考點(diǎn)21.與圓有關(guān)的計(jì)算（精練）

限時(shí)檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2025?山東青島一模）如圖，點(diǎn)人、夙C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若乙4。8=18。,

則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）

A.10B.12C.15D.20

2.（2025?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形A8CD即內(nèi)接于。，若。的周長等于6兀，則正六邊形的

A23GR7>/21r2173n27G

4332

3.（2025?江蘇?統(tǒng)考三模）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形A8C,糧堆母線AC的中

點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在3處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)尸處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)

4.（2025?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長為2的小正六邊形

4BCDE尸的中心。重合，且與邊AB,8相交于點(diǎn)G,”.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段G8,8C,

。〃的長度之和記為/,在大止六邊形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)過程中，S和/的值分別是（）

A.2百，4B.石，6C.4,GD.S和/的值不能確定

5.（2025?福建泉州?校考模擬預(yù)測）如圖，。是正五邊形的內(nèi)切圓，分別切A8,CO于點(diǎn)M,M

P是優(yōu)弧M*上的一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.72°D.80°

6.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后,

開始倒轉(zhuǎn)"沙漏"，"沙漏"漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）."沙漏"是由一個(gè)圓錐體

和?個(gè)圓柱體相通連接而成.某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm：圓柱體

底面半徑是女m,液體高是7cm.計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（）

圖（1）圖（2）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.（2025?遼寧盤錦?統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個(gè)工徑為R、圓心角為90。的扇形；和一半徑為

，?的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與，?的關(guān)系為（）

A.R=2rB.R=4rC.R=2揚(yáng)D.R=6「

8.（2025?河北衡水??？寄M預(yù)測）如圖，在正六邊形A8CDEF中，點(diǎn)M,N分別在對角線防和C/上,

且BM:ME=FN:NC=1:3,則S。小S"的值為（）

4

D.-

5

9.（2025?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，等邊58C是。的內(nèi)接三角形，若：。的半徑為2,則./8C的邊

長為____________.

10.（2025?山東莉澤?統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形A8C內(nèi)接于GO,半徑。4=3,則圖中陰影部分的面積

是,（結(jié)果保留兀）

11.（2025?陜西渭南?統(tǒng)考一模）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近

圓來近似計(jì)算圓的面積.如圖，若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積S來近似估計(jì)O的面積S,設(shè)。的半徑為

2,則的值為.（結(jié)果保留不和根號）

12.（2025?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為。的銳角NCOD頂點(diǎn)在圓心

。上，這個(gè)角繞點(diǎn)。任意轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，扇形CO。與扇形A08有重疊的概率為盤，求［=.

13.（2025?河南周II??？寄M預(yù)測）如圖，扇形的圓心角NAMH=60。，將扇形4Mg沿射線平移

得到扇形CM）,已知線段CN經(jīng)過A8的中點(diǎn)七，若4M=26,則陰影部分的周長為.

14.（2025?陜西咸陽??？既＃┑聡麛?shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級時(shí)得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并

給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件.下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知AB是的直

徑，分別以A,8為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C,D兩點(diǎn)若AB的長為2,則圖中CA。的

長為.（結(jié)果保留〃）

15.（2025?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的：。中，沿弦A8折疊，A8恰好經(jīng)過圓心。，則圖中

陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

16.（2024?山東泰安?一模）如圖，把長為“，寬為〃的矩形紙片A8CO分割成正方形紙片AAPE和矩形紙片

EFCD后,分別裁出扇形/W/和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則;=

17.（2025?湖南湘西??？级＃┰跀?shù)學(xué)實(shí)踐活動中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個(gè)扇形，

并由這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐模型［如圖②所示），若扇形的圓心角為120。，圓錐的底面半徑為2,則此圓錐

的母線長為.

