三角形中的新定義問(wèn)題

1.(2025?廣陵區(qū)校級(jí)四模)我們定義：若一個(gè)三角形最大邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條

線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到最大邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形的“比例中點(diǎn)”.例如：

如圖1,已知鈍角AABC中，ZACB是鈍角，點(diǎn)。是上的一點(diǎn)，連接C7),若CD=ADE),則稱(chēng)點(diǎn)

D是MBC的“比例中點(diǎn)”.

(1)如圖2,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)8在y軸上，N8AO=30。，若點(diǎn)M是AAQ8的“比例中點(diǎn)”,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為;

(2)如圖3,已知AA8C中，43=28,ZA=45。，tanB=-,若點(diǎn)N是08C的“比例中點(diǎn)”，求4V；

4

(3)如圖4,已知是等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟?，所以其中任意一條邊都可以看

成最大邊，試判斷等邊三角形有沒(méi)有“比例中點(diǎn)”？說(shuō)明理由.

2.（2025秋?泰興市期中）我們類(lèi)比黃金分割點(diǎn)給出如下定義:如圖點(diǎn)P、N、Q在同一條直線上，.=2,

NQ

則稱(chēng)點(diǎn)N為［P,Q］的“銀杏點(diǎn)”.特別地，若N為PQ的中點(diǎn)時(shí)，則Q為［P,N］的“銀杏點(diǎn)”，戶(hù)也

為［Q,N］的“銀杏點(diǎn)”.

（1）已知PQ=6,點(diǎn)N在線段PQ上，若點(diǎn)N為［Q,P］的“銀杏點(diǎn)”，則PN=

（2）如圖，O為418c的重心，則下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）.

①O為［A,D1的“銀杏點(diǎn)”：

②￡為［5,。］的“銀杏點(diǎn)”;

③D為［B,。的“銀杏點(diǎn)”；

④C為［4,￡］的“銀杏點(diǎn)”.

3

（3）如圖，在RtAEFG中，ZEFG=90°.若尸G=12,tanZ.EGF=-.

4

①求印的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)M在邊EG上，且M、E、G中有一點(diǎn)為其它兩點(diǎn)的“銀杏點(diǎn)”?點(diǎn)K在直線尸G上，且

4EFM=4FKM.求GK的長(zhǎng).

PN

3.(2025?任城區(qū)三模)我們定義：等腰三角形中底邊與腰6勺比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖①在MAC

中，AB=ACt頂角A的正對(duì)記作sw的，這時(shí).“以4=生包=生.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正

腰AB

對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(1)，&/60。=.

(2)，"/90。=.

(3)如圖②，已知sinA=g,其中NA為銳角，試求SaZ4的值.

4.(2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)定義1:如圖1,若點(diǎn)”在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以“為端點(diǎn)的

線段MH、NH、滿(mǎn)足N1=N2,則稱(chēng)和N”關(guān)于直線/滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2:如圖2,在AABC中，APQR的三個(gè)頂點(diǎn)?、Q、R分別在BC,AC.AB上，若研和QP關(guān)于

4c滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于A2滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，則

稱(chēng)WQR為A/WC的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問(wèn)題:

7

在AABC中，ZA=30°,AB=ACfADE/三個(gè)頂點(diǎn)。、E、r分別在比'、AC,AB上.

(1)如圖3,若莊//8C,￡史和莊關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，求NEDC的度數(shù);

(2)如圖4,在A46C中，作于F,以為直徑的圓分別交4C,BC于點(diǎn)、E,D.

①證明：為A4BC的光線三角形;

②證明：AWC的光線三角形是唯一的.

5.(2025?柯城區(qū)模擬)定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱(chēng)這個(gè)三角形為“等底

高三隹形”，這條邊叫做等底線，這條邊上的高叫做等高線.如圖：在4WC,于點(diǎn)。，且9=口九

則A4BC為等底高三角形，叫等底線，CZ)叫等高線.

【概念感知】

判斷:對(duì)的打“4”，錯(cuò)的打“x”.

(1)等邊三角形不可能是等底高三角形.

(2)等底高三角形不可能是鈍憑三角形.

【概念理解】

若一個(gè)等腰三角形為等底高三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為.

【概念應(yīng)用】

(1)若AABC為等底高三角形，等底線長(zhǎng)為2,求三角形的周長(zhǎng)的最小值.

(2)若一個(gè)等底高三角形的其中一邊是另一邊的⑺倍，求最小角的正弦值.

6.(2025?寧波模擬)在二角形的二邊中，若其中兩條邊的積恰好等于第二邊的平方，我們把這樣的

三角形叫做有趣三角形，這兩條邊的商叫正度，記為我(OvEl).

(1)求證：正度為1的有趣三角形必是等邊三角形.

(2)如圖①，四邊形A4C7)中，AD//BC,⑺平分ZA4C,ZACD=ZABC,求證：AAAC是有趣三角

形.

