點有，共8個.所以為整數(shù)的概率為.故選：C5．設(shè)為不共線的三點，在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標原點）（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論.【詳解】空間向量共面定理：，若不共線，且共面，其充要條件是.對A，因為，所以四點不共面；對B，因為，所以四點共面；對C，由可得，因為，所以四點不共面；對D，由，可得，即，因為，所以四點不共面.故選：B6．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出已知圓的圓心關(guān)于直線的對稱點即所求圓的圓心，兩圓半徑相同，得到所求圓.【詳解】由，得圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則解得故所求圓的方程為．故選：C.7．某運動員每次投擲飛鏢命中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：02

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07據(jù)此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為（

）A．0．50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【答案】B【分析】根據(jù)題意分析出兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心的基本事件數(shù)有9個，總的事件數(shù)有20個，根據(jù)古典概型概率計算公式計算即可.【詳解】因為1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心，所以兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心表示：隨機數(shù)組中有且只有一個數(shù)為1，2，3，4中的一個；它們分別是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9個，即滿足條件的基本事件數(shù)有9個，總的事件數(shù)有20個，所以該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為．故選：B.8．如圖，在四棱錐中，底面，，，，是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得到三棱錐的外接球的球心在平面上，作出輔助線，得到三棱錐的外接球的球心在直線上，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，因為在上，設(shè)，所以的坐標為，利用得到方程，解得，進而得到外接球半徑，得到表面積.【詳解】因為，，所以，設(shè)，則為的中點，因為平面，，平面，所以，，因為，平面，，所以平面，由題意知，所以三棱錐的外接球的球心在平面上.，故為等邊三角形，故，又，故，，又，故，如圖，取棱的靠近的四等分點，則為線段的中點，，因為為的中點，所以，所以，所以，所以三棱錐的外接球的球心在直線上.以為坐標原點，，MB，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，因為在上，設(shè)，所以的坐標為，又，即，解得，故，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（