18.（2025?廣西欽州??？寄M預(yù)測）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為2的網(wǎng)格圖中，?段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)4,

B，C,格點(diǎn)A,。的連線交圓弧于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積為

19.（2025?浙江溫州??？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人.該建筑底部是由24

片全等"花瓣"組成的"固定花環(huán)〃，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣〃均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展

開.小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花〃變化狀態(tài).穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂

點(diǎn)4,正八邊形頂點(diǎn)用與圓心o共線，正二十四邊形頂點(diǎn)A，%與正八邊形頂點(diǎn)共線，則熱■

ivi?ivia

的值為;穹頂開啟時(shí).，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時(shí)繞著固定點(diǎn)知2,…，Mg逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn).圓

心。繞M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為O1,以此類推，當(dāng)a落在上時(shí)，若=67.5米，則的值為米.

（圖①）

20.（2025?山東青島?統(tǒng)考一模）【問題提出】

正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑拉和中心角有什么關(guān)系？

【問題探究】

如圖①，"WC是等邊三角形，半徑OA=R,NA08是中心角，P是內(nèi)任意一點(diǎn)，P到一4BC各邊

距離巴，PE、尸。分別為h%%，設(shè)“8C的邊長是。，面積為S.過點(diǎn)。作OML48.

0OM=Reos—ZAOB=/?cos60°,AM=Rs\x\—Z.AOB=/?sin60°,AB-2AM-2/?sin60°,

22

2

05i.=35?/iAlznoR=3x2-ABxOM=3Rsin60°cos60°,①

13sAsc又可以表示（九+4+4）②

聯(lián)立①②得+4+H）=32sin60Ocos6（）°

0^X2/?sin60。（4+&+%）=3/?2sin60°cos60°

0h}+色+h3=3Rcos60°

【問題解決】如圖②，五邊形4JC/5E是正五邊形,半徑。4=R,NAO8是中心角，。是五邊形內(nèi)

任意一點(diǎn)，尸到五邊形ABCQE各邊距出7、PM、PN、PI、PL分別為九、與、為、九、k參照（1）的分

析過程，探究匕+生+4+4+%的值與正五邊形ABCDE的半徑”及中心角的關(guān)系.

【性質(zhì)應(yīng)用】（1）正六邊形（半徑是大）內(nèi)任意一點(diǎn)尸到各邊距離之和々+%%十生+%=.

（2）如圖③，正〃邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和4+為+-+/*+兒=.

限時(shí)檢測2：最新各地中考真題（50分鐘）

1.（2025年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A8CQ內(nèi)接于（O,。的半徑為3,ZD=120°,

則AC的長是（）

C.2乃D.4萬

2.（2025年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在扇形AO8中，NAOB=60。，OD平分NAOB交AB于點(diǎn)、

。，點(diǎn)。是半徑O"上?動點(diǎn)，若則陰影部分周長的最小值為（）

D.2夜吟

3.（2025年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn).48C外接圓的一部分，小正方

形邊長為1,圖中陰影部分的面積為（）

4.（2025年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形A8CO網(wǎng)接于（O,分別以4&BC、CD、A。為直

徑向外作半圓.若A3=4,8C=5,則陰影部分的面積是（）

A.—7i—20B.—7T—20C.207rD.20

42

5.（2025年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”,

即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割,

則與圓周合體，而無所失矣〃.“割圓術(shù)〃孕育了微枳分思想，他用這種思想得到了圓周率冗的近似值為

3.1416.如圖，。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)：。的面積，可得不的估

計(jì)信為地，若用圓內(nèi)接正十二功形作近似估計(jì),可得）的估計(jì)信為（）

2

A.VJB.2五C.3D.2x/3

6.（2025年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線跖的中點(diǎn)，人B為底面圓的直徑，S8=6,

AB=4,一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到。點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（）

C.3&D.66

7.（2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志.如圖是高鐵

線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（凹圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A,曲線終點(diǎn)為3,過點(diǎn)A8的

兩條切線相交于點(diǎn)C,列車在從A到8行駛的過程中轉(zhuǎn)角。為6（）。.若圓曲線的半徑OA=1.5km,則這段圓

曲線A8的長為（）?