(3)如圖②，菱形A8CZ)中，點(diǎn)E,尸是對(duì)角線B/)的三等分點(diǎn)，DE=DC.延長(zhǎng)8。到P,4更DP=BE.

求證：ABCE,NFCP,ABCP是具有相同正度的有趣三角形.

B①B

7.(2025秋?西城區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)P(%,>>,),Q(X2,為)，定義它們

之間的“直角距離”為d(P,Q)=l4-磐|+|兇一%1?

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩個(gè)圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N

上任意一點(diǎn)，如果產(chǎn)，。兩點(diǎn)間的“直角距離”有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“直

角距離”，記作D(M,N).

(1)已知A(1,O),3(0,2),貝”4(48)=,D(O、A8)=;

(2)已知A(1,O),4(0/)，若Q(0,A3)=l,則f的取值范圍是;

(3)已知A(l,0),若坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足d(P,A)=l,則在圖中畫(huà)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)?所構(gòu)成的圖

形，該圖形的面積是：

(4)已知41,0),4(0,2),直線/過(guò)點(diǎn)(0")且垂直于)，軸，若直線/上存在點(diǎn)。滿(mǎn)足d(Q,A)=d(Q,8),

則/的取值范圍是

8.(2025秋?北侖區(qū)期中)定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)

等胺三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱(chēng)這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三龜形叫做智慧三角形.

(1)如圖1,在智慧三角形中，AD1BC,4)為該三角形的智慧線，6=1,AC*,則4Q長(zhǎng)

為,4B的皮數(shù)為.

(2)如圖2,AABC為等腰直角三南形，ZBAC=9O°,f是斜邊8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AF,以AF為

直角邊作等腰直角三角形A左(點(diǎn)4,F,￡按順時(shí)針排列)，ZE4F=90°,AE文BC于點(diǎn)、D,連結(jié)EC,

EB.當(dāng)NBDE=2NBCE時(shí),求證：瓦)是AE8C的智慧線.

(3)如圖3,AA8C中，AB=AC=5fBC=4框.若MCD是智慧三角形，且AC為智慧線，求MCD的

面積.

9.(2025?岳麓區(qū)校級(jí)二模)定義：在AA8C中，若有兩條中線互相垂直，則稱(chēng)A48C為中垂三角形，

并且把叫做AABC的方周長(zhǎng)，記作L,即A=八4+8丁+C4?.

(1)如圖1,已知AA3。是中垂三角形，BD,AE分別是AC,邊上的中線，若AC=3C,求證：AAO3

是等腰直角三角形；

(2)如圖2,在中垂三角形44c中，AE,BD分別是邊BC,4c上的中線，且于點(diǎn)O,試探

究AABC的方周長(zhǎng)L與A8z之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

(3)如圖3,已知拋物線>=』加」冰-2a與x軸正半軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

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的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D,且40=6,連接AC交)，軸于點(diǎn)E.

①求證：A/WC是中垂三角形;

②若AARC為直南三南形，求/VWC的方周長(zhǎng)/,的值.

圖I圖2

1（）.（2024?義烏市模擬）定義：若AAAC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱(chēng)A44C為“半角

三角形”.

（1）若RtAABC為半角三南形，44=90°,則其余兩個(gè)角的度數(shù)為.

（2）如圖1,在cMC￡＞中，/C=72。，點(diǎn)、E在邊CD上,以8石為折痕，將MCE向上翻折，點(diǎn)石恰好

落在AD邊上的點(diǎn)、F,若所_L4）,求證：為半角三免形；

（3）如圖2,以AA3C的邊為直徑畫(huà)圓，與邊AC交于M,與邊3C交于N,已知AA3C的面積是△CMN

面積的4倍.

①求證：ZC=60°.

②若A4BC是半角三角形，直接寫(xiě)出々的度數(shù).

11.（2024秋?武侯區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：

我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.

理解：

①根據(jù)存異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？（填“是”或“不是”

）

②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、出、2,則該三角形—（填“是”或“不是”）奇異三角形.

探究：

在RtAABC中，兩邊長(zhǎng)分別是a、c,且/=50,?=100,則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

拓展：

在RtAABC中，ZC=90°,AB=cfAC=b,BC=a,且。＞a,若RtAABC是奇異三角形，求

12.(2024秋?余姚市期末)定義：如圖1,D,E在MBC的邊BC上,若AAPE是等邊三甫形則稱(chēng)AAAC

可內(nèi)嵌，ZW犯叫做AA/^C的內(nèi)嵌三角形.

(1)直角三角形可內(nèi)嵌.(填寫(xiě)“一定”、“一定不”或,“不一定”)

(2)如圖2,在AABC中，Zfi4C=120°,AAOE是AABC的內(nèi)嵌三痢形，試說(shuō)明AB?=AOdC是否成立？

如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不一定成立，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

(3)在(2)的條件下，如果45=1,AC=2,求A48C的內(nèi)嵌AA0E1的邊長(zhǎng)

13.(2024秋?宜興市校級(jí)期中)定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角開(kāi)九我們把這

兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線.