）A．直線必過定點B．直線在y軸上的截距為1C．直線的傾斜角為D．經(jīng)過任意兩個不同點的直線都可用方程表示【答案】AD【分析】對于A，將直線方程整理成以為未知數(shù)的方程即可求得定點；對于B，根據(jù)截距的定義求解；對于C，將方程化成斜截式方程，求得直線斜率，即可求出其傾斜角；對于D，將經(jīng)過兩點的直線分成三種情況，分別考慮即得結(jié)論.【詳解】對于A，因，故該直線經(jīng)過定點，故A正確；對于B，在直線方程中，令，可得，即該直線在y軸上的截距為，故B錯誤；對于C，由化成斜截式為，可知直線的斜率為，則直線的傾斜角滿足，因，故得，故C錯誤；對于D，對于經(jīng)過任意兩個不同點的直線，若，則直線的斜率不存在，直線方程為，滿足；若，則直線的斜率為0，直線方程為，滿足；若且，則該直線方程為，去分母后即得方程.綜上可知，D正確.故選：AD.10．已知正方體的棱長為2，點，分別是的中點，點在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．與所成角的正弦值是 B．點到平面的距離是C．平面與平面間的距離為 D．點到直線的距離為【答案】BD【分析】空間向量法求解兩直線所成角，點到面的距離，兩平面之間的距離，點到直線的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，所以，．對于A，設(shè)與所成角，則，．故A錯誤．對于B，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面．所以平面的一個法向量，，則點到平面的距離．故B正確．對于C，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面平面，所以平面，同理，平面，平面，所以平面平面．所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離．．設(shè)平面的法向量為，則所以令，所以，所以點到平面的距離．所以平面與平面間的距離為．故C錯誤．對于D，因為，所以，則．所以點到的距離．故D正確．故選：BD．11．為響應(yīng)校團委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號召，某班組織了有獎知識競答活動.決賽準備了4道選擇題和2道填空題，每位參賽者從6道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取1道題作答.設(shè)事件為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與互斥；與互斥B．不管第幾次抽取，抽到選擇題的概率都相同C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷A，由簡單隨機抽樣的性質(zhì)判斷B，根據(jù)古典概型的概率公式判斷CD.【詳解】由題意可知第1次抽到選擇題與第2次抽到選擇題可能同時發(fā)生，所以與不是互斥事件，同理與也不是互斥事件，A說法錯誤；從6道題中不放回地隨機抽取三次，滿足簡單隨機抽樣，每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，B說法正確；第二次抽到選擇題且第三次也抽到選擇題的概率,C說法正確；第1次抽到選擇題或第2次抽到選擇題的概率,D說法錯誤；故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是__________.【答案】．【分析】設(shè)直線的傾斜角為，，由斜率與傾斜角關(guān)系得到不等式，再結(jié)合正切函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，則，因為，所以，如圖，根據(jù)正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得直線的傾斜角.故答案為：.13．袋中有3個大小、質(zhì)地相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，從中隨機抽取3次，每次取1個球，規(guī)則如下：第一次若抽到1號球，則不放回，否則放回；第二次若抽到2號球，則不放回，否則放回.則第三次抽到3號球的概率為______．【答案】【分析】根據(jù)第一次和第二次的取球情況，進行分類討論第三次抽到3號球的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解.【詳解】（1）第一次抽到1號球（概率為），不放回，剩下球2，3，①第二次抽到2號球（概率為），不放回，則第三次抽到3號球的概率為1；②第二次抽到3號球（概率為），放回，則第三次抽到3號球的概率為．則第三次抽到3號球的概率為；（2）第一次抽到2或3號球（概率為），放回，球仍為，①第二次抽到1或3號球（概率為），放回，則第三次抽到3號球的概率為；②第二次抽到2號球（概率為），不放回，則第三次抽到3號球的概率為．則第三次抽到3號球的概率為；所以第三次抽到3號球的總概率為．故答案為：14．已知正四面體的棱長為6，是棱的中點，是棱上一動點，若在上，使得與平面所成的角為，則線段的長度的最小值是______.【答案】【分析】先將正三棱錐補全為正方體，然后根據(jù)題中條件求得點的軌跡；然后求解即可.【詳解】如圖將該正三棱錐補全為一個正方體，建立空間直角坐標系，點為點在平面的投影，易知，平面的一個法向量，顯然點在平面上，設(shè)易知由題可知，得整理得易知到點的距離,所以在以為球心，半徑為的球面上；由題易知，,所以，所以，點在平面上是以點為圓心的圓上，所以線段的長度的最小值是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知圓C經(jīng)過點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若點在圓C上，求的最大值與最小值；（3）過原點的直線l交圓C于M，N兩點，若，求直線l的方程．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為．（3）或．【分析】（1）可設(shè)圓心為，由求出圓心坐標及半徑進行求解；（2）由表示原點與圓C上的點間的距離，進行求解；（3）分直線的斜率存在與不存在進行求解．【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心為，則，即，解得，∴，，∴圓C的方程為．（2）表示原點與圓C上的點間的距離，而原點O在圓C外，，圓C的半徑，∴的最大值為，最小值為．（3）當(dāng)l垂直于x軸時，l即為y軸，將代入圓C的方程，得，∴，，此時截得的弦長為，滿足條件：當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y＝kx，圓心C到直線l的距離，由點到直線的距離公式得，解得．∴直線l的方程為x＝0或．16．（15分）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1，若依次收到1，1，1，則譯碼為1）.（1）已知，.（i）若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；（ⅱ）若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送0，0，1，試判斷事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”是否相互獨立，并給出理由.（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍.【答案】（1）（i）；（ⅱ）不相互獨立，理由見解析（2）【分析】（1）（i）利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即可求出至少收到一次0的概率；（ⅱ）利用相互獨立事件的定義判斷并證明即可；（2）利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式求出兩個事件的概率，列不等式即可求解的取值范圍.【詳解】（1）（i）記事件為“至少收到一次0”，則.（ⅱ）不相互獨立，理由如下：記事件為“第三次收到的信號為1”，則.記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，則.因為，所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”不相互獨立.（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則.記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則.根據(jù)題意可得，即.因為，所以，即，解得，故的取值范圍為.17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，D是棱AC的中點，（1）求C點到平面的距離.（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間坐標系，利用點到平面的距離公式求解即可；（2）利用線面角的向量求法即可求解.【詳解】（1）由題意可知，兩兩垂直，于是建立如圖所示的空間直角坐標系,則，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量為，即，令，則.所以點C到平面的距離.（2）設(shè)直線與平面所成的角為，，，所以直線與平面所成的角的正弦值為.18．（17分）為了激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動．該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券，其它情況均不能獲得書券．游戲規(guī)則如下表：箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”項目游戲一游戲二游戲三取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）當(dāng)時，求游戲三的獲勝概率；（3）一名同學(xué)首先玩游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大？【答案】（1）游戲一獲勝概率為，游戲二獲勝概率為（2）（3）5或6或7【分析】（1）