A.—kmB.—km

42

8.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖,正六邊形4BCOE/內(nèi)接于團(tuán)0,半徑為6,則這個(gè)正六邊形的邊心距

0M和6c的氏分別為（）

4乃

C.2石，TD.3yfs,2R

9.（2025年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，該幾何體是由?個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。。為血，則其側(cè)面展開圖的面積為

C.3信D.4百冗

10.（202S年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））如圖，正八邊形的邊長為2,對角線8相交于點(diǎn)￡.則

線段BE的長為

11.（2025年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的高為26，母線長為3,沿一條母線將其側(cè)面展開,

展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含乃的式子表示）.

12.（2025年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)

算圓弧長度的“會圓術(shù)"，如圖.A6是以。為圓心，為半徑的圓弧，。是弦AB的中點(diǎn)，。在A6上，

CD2

O）_LA4."會圓術(shù)"給出.長/的近似值$計(jì)算公式：s=AB^—,當(dāng)04=2,2405=90。時(shí)，

OA

|/-5|=.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

13.（2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題）用半徑為24cm,面枳為120兀cm?的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的

側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為cm.

14.（2025年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人

段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水

車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都〃的象征.如圖2是水車舀水灌溉;示意圖，水

車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，

當(dāng)水流沖動水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)A處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。上

升至輪子上方3處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉(zhuǎn)動到3處（倒水）所經(jīng)過的路程是米.（結(jié)果保留不）

'B

圖I圖2

15.（2025?黑龍江綏化?中考真題）如圖，正六邊形A4CDEb和正五邊形內(nèi)接于［O,且有公共頂點(diǎn)

16.（2025年山東省前澤市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正八邊形A4CDE尸GH的邊長為4,以頂點(diǎn)八為圓心，AB

的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留汗）.

17.（2025年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起,

連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到二ABC，則tan/ACB的值是.

18.（2025?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在正六邊形48CDEF中，48=6,點(diǎn)M在邊AF上，且44=2.若經(jīng)過

點(diǎn)M的直線/將正六邊形面積平分，則直線/被正六邊形所截的線段長是.

19.（2025?四川成都?中考真題）如圖，已知團(tuán)。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以隨

意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是.

20.（2025?浙江金華?中考真題）如圖1,正五邊形A8CQE內(nèi)接于00,閱讀以下作圖過程，并回答下列問題,

作法：如圖2,①作直徑人F；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與同。交于點(diǎn)M,N；③連接4%

⑴求乙48c的度數(shù).（2）AAMN是壬三角形嗎？請說明理由.（3）從點(diǎn)4開始，以。N長為半徑，在回。上依次

截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正〃邊形，求。的值.

考點(diǎn)21.與圓有關(guān)的計(jì)算（精練）

限時(shí)檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2025?山東青島一模）如圖，點(diǎn)人、夙C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若乙4。8=18。,

則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）

A.10B.12C.15D.20

【答案】A

【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到4徒=36。，根據(jù)中心角的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，

團(tuán)NAO8=18。，回NAO8=2/4O8=36。，回這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為2—=10.故選：A.

36°

【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理.

2.（2025?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形AAU陀戶內(nèi)接于O,若O的周長等于6兀，則正六邊形的

23G7V2T21石27G

\?----D.-------

43—~2~

【答案】D

【分析】連接08、OC,根據(jù)圓的周長得到圓的半徑，再利用正六邊形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：連接08、OC,作OHLBC于點(diǎn)H,

山。的周長等于6兀，0。的半徑為：紋二3,

2萬

360°

團(tuán)六邊形48COM是正六邊形，0Z5OC=^—=60°,EhBOC是等邊三角形，⑦BC=OB=OC=3,

6

^OH=OBsinZOBC=3x—=—,0S=i-=-x3x—=

228。。2224

”且故選D.

42

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形中心角等于60。，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正六邊形

的面積，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?江蘇?統(tǒng)考三模）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形A8C,糧堆母線AC的中

點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在6處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)

過的最短路程是（）

C.36D.4

【答案】B

【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間

的距離的問題.根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為6a〃的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓.點(diǎn)3是半圓

的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)〃是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)3和〃在展開圖中的距離，就是

這只小貓經(jīng)過的最短距離.

【詳解】解：圓錐的底面周長是6乃，則6乃=喏，.??〃=180。，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度.

Iov

則在圓錐側(cè)面展開圖中AP=3,AB=6,=度.