(1)請(qǐng)你在圖1中用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為45。的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形

頂角的度數(shù)；(若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種)

(2)AA8C中，ZB=30°,AD和比是AA8C的三分線，點(diǎn)。在3c邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AO=8。，

DE=CE,設(shè)NC=x。，試畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出x所有可能的值；

(3)如圖2,3c中，710=2,BC=3,NC=2N4,請(qǐng)畫(huà)出A/WC的三分線，并求出三分線的長(zhǎng).

14.(2024秋?江陰市校級(jí)月考)定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三南形叫做“友好三角

形”.

性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等.

理解：如圖①，在AA8C中，8是邊上的中線，那么AAC。和ABC。是“友好三角形”，并且又皿=5郎8?

應(yīng)用：如圖②，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)、E在AD上，點(diǎn)、F在BC上,AE=BF,AF與BE

交于點(diǎn)O.

(1)求證：^AOB和MOE是“友好三角形”；

(2)連接O。，若AAOE和龍是"友好三角形”，求四邊形87「的面積.

探究：在AA/3C中，ZA=3O°,43=8,點(diǎn)。在線段44上，連接8,AACQ和MCO是“友好三角形”，

將AAC/)沿C7)所在直線翻折，得到△WCD,美匕AC。與A/WC重合部分的面積等于A4AC面積的L

4

求出AA4C的面積.

15.(2025?平谷區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，對(duì)于A04B,其中A(l,6),3(2,0),給出如下定

義：將Q4邊繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段OC,連接BC,與AQ4B的過(guò)點(diǎn)八的高線交于點(diǎn)P,將

點(diǎn)?關(guān)于直線y="+儀4。0)對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)Q,我們稱(chēng)Q為AQIB的留緣點(diǎn)、.

(1)若攵=1,b=0,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出AO48的留緣點(diǎn)Q,并求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)已知/(-3,0),N(-3,5),若線段MN上存在AQAB的留緣點(diǎn)，求方的取值范圍.

16.(2025秋?泗陽(yáng)縣期末)概念生成

我們把兩個(gè)具有公共底邊的等腰三角形稱(chēng)為同底等腰三角形，公共的這條底邊稱(chēng)為針準(zhǔn)線，稱(chēng)這兩個(gè)

等腰三角形的頂南頂點(diǎn)關(guān)于針準(zhǔn)線互為穿針點(diǎn)，互為穿針點(diǎn)的兩個(gè)頂角頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為穿針線，若再

滿(mǎn)足兩個(gè)頂角的和為18U-,則稱(chēng)這兩個(gè)頂痢頂點(diǎn)關(guān)于針準(zhǔn)線互為補(bǔ)角穿針點(diǎn).

例：如圖1,四邊形A8CZ)中，AB=ADfBC=CD,則AABZ)與A5CZ)稱(chēng)為同底等腰三角形，公共底邊

友)稱(chēng)為針準(zhǔn)線，頂角頂點(diǎn)A與點(diǎn)。關(guān)于8。互為穿針點(diǎn)；當(dāng)ZA+NC=I8O。時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于加＞

互為補(bǔ)角穿針點(diǎn).

概念理解

(1)下列說(shuō)法正確的有.

①同底等腰三角形的穿針線垂直平分針準(zhǔn)線

②如果同底等腰三角形的兩個(gè)頂南頂點(diǎn)關(guān)于針準(zhǔn)線互為補(bǔ)免穿針點(diǎn)，則其中一個(gè)等腰三角形的腰必垂

直于另一個(gè)等腰三角形中具有公共端點(diǎn)的腰.

③在圖1中，與點(diǎn)。關(guān)于8。互為補(bǔ)角穿針點(diǎn)的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè).

(2)如圖2,AB=ADrBE=EDtBC=CD,則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于3?；榇┽橖c(diǎn).

知識(shí)應(yīng)用

(3)在長(zhǎng)方形4無(wú)力中，AI3=\()t4)=8.如圖3,點(diǎn)E在A。邊上，點(diǎn)尸在C。邊上，如果點(diǎn)3和點(diǎn)

E關(guān)于針準(zhǔn)線質(zhì)互為補(bǔ)角穿針點(diǎn)，求針準(zhǔn)線轉(zhuǎn)的長(zhǎng).

(4)如圖4,A4BC中，AC=BC=\Of=16,點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，如果點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于針準(zhǔn)線回

互為補(bǔ)角穿針點(diǎn)，求CD的長(zhǎng).

17.（2025秋?武侯區(qū)期末）【閱讀理解】

在平面直南坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（a,Z;）（其中a>0,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)給出如下定義：

將點(diǎn)P先向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P,點(diǎn)/關(guān)于直線OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

為Q.那么我們稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的“平對(duì)點(diǎn)”.