「?在圓錐側(cè)面展開圖中BP=7?行.故小貓經(jīng)過的最短距離是3K.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開一最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解

答此題的關(guān)鍵.

4.（2025?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長為2的小正六邊形

A3C。所的中心。重合，且與邊八A,C。相交于點(diǎn)G,圖中陰影部分的面積記為S,三條線段GB,BC,

。，的長度之和記為/，在大正六邊形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)過程中，S和/的值分別是（）

A.26，4B.G，6C.4，+D.S和/的值不能確定

【答案】A

【分析】連接04、OC、OB、OD,作ORJ.AB,垂足為R,證明,"O0..AOG.再利用平行四邊形的面

積公式和正六邊形的性質(zhì)即可得到陰影部分的面積S和/的長度.

【詳解】解：連接。4、OC、OB、OD,作垂足為R,

團(tuán)多邊形A8CDEF是正六邊形，0ZCOD=Z4OB=6O°,

團(tuán)QA=OC,團(tuán)。A8和△CO。是等邊三角形，0ZCBA=12O°,^OA//BC,OA=BC,

團(tuán)四邊形OWC是平行四邊形，0ZAOC=12O°,0Z/7OG=12O°.0ZHOC=ZAOG,

/HOC=/AOG

在，”O(jiān)C和一AOG中，，OC=OA,S1,.HOC^.GOA（ASA）,

ZOCD=ZOAB=60°

0AG=CH,回5明=5四邊形0ABe=OR-AB,國OA-OB=AB=BC=2,

0OR-QA-sin60°=2x-->/3,S5陰=S四邊形OAAC=OR'=<2^3,

^l=GB+BC+CH,AB=GB+GA,⑦AB=GB+CH,國/=48+8C,

回AB=3C,0/=2BC=4,故答窠為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，掌握全等三角形判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?福建泉州??？寄M預(yù)測）如圖，。是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，分別切入B,CD于點(diǎn)M,N,

P是優(yōu)弧MN上的一點(diǎn)，則NM/W的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.72°D.80°

【答案】C

【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出NB=/C=108。，根據(jù)切線的定義得出NOM8=NOM?=90。，進(jìn)而可

得/MON,再根據(jù)圓周角定理可得/MPN=g/MON.

（52Xl8QO

【詳解】解：??五邊形"8石是正五邊形，/.ZB=ZC=-*=108°,

。切A6,CD于點(diǎn)例，N,..NQMB=NCWC=90。，

又?.?五邊形3MONC的內(nèi)角和為（5-2）x1800=540。，

:?"ON=540O-NOMB-NONC-ZB-NC=144。,JMPN=；4M0N=7T,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和問題，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式.

6.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，

開始倒轉(zhuǎn)“沙漏"，"沙漏"漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）.“沙漏〃是由一個(gè)圓錐體

和一個(gè)圓柱體相通連接而成.某次計(jì)時(shí)前如圖(1)所示，已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm：圓柱體

底面半徑是女m,液體高是7cm.計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖(2)所示，求此時(shí)"沙漏”中液體的高度為()

圖(1)圖(2)

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm,可得CQ=OE,根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的

體積為G37rcm二圓錐的體積為72gTP,設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AOrcm,則以＞。=(G-x)cm,根據(jù)

題意，列出方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，作圓錐的高4C,在6c上取點(diǎn)￡,過點(diǎn)E作。限4c于點(diǎn)。，則4B=6cm,AC=6cm,

的為等腰直角三角形，皿汨MB,勵CD砌SCAB,

前COE為等腰直角三角形，0CD=DE,圓柱體內(nèi)液體的體積為：4x32x7=6345?

圓錐的體積為:加x62x6=72/rcm：',設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AQ=xcm,則?！?CZ)=(6-x)cm,

J

回一江?(6—x)L(6-x)=72用一63%，0(6-x)3=27,解得:x=3,

3

即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體枳問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決

問題.

7.(2025?遼寧盤錦?統(tǒng)考二模)如圖，從一圓形紙片上剪出一個(gè)*徑為R、圓心角為90。的扇形；和一半徑為

「的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與，?的關(guān)系為()

A.R=2rB.R=4rC.R=2揚(yáng)D.R=6「

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可得答案.

【詳解】扇形的弧長是：唱E=等，圓的半徑為r,則底面圓的周長是2仃，

回恰好圍成如圖所示的圓錐，回寫=2仃,0R=4r,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系:

（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對

這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?河北衡水??？寄M預(yù)測）如圖，在正六邊形A8CQ瓦中，點(diǎn)M,N分別在對角線跳和C廠上,

且BM:ME=FN:NC=1:3,則S“時(shí)：S慚的值為（）

4

D.-

345

【答案】D

【分析】作AC交8C于“，連接AO,BF,交MN于息G,4）與M相交于點(diǎn)K.設(shè)=1,則O"=正,

2

同時(shí)可說明MN為3OF的中位線，^MN='BF=BK=OH=B,OG=^-OK=i-OA=\t分別求出兩

22244

個(gè)三角形的面積，可得答案.

【詳解】解：在正六邊形48CD即中，設(shè)AB=1,

作OHJ.BC交BC于H,連接4。，BF,交MN于點(diǎn)、G,AO與班'相交于點(diǎn)K,

?.c0

..6H=Ix1=1,??S=-x1x=19

22OBC224

BM：ME=FN：NC=\：3,:.BM=MO,FN=NO,/.M/V為,80b的中位線，

/.MN=-BF=BK=OH=—,OG=-OK=-OA=-,DG=OD+OG=-,

222444

5.w^=1x|x^=^,.-皿：S'”的值為：乎:筆=:故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，表示出兩個(gè)三

角形的面積是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，等邊A8C是O的內(nèi)接三角形，若：。的半徑為2,則A8C的邊

長為____________.

【答案】2G

【分析】先在圖上作出邊心距對應(yīng)的線段。。，連接OC,在直角,.08中，NOCO=30。，求出0D的長即

可.

【詳解】解：「.ABC是。。的內(nèi)接正三角形；???/4C8=60。，

過。作O￡）_LAC于。，連接OC,則0。長為邊心距，如卜?圖，

A

：,CD=yl0C2-0D2=xl22-\2=>5-，AC=2C。=26，故答案為2G.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握基本概念是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?山東?荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑QA=3,則圖中陰影部分的面枳

是，（結(jié)果保留兀）

【答案】34

【分析】本題主要考查三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得工.=*女，NAOC=120。，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC

的面積，利用扇形面積的公式計(jì)算可求解.

【詳解】解：..鉆。為等邊三角形，.應(yīng)加=5:火，ZAOC=120°,

Q的半徑為3,「.S映=5w」20弓：3：=34,故答案為：3不.

1L（2025?陜西渭南?統(tǒng)考一模）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近

圓來近似計(jì)算圓的面積.如圖，若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積S來近似估計(jì)O的面積S,設(shè)O的半徑為

2,則的值為.（結(jié)果保留不和根號）

【分析】根據(jù)中心角公式得到4。8二號360°=45。，過A作?。旧?。8于。，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可

O

得到結(jié)論.

效二45。

8'

過A作A￡>_LO8丁?￡),則工AOO定等腰直角三角形，

團(tuán)人。=￥。4=0,05,=8x1x2x72=872,

05=22^=4^?叵S—$=4無■—85/5,故答1案為：4>r—8\/2?

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識解決問題.

12.（2025?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為a的銳角/COD頂點(diǎn)在圓心

3

。上，這個(gè)角繞點(diǎn)。任意轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，扇形COO與扇形AOB有重疊的概率為記，求。=

瓢8

D

O

【答案】36。/36度

【分析】根據(jù)題意可得出扇形COD與扇形AO8有重疊的概率即為組成的扇形圓心角與360。的比值，進(jìn)而

得出答案.

【詳解】解：團(tuán)在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，團(tuán)每個(gè)正五邊形的中心角為72。，

3

團(tuán)轉(zhuǎn)動過程中，扇形CODH扇形AOB有重疊的概率為正

團(tuán)與9%解得：。=36。.故答案為：36。.