【遷移運(yùn)用】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)例（〃為）（其中a>0,人>0）,點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)0為點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)

M的“平對(duì)點(diǎn)”.完成下列各題：

（1）當(dāng)〃=1,■=2時(shí).

i）如圖1,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,1）,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)Q;

ii）如圖2,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,2）,連接PQ,求PQ的長(zhǎng);

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OM左側(cè)時(shí)，連接PQ,OP,若直線PQ與直線OM相交所形成的銳角為45。，求線

段OP的長(zhǎng)的最小值（用含a,〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2品用圖

18.（2025秋?青原區(qū)期末）我們新定義一種三南形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊

上高的平方，則稱(chēng)這個(gè)三痢形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

?特例感知

①等腰直角三角形勾股高三角形（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)“是”或者“不是”）;

②如圖1,已知AABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，CD是邊上的高.若80=24）=2,試

求線段CZ）的長(zhǎng)度.

?深入探究

如圖2,已知A4BC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且C4>CB,CO是A8邊上的高.試探究線段

AO與C8的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

?推廣應(yīng)用

如圖3,等腰A45C為勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CD為/W邊上的高，過(guò)點(diǎn)。向AC邊引平行

線與AC邊交于點(diǎn)石.若CE=a,試求線段上的長(zhǎng)度.

19.（2025秋?石景山區(qū)期末）在RtAACB中，ZAC8=90。，CA=CB=6t點(diǎn)2是線段C8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)8,C重合），過(guò)點(diǎn)尸作直線/_LC8交于點(diǎn)Q.給出如下定義：

若在AC邊上存在一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N恰好在AAC8的邊上，則稱(chēng)點(diǎn)、M是AAC8的

關(guān)于直線/的“反稱(chēng)點(diǎn)”.

例如，圖1中的點(diǎn)〃是A4C8的關(guān)于直線/的“反稱(chēng)點(diǎn)”.

（1）如圖2,若CP=1,點(diǎn)M，M2,%,%在AC邊上且AM|=1,AM,=2,AM.=4,AM4=6.在

點(diǎn)%,%，%，%中，是AAC3的關(guān)于直線/的“反稱(chēng)點(diǎn)”為

（2）若點(diǎn)M是AAC6的關(guān)于直線/的“反稱(chēng)點(diǎn)”，恰好使得AAC7V是等腰三角形，求AM的長(zhǎng);

（3）存在直線/及點(diǎn)使得點(diǎn)時(shí)是AAC3的關(guān)于直線/的“反稱(chēng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出線段CP的取值范圍.

圖I

20.（2025秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）定義：如圖①，若線段回沿點(diǎn)M、N能折成一個(gè)直角三角形AMN（其

中A、4兩點(diǎn)亞合），則稱(chēng)點(diǎn)〃、N是線段M的“七△"折點(diǎn)；若"是直痢頂點(diǎn)，則稱(chēng)"為線段包

的“RIZ”

折點(diǎn).

（1）當(dāng)AM=2.5,MN=2,8N=1.5時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段AB的“RtN”折點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)M、N是線段A3的“R/△”折點(diǎn)，且AM為直角邊，AB=12,AM=4,求BN的長(zhǎng):

（3）如圖②，AE=16,BC=4,8=5,將線段4?沿4、C、。三點(diǎn)折成含2個(gè)直角的四邊形（其

中A、E兩點(diǎn)重合），且A、E不是線段AE的“RtN”折點(diǎn),直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度.

AMNB

圖①

ABCDE

圖②

1.（2025?廣陵區(qū)校級(jí)四模）我們定義：若一個(gè)三角形最大邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條

線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到最人邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形的“比例中點(diǎn)例如：

如圖1,已知鈍角AABC中，ZACB是鈍角，點(diǎn)。是上的一點(diǎn)，連接CD,若CD2=ADBD，則稱(chēng)點(diǎn)

。是AABC的“比例中點(diǎn)

（1）如圖2,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8在），軸上，ZBAO=30°,若點(diǎn)M是AAO8的“比例中點(diǎn)”,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)（1，向或（2,絲）_：

（2）如圖3,己知AA8C中，AB=28,ZA=45°,tanB=-,若點(diǎn)N是AA8C的“比例中點(diǎn)”，求4V;

4

（3）如圖4,己知&WC是等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟龋云渲腥我庖粭l邊都可以看

成最大邊，試判斷等邊三角形有沒(méi)有“比例中點(diǎn)”？說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）如圖2所示，