【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率以及正五邊形的性質(zhì)，根據(jù)己知得出概率與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

13.（2025?河南周口??？寄M預(yù)測）如圖，扇形AM8的圓心角NAM8=60°,將扇形沿射線平移

得k到扇形CNO,己知線段CN經(jīng)過A8的中點(diǎn)E,若AM=26,則陰影部分的周長為____.

MNBD

【答案】26+華

【分析】連接ME,根據(jù)E為A8的中點(diǎn)，扇形4W8的圓心角N4A仍=60。，得出

ZEMB=ZAME=-ZAMB=30c,求出/=30）2匝=匣,證明&V=M/V.根據(jù)

2BE1803

NE+NB+/版=MN+NB+/助求出結(jié)果即可.

【詳解】解：連接ME，如圖所示：

團(tuán)E為幾的中點(diǎn)，扇形的圓心角NAMB=60°,0ZEMB=ZAME=ZAMB=30°,

I?1AM=2G?PlEM=BM=2百，0/=*1y,

BE1803

根據(jù)平移可知，AM//CN,國NAME=/MEN,田NBME=NMEN,

的=MN,同陰影部分的周長為：NE+NB+1=MN+NB+1=MB+1=+昱.

DLL”UL

故答案為：26+叵.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?陜西咸陽?校考三模）德國著名數(shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級時(shí)得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并

給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件.下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知A8是。。的直

徑，分別以A,9為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C,。兩點(diǎn)若A3的長為2,則圖中CAO的

【分析】連接AC,AD,BC,BD,根據(jù)AACB,AZ陽是等邊三角形，則NC48=NDAA=60。，推出

NC4￡>=120。，根據(jù)弧長公式：/=寢，即可.

180

【詳解】連接AC,AD,BC,BD,^AC=AB=BC=AD=BD,

是等邊三角形，^ZCAB=ZDAB=60°,0ZC4D=12O°,

團(tuán)AB=2，BCA。的長為：/=~^7=--7QT\—=~7~'故命案為：~T?

1oU1ov3J

【點(diǎn)睛】本題考查圓的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，得到圓心角，弧長公式：1=處.

15.（2025?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的。。中，沿弦人B折疊，A8恰好經(jīng)過圓心。，則圖中

陰影部分的面積為（結(jié)果保留71）

【答案】:2乃

【分析】本題考查了扇形的面積計(jì)算，解直角三角形；

過。作8J.A8于Z）,交劣弧48于E,易得陰影部分面積與扇形AQE的面積相等，然后根據(jù)

cos乙40E=空=!求出NAOE=60。，再利用扇形的面積公式求解即可.

OA2

【詳解】解：如圖，過。作""L/V?于交劣弧/W于K,

由題意可得，陰影部分面積與扇形的面積相等，

加。的半徑為2,AB恰好經(jīng)過圓心。，^OD=DE=\,OA=2,

團(tuán)在RtZ\OZ）A中，cosZAO￡=—=-,用NAOE=60°.

OA2

團(tuán)陰影部分的面積=S娟形4第=強(qiáng)m=￡乃，故答案為：濃

16.（2024?山東泰安?一模）如圖，把長為“，寬為人的矩形紙片A8C。分割成正方形紙片4?在和矩形紙片

EFCD后,分別裁出扇形八B"和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則￡=.

【答案】|3

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm,AD=acm,MDE=2FT?,AE=AB=(a-2r)cm,利用圓錐的側(cè)面展開圖

為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到當(dāng)『°=2m，解方程求出然后計(jì)算即

1o()

可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為"m,則=,AE=AB=(a-2r)cm,

根據(jù)題意得90空［2r)=2仃,整理，得。=6廠,

1oO

AD6r3即：產(chǎn)|故答案為：(

則Mll—=------=一，

AB6r-2r2

17.(2025?湖南湘西?校考二模)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個(gè)扇形,

并由這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐模型［如圖②所示)，若扇形的圓心角為120。，圓錐的底面半徑為2,則此圓錐

的母線長為

圖②

【分析】設(shè)此圓錐的母線長為/，由于圓錐的側(cè)面展開圖為■扇形，這個(gè)扇形的孤長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到3等=2%X2,然后解方程即可.