過(guò)點(diǎn)M作必V_LO3于點(diǎn)N,連接OM,

.,已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)5在），軸上，“40=30。,

4后

/.OA=4.OB=OAxtanZBAO=---,

3

設(shè)8M=x,^AM=AB-x=-------------X9

3

6

/.BN=-x,NM——x

22

在RtAOMN中，OM1=MN?+ON1=--x)2,

2

「點(diǎn)M是AAOB的“比例中點(diǎn)”,

:.OM2=BMAM,

BM:巫或BM二巫,

33

ow26p-f.x/32>/3

坐KjfKJDWON=OB-BN=^—B=+,即M(1,G)；

322333

吆DAX4\/5nJ-szV3V34A/5czRZ4X/32X/32X/3即....2后、

ON=OnBR-BN=--------=---9即A?(2,);

32233333

故答案為：(1,G)或(2,孚)；

(2).,點(diǎn)N是08。的“比例中點(diǎn)”，

:.CN?=ANBN,

設(shè)AN=x,則4N=/W-AV=28-K,

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)Q,

圖3

3

AABC中，AB=28,ZA=45°,tanB=-,

4

4

:.AD=CD.BD=-CD,

3

設(shè)八。=DC=3Z,貝ljAO=4A,

:.AB=7k,

.?.74=28,

解得：&-=4,

.\AD=CD=12,08=16,

/.CN2=CD2+*=12?+(12-.I)2,

/.122+(12-A)2=X(28-X),

解得：x=8或x=18,

.?.4V=8或18；

(3)等邊三角形沒(méi)有“比例中點(diǎn)”.理由如下：

設(shè)點(diǎn)N是AAKC的“比例中點(diǎn)”，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為“,

:.CN)=ANBN,

設(shè)4V=x,則3N=AB-4V=a7,

如圖4所示，過(guò)點(diǎn)C作CD_LA8于點(diǎn)

圖4

AA8C中，AB=a,

/.AD=—a>BD=—a,CD=a,

222

3I

/.CN2=CD2+ND2=-a2-(-a-x)2,

42

3J、2/、

-a2+(-d-x)*=x(a-x)?

此方程無(wú)解，

.??等邊三角形沒(méi)有“比例中點(diǎn)”.

2.(2025秋?泰興市期中)我們類(lèi)比黃金分割點(diǎn)給出如下定義：如圖點(diǎn)〃、N、Q在同一條直線上,

絳=2,則稱(chēng)點(diǎn)N為［P,Q］的“銀杏點(diǎn)”.特別地，若N為PQ的中點(diǎn)時(shí)，則Q為［P,N］的“銀杏點(diǎn)”，

NQ

P也為［0,N］的“銀杏點(diǎn)”.

(1)已知PQ=6,點(diǎn)N在線段P。上，若點(diǎn)N為［Q,P］的“銀杏點(diǎn)”，則*2.

(2)如圖，O為A44C的重心，則下列說(shuō)法正確的是—(填序號(hào)).

①O為［A,0的“銀杏點(diǎn)”；

②E為［8,O］的“銀杏點(diǎn)”；

③。為［8,C］的“銀杏點(diǎn)”;

④。為［4,E］的“銀杏點(diǎn)”.

(3)如圖，在RtAEFG中，ZEFG=90°.若FG=12,tanZFGF=-.

4

①求￡G的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)用在邊EG上，且M、E、G中有一點(diǎn)為其它兩點(diǎn)的“銀杏點(diǎn)”.點(diǎn)K在直線AG上，且

ZEFM=/FKM.求GK的長(zhǎng).

A

圖3

【解答】解：(1)?.?點(diǎn)N為［Q,P］的“銀杏點(diǎn)”,

.?導(dǎo)

:.NQ=2NP，

\PQ=6f

:.NP=2y

故答案為：2；

(2)如圖1,連接。E,

?.?點(diǎn)O,E分別是8C,AC的中點(diǎn),

:.DE3AB,且AB=2￡>E,

AO:OD=8O:OE=AB:DE=2,

.?.點(diǎn)O是［A,0的“銀杏點(diǎn)”，點(diǎn)O是［8,初的“銀杏點(diǎn)”故①正確，②不正確;

?.,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),

.?.8為［C,。］的“銀杏點(diǎn)”，C也為［8,Q］的“銀杏點(diǎn)”；故③不正確;

點(diǎn)石是AC的中點(diǎn)，

「.A為［C,E］的“銀杏點(diǎn)”，。也為［A,目的“銀杏點(diǎn)”；故④正確;

故答案為：①④;

(3)①在RtAEFG中，ZEFG=90°.

EF3

/.tanZEGF=----

FG4

設(shè)E尸二3〃，則FG=〃,

EG=5a，

\FG=12,

/.4d/=12,即a=3,

/.EF=9,EG=\5.

②根據(jù)題意可知，需要分三種情況：

I、如圖2,當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)石為［G,M］的“銀杏點(diǎn)”或點(diǎn)G為［E,的“銀杏點(diǎn)”;

圖2

此時(shí)=MG=FM=4EG=7.5,

2

/.ZE=Z.EFM，

:空FM=/FKM,NEFM+ZMFK=90。,

;.ZMFK+ZFKM=90P,即NEWK=90°,

?./EFG=/FMK=9QP,/E=4FKM,

.-.AEFG^AAMF，

:.FG:FM=EG:FK,BP12:7.5=15:FA：,

解得尸K=三，

8

7521

;.KG=12-FK=T2一一;

88

II、當(dāng)點(diǎn)M為［E,G］的“銀杏點(diǎn)”，有EM:MG=2,

；.EM=10,MG=5,

圖3

過(guò)點(diǎn)M作MN_L于點(diǎn)N,

.\ZA^VE=90°,

：.ZMNE=NEFG=%。,

:.MNUFG,

1.MN.FG=EN:FE=EM;EG,即4^V:12=￡7V:9=10:15,

:.MN=8,EN=6,

:.FN=3,

.\FM=y/13,

當(dāng)ZMFN=/FKM,NFNM=NFMK=財(cái)時(shí),

則有MNMS^KMF,

:.FM:FK=MN:MF,即萬(wàn):"K=8:6，

.?.rFtK\」----3，

8

7323

..KG=FG-FK=\2--;

88

III、如圖4,當(dāng)點(diǎn)用為［G,E］的“銀杏點(diǎn)”，則有MG:石M=2,

.\A/G=10,EM=5,

過(guò)點(diǎn)M作MN_LE尸于點(diǎn)N,

:./MNE=90。,

^MNE-^EFG-90°,

:.MN//FG,

.\MN:FG=EN:FE=EM.EG,即MV:12=￡7V:9=5:15,

:.MN=4,EN=3,

:.FN=6,

FM=2>/i3,

若ZEFM=NFKM,則需要分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)K在尸M的右側(cè)時(shí)，由上可知，NFMK=9()。,

此時(shí)ZMFN=/FKM,/FNM=ZFMK=900時(shí)，

:.MNMs^KMF,

;.FM:FK=MN:MF,即2m:屐=4:2而，

..FK=13,

/.ATG=FA：-FG=13-12=1;

當(dāng)MK在EM的左側(cè)時(shí)，記為K,

：.ZMKF=ZMKF,

過(guò)點(diǎn)M作MS_LAG于點(diǎn)S,則S為KK的中點(diǎn)，四邊形MW3是矩形,

:.SK=SK,FS=MN=4,

:.SK=FK—FS=\3=A=<),

；.K'K=2SK=\8,

K'G=KK'-GK=V1,

綜上，符合題意的KG的值為一或17或1或去

3.(2025?任城區(qū)三模)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(.wd).如圖①在A48c

中，由心頂角A的正對(duì)記作朝，這時(shí)腐=^=景容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正

對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(1)5cH60。-1

(2)sad900=

(3)如圖②，已知sinA=3,其中ZA為銳角，試求$＜以4的值.

5

【解答】解：⑴sa/60°=l;

(2)sad90°=yf2；

(3)沒(méi)AB=5a,BC=3a,則AC=4a,

在AB上取AD=AC=4〃，作OE_LAC于點(diǎn)石，如圖所示:

貝ljDE=AD-sinA=4a--a，AE=ADcosA=4a—=—a,

5555

CE=4ci-a=^a,CD=x/cE2+DE2=+(生-=g屈〃,

CDM

sadA=

~AC~~T

4.（2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）定義1：如圖1,若點(diǎn)”在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以，為端點(diǎn)的

線段NH,滿(mǎn)足N1=N2,則稱(chēng)和N“關(guān)于直線/滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2,在AA6C中，△尸QR的二個(gè)頂點(diǎn)尸、Q、尺分別在6C,AC、AB上，若尺P和Q尸美于

BC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QK關(guān)于A6滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，則

稱(chēng)"QR為M5C的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問(wèn)題:

在AABC中，ZA=3O°,AB=AC^位比F三個(gè)頂點(diǎn)。、E、產(chǎn)分別在AC、AC,ABh.

（1）如圖3,若FE//BC,/犯和77?關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，求NKDC的度數(shù);

（2）如圖4,在AABC中，作CFJLA8于尸，以為直徑的圓分別交AC,BC于點(diǎn)E,D.

①證明:ADEF為MBC的光線三角形;

②證明:A43C的光線三角形是唯一的.