1ol)

【詳解】解：設(shè)母線長為/,則與*=2;rx2,解得：/=4,故答案為：4.

18()

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

18.(2025?廣西欽州??？寄M預(yù)測)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為2的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A,

B,C,格點(diǎn)4,。的連線交圓弧于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積為.

3913

【答案】

24

【分析】找出圓心，根據(jù)勾股定理即可求出半徑，根據(jù)圖形得出NAOE的度數(shù)，根據(jù)三角形面積公式和扇

由圖形可知..AS是等腰直角三角形，??.ND4C=45。，.?"比心=90。，

4C=CD=V42+6-=2713,:.OA=OE=4\3,

.,』影=5制6-54。-南形咖=*2.向2/-夫舊><8_9*f，=%+.故答案為：?一%.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，確定圓心，扇形的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

19.（2025?浙江溫州??？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對稱的"蓮花"造型驚艷眾人.該建筑底部是由24

片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)〃，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展

開.小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花〃變化狀態(tài).穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂

點(diǎn)4,正八邊形頂點(diǎn)與與圓心o共線，正二十四邊形頂點(diǎn)A，%與正八邊形頂點(diǎn)共線，則餐：

1V1?iVl3

的值為；穹頂開啟時(shí)，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時(shí)繞著固定點(diǎn)/口，"一…，"x逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn).圓

心。繞M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為。I，以此類推，當(dāng)01落在必“2上時(shí)，若OA=67.5米，則005的值為米.

【分析】如圖：過。作0c_L4\,連接。4。。4，。%，。必，運(yùn)用正多邊形的性質(zhì)說明c%=oc,

0%=加0。,進(jìn)而得到“m3=2。。、AA°=2CAo=2OC+20OC=(l+及)2OC,然后代入關(guān)手計(jì)算

即可；如圖：由題意可得』。=。。|+'?，°°JAoA，O4=OA=67.5,運(yùn)用勾股定理可求得

oot="5?T35,再運(yùn)用qq=2OO計(jì)算即可

【詳解】解：如圖：過。作OCJ.AA。,連接。Ao,OA，OM3,OM”

3600360°

回/叫0%=募一、2=90。，2^04)=—x9=135°z

nnoioco

0OAo=o\.OM3=OM1,0ZCOM.=—=45°zZCOAl0=寧=67.5°,

0NCOM；=NOM3c=45°,0CM3=OC,OM.=41OC=2OC,

0NA0OM3=67.5°-45°=22.50,/%A“O=90°-67.5°=22.5。上幺(0%=必°。,

⑦AOM3=OM、=6OC、團(tuán)A0C=OC+0OC,

(l+x/2)2OC

團(tuán)AAo=2燃0=20c+2V2OC=(l+N/2)2OC,0AA。

MM20c

（圖①）f（圖②）

由題意可知：AoQ=OQ+及,A（）A，。4）=。4=67.5,

3535

團(tuán)04。2=0012+4（。|2,即67.52=。0:+（。。]+應(yīng)00），解得：00.=J^|zl,

團(tuán)OQ,=200=1350—135.故答案為1+收，135立一135.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識點(diǎn)，理解題意、正確計(jì)算是解答本

題的關(guān)鍵.

20.（2025?山東青島?統(tǒng)考一模）【問題提出】

正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑/?和中心角有什么關(guān)系？

【問題探究】

如圖①，一A8C是等邊三角形，半徑OA=A,/AO8是中心角，/）是58C內(nèi)任意一點(diǎn)，〃到5BC各邊

距離尸產(chǎn)、PE、PD分別為4、%的設(shè)/8C的邊長是。，而積為S.過點(diǎn)。作

[?]OM=Rcos-ZAOB=/?cos60°,AM=/?sin-ZAOB=Rain60°,A8=2AM=2Rsin600,

22

0S=3SA0R=3x^ABxOM=3R~sin60°cos60°,①

0Swe又可以表不不。（力]+為+%）②

聯(lián)立①②得g。（4+4+4）=3*sin600cos60°

（a|x2/?sin60。（々+也+刈）=3R