圖1圖4

【解答】（1）解：如圖3中，，??AB=AC,ZA=30°,

-.ZB=ZC=75°,

?:EFNCB,

:.ZAEF=75°,

小和EE關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，

ZAEF=ZDEC=75°,

NEDC=180°-/DEC-NDCE=18()°-75°-75°=30°;

（2）①證明：如圖4中,

BD

圖4

?.AB=AC,Z4=30°,

AZB=ZACB=75°,

?.4?是直徑，

/.ZA￡?=90o，

ADIBC

BD=CD,ZBAD=ZCAD，

BD=DE,

:.BD=DE,

?.CF1AB,

.'.ZCFS=90°,

?.DB=DC,

:.DF=DB=DC,

:.DF=DB=DE=DC,

/B=NDFB=75°,/DCE=/DEC=75°,

:./FDB=/EDC=3H

；.DF,比關(guān)于8C滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì)，

ZD￡F=180o-300-30°=120o,DE=DF,

:.ZDEF=/DFE=3G,

:.ZDEF=ZEDC,

:.EF/!BC,

ZAEF=ZACB=75°,ZAFE=NB=75°,

/.ZAFE=NDFB=75°,ZAEF=ZDEC=75°，

:.FE,關(guān)于AC滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì)，EF,。尸關(guān)于/W滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì),

「.AZ羽'是為AA3C的光線三角形；

②證明：由①可知，DE=DF=DB=DC,ZEDF=120°,

.?.M/花是頂角為120。，腰長(zhǎng)為4c的一半的等腰三角形，

.?.AP“是唯一確定的，

.?.A48C的光線三角形是唯一的.

5.（2025?柯城區(qū)模擬）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱(chēng)這個(gè)三角形為“等底

高三角形”，這條邊叫做等底線,這條邊上的高叫做等高線.如圖：在8_148于點(diǎn)。，且他=8,

則AA阮為等底高三角形，45叫等底線，8叫等高線.

【概念感知】

判斷:對(duì)的打錯(cuò)的打“x”.

（1）等邊三角形不可能是等底高三角形._4_

（2）等底高三角形不可能是鈍角三角形.—

【概念理解】

若一個(gè)等腰三角形為等底高三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為一.

【概念應(yīng)用】

（1）若加比:為等底高三角形，等底線長(zhǎng)為2,求三角形的周長(zhǎng)的最小值.

（2）若一個(gè)等底高三角形的其中一邊是另一邊的石倍，求最小角的正弦值.

【解答】解：【概念感知】

（1）V,邊與高構(gòu)成直角三角形，斜邊不可能等于直角邊；

（2）K,如圖1,高在一邊的延長(zhǎng)線上即可.

【概念理解】分兩種情況：第一種情況如圖2-1,底邊上的高等于底邊時(shí),

設(shè)80=〃，則8=

/.BC=AD=2Z7,

在RtAABD中，AB=AC=dAD?+BD1=JQK）、/=瓜,

.\AB:AC:BC=y/5iy/5:2.

第二種情況，如圖2-2,等腰直角三角形中，兩個(gè)腰分別為底和高時(shí)，

設(shè)BC=a>則AC=a?

在用RlAABC中，AB=y/2af

【概念應(yīng)用】

(1)如圖3,BC=AD=2,設(shè)8￡>=X(0VXV2),則CZ)=2-X,

.?.在RtAABD中，48=6+4,

在RtAACD中，AC=^+(2-x)2,

=4x~+4++(2-x)~+2.

???丘+4是點(diǎn)(2,0)到(0,x)的距離，

也+(2-幻2是點(diǎn)(2,2)至I](()」)的距離，

如圖4,作(2,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-2,2),

則(-2⑵到(2,0)距離即為所求.

二?(，AABC)而"=2+26-

(2)如圖1,設(shè)=

BC=AD,

AB=45AD,

設(shè)8C=AO=a,

AB=x[5a,

BD=&屈)-2=2a,

:.CD=a.

四=親叵

AB&5

9上寺石,

AB舊a5

又A、4均為銳角，。為鈍角，且sinBvsingA.

二.ZiS最小，sinB=-^-

故答案為4.

6.(2025?寧波模擬)在三角形的三邊中，若其中兩條邊的積恰好等于第三邊的平方，我們把這樣的

三角形叫做有趣三角形，這兩條邊的商叫正度，記為內(nèi)0＜二1).

(1)求證：正度為1的有趣三角形必是等邊三角形.

(2)如圖①，四邊形A8CD中，AD//BC,8。平分ZA3C,ZACD=ZABC,求證：zMBC是有趣三角

形.

(3)加圖②，菱形A4CD中，點(diǎn)E,廠是對(duì)角線班＞的三等分點(diǎn)，DE=DC.延長(zhǎng)班)到P,使DP=BE.

求證：ABCE,&FCP,ABCP是具有相同正度的有趣三角形.

AB,

/.——=1,

AC

：.AB=AC，

22

?.BC=ABAC=ABf

?.BC=AI3=AC,

AABC是等邊二角形;

(2)如圖①中，yADIIBC,

；.ZADB=NCBD,ZDAC=ZACB,

\BD立分ZABC,

：.ZABD=ZCBD,

：.ZABD=ZADB,

AB=AD，

\'ZACD=ZABC,

.?.AmCsAACB,

DAAC

..-----=------，

ACCB

ABAC

??-----=------，

ACCB

2

AC=ABCBf

.?.A/WC是有趣三角形；

(3)如圖②中，?.,點(diǎn)七，尸是對(duì)角線8。的三等分點(diǎn)，DP=BE,

:.BE=EF=FD=DP,

：.BF=DE=FP,

?.?四邊形A&7)是菱形，

CB=CD，

CD=DE,

,,CB=CD=BF=DE=FP,

,:CD=CB,

:"CBD=/CDB,

.?.△C8E=△CW?(SAS),

:.CE=CF,ZBCE^ZDCF,

?(DC=DE,

:"DCE=NDEC,

：.ZDCF+4ECF=NCBE+ZECB,

；.ZECF=/CBE,

r/CFE=/CFB,

:MCES'BC,

?-C-F=-E-F-，

FBCF

：6=EFFB,

2

:.EC=BECBf

「.AECB是有趣三角形，

CF?=FDFP,

CFFP

~DF~^Ff

、；NCFD=NCFP,

.'.ACFD^APFC,

-C-D=-C-F-，

CPPF

2

:.PF=CPCFf

.?.APC『是有趣三角形，

??bCFD^^PFC,

ZCDF=4PCF=NPBC,

"=NP,

:NCFS"BC,

.PCPF

~pii~~pcf

:.PC?=PBCB,

:."CB是有趣三角形，

??AEC8的正度=些=,，APb的正度=竺=半￡=^=平F=LAPC8的正度=包=」,

CB2CP“F.PB2y/2DF2PB2

/.ABCE,NFCP,ABCP是具有相同正度的有趣三角形.

7.（2025秋?西城區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)尸（玉，y）,Q（七，力），定義它們

之間的“直角距離”為d（P,Q）=Ufl+ly-y2l?

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩個(gè)圖形也，N,給出如下定義：?為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N

上任意一點(diǎn)，如果尸，Q兩點(diǎn)間的“直角距離”有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“直

角距離”,記作5M,N）.

(1)已知A(1,O),8(0,2),則d(A8)=3,0(0,A3)=

(2)已知A(1,O),8((V),若ZX0,A3)=l,則f的取值范圍是;

(3)已知A(1,O),若坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)尸滿(mǎn)足d(P,A)=l,則在圖中畫(huà)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P所構(gòu)成的圖

形，該圖形的面積是—:

(4)已知4(1,0),8(0,2),直線/過(guò)點(diǎn)(0")且垂直于)，軸，若直線/上存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足d(Q,A)=d(Q,8),

則/的取值范圍是—?

-3-2-iO123*

-I-

-2?

-3-

【解答】解：(1)由題意d(A,B)=l+2=3,〃(。4)=1+0=1,d(O,B)=2+0=2,

AB)=d(O,A)=l,

故答案為：3,1；

(2)由題意d(O,5)=|r|,

當(dāng)I/I..1時(shí)，滿(mǎn)足條件，

或電-1；

故答案為：/..I或-1；

(3)如圖，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。在正方形O律G上，面積=(揚(yáng)、2.

故答案為：2.

（4）設(shè)@加,/）.

d(。，A)=d(Q,B),

.[〃L11+|”=|〃71+|/-2|,

當(dāng)/>2或/<0時(shí)，無(wú)解，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q,

當(dāng)斕2時(shí)，\m-l\+t=\m\+2-t,

當(dāng)切<0時(shí)，1—zw4-/=—m+2—r,解得/=1,

當(dāng)怎版1時(shí)，\—m+t=m+2—t,

1

m=t——，

2

二解」1,

2

??2二知。2

,3

當(dāng)時(shí)，〃z—l+/=/〃+2—/,I=—?

2

綜上所述，滿(mǎn)足條件的/的值為：，到3,

22

故答案為：1-||2.

22

8.（2025秋?北侖區(qū)期中）定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)

等腰三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱(chēng)這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形.

（1）如圖1,在智慧三角形ABC中，ADLBC,4）為該三角形的智慧線，8=1,AC=班,則比）長(zhǎng)

為2,的度數(shù)為.

（2）如圖2,AA4C為等腰直角三角形，ZBAC=90°,尸是斜邊4c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連紜,以A/為

直角邊作等腰直角三角形人正（點(diǎn)A，F(xiàn),E按順時(shí)針排列），NE4尸=90。，交8c于點(diǎn)。，連結(jié)EC,

EB.當(dāng)NA/）E=2NBCE時(shí)，求證：是AEBC的智慧線.

（3）如圖3,A48C中，AB=AC=5,BC=4#.若是智慧三角形，且AC為智慈線，求妨8的

面積.

m：1

【解答】（1）解：-ADVBC.

:.ZADB=ZADC=90°.

CD=1，AC=>/5,

AD=VAC2-CD2=7（V5）2-I2=2，

M3C是智慧三角形，

.?.A4QB是等腰直角三角形，

:.BD=AD=2,NB=45。,

故答案