考點(diǎn)02.整式與因式分解（精練）

限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題（40分鐘）

1.（2025?安徽宣城??？寄M預(yù)測(cè)）某工廠一月份的產(chǎn)值為小二月份的產(chǎn)值比一月份增長(zhǎng)了X%,三月份的

產(chǎn)值又比二月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，則三月份的產(chǎn)值比一月份增長(zhǎng)了（）

A.2ax%B.?（1+2A-%）C.a(\+x°/o)-x0/oD.?(2+x%)-.v%

2.（2025?山東?一模）下列說(shuō)法正確的是（)

A.-3〃//的系數(shù)是一3B.而3方的次數(shù)是3

C.的各項(xiàng)分別為2a,b,1D.多項(xiàng)式x?-1是二次三項(xiàng)式

3.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考模擬）若（）2，〃=2,〃，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（）

A.aB.2aC.ahD.2ab

4.（2025?河北邯鄲??？既＃┈F(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片各4塊（邊長(zhǎng)如圖，a>b）.嘉嘉掂備

從中挑選一些紙片緊密拼接成一個(gè)正方形，下列無(wú)法實(shí)現(xiàn)的方案是（）

A.2塊甲、1塊乙、4塊丙B.1塊甲、4塊乙、4塊丙

C.4塊甲、1塊乙、4塊丙D.1塊甲、1塊乙、2塊丙

5.（2025?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年是中國(guó)傳統(tǒng)紀(jì)年方法.干支是天干和地支的總稱，"甲、乙......'

等十個(gè)符號(hào)叫天干；“子、丑??????”等十二個(gè)符號(hào)叫地支.把干支（天干+地支）順序相配（甲子、乙丑、丙

寅???...）正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.有人總結(jié)出紀(jì)年算法的輔助表如下.

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

十天干

4567890123

子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥

十二地支

45678910110123

由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（）

A.癸卯B.丁酉C.壬卯D.庚子

6.（2025?江蘇鹽城?校聯(lián)考二模）化簡(jiǎn)（-3x）2.2x所得的結(jié)果等于（）

A.18x3B.-18x3C.6x2D.-6x2

7.（2025上?河北保定?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列各數(shù)中，不能被512-51°整除的是（）

A.6B.8C.16D.4

8.（2025?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè)）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成4=2部分，2條直線將

平面最多分成的=4部分，3條直線將平面最多分成為=7部分，4條直線將平面形多分成&=11部分......，〃

11I

條直線將平面最多分成勺部分，則^—+--+--——=（）

1-41-%1-?10

2020-10、9

AA.——nB.-------C.—D.—

H11115

9.（2025?重慶沙坪壩??？级＃┫铝袌D形都是由同樣大小的團(tuán)按一定規(guī)律組成的，其中第①人圖形中一共

有5個(gè)一第②個(gè)圖形中一共有12個(gè)A,第③個(gè)圖形中一共有21個(gè)。，……，按此規(guī)律排列，則第⑧個(gè)圖

形中▲的個(gè)數(shù)為（）

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△△

△△△△△△△△△

①②③

A.96B.88C.86D.98

10.（2025?浙江?統(tǒng)考一模）定義：如果代數(shù)式從=4/+/1+。（〃產(chǎn)0,%、“、，是常數(shù)）與8=+

（生工（），的、么、J是常數(shù)），滿足4+，=。，b\=b：q+G=0,則稱這兩個(gè)代數(shù)式A與8互為“同心

式”，下列四個(gè)結(jié)論：（1）代數(shù)式：一2/+3X的“同心式〃為2丁-3工；

（2）若8〃儲(chǔ)+以_5與6nf+4x+5互為“同心式〃，則（加+〃產(chǎn)2的值為1；

（3）當(dāng)仇=優(yōu)=0時(shí)，無(wú)論x取何值，"同心式〃A與3的值始終互為相反數(shù)：

（4）若A、8互為“同心式"，4-28=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則"=364向.

其中，正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.（2025?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）比較大?。?554;若正數(shù)巴）'滿足3，=5>,則力-5），0.

12.（2025?四川德陽(yáng)?校考模擬預(yù)測(cè)）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子〃的王小明參加了〃智

取九宮格〃游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫(xiě)的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，

使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為〃?.王小明抽取到的題目如圖所

示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則〃!=.

13.（2025?四川內(nèi)江?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）分解因式：/-3〃2_4=

14.（2025?陜西西安??？级＃┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖中的楊輝三角，又稱賈

憲三角，其中揭示了（〃為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下：按上述規(guī)律，則（，+〃）’的

展開(kāi)式中，從左起第二項(xiàng)的系數(shù)為

1(?+/))0=1

11(a+bY=a+b

121(a+b)?=爐+2。扭~方

1331(a^-by=ai^3arbJf3abr^hy

14??6?41加="+4。3…H6。/+4"3+"

15.（2025上?廣東?九年級(jí)?？计谥校┤绻麪t-2（6+1■+4是一個(gè)完全平方公式，則加=.

16.（2025下?湖北武漢?九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知J-3x+l=0,則f-5x+-V的值為.

17.（2025?廣東珠海?統(tǒng)考二模）我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理驗(yàn)證.觀察圖1,

/-1=4（1-1）+（。-1）=（。-1）（〃+1）.接下來(lái)，觀察圖2,通過(guò)類比思考，因式分解o'-1=:

18.（2025浙江?九年級(jí)自主招生）%是整數(shù)，〃￡12,2~26I2”為一個(gè)整數(shù)的平方數(shù),請(qǐng)寫(xiě)4個(gè)滿足條件的

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若優(yōu)=N(。>0且。=1),那么x叫做以“為底N的對(duì)數(shù)，記作x=bgJV,比如指數(shù)

式2,=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=/常?3,對(duì)數(shù)式2=/。&25,可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式5:=25.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

log“(M?N)=log“M+log“N(。>0,awl,M>0,N>0),理由如下：

設(shè)log“M=m.log“N=〃.則M=an,.N=an,

0M?N=/'?a"=a,n+n，由對(duì)數(shù)的定義得〃?+〃=log。(M?N)

又丘m+n=log。M+logaN,Qlog/A1?N)=log<zM+log,,N.

請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)將指數(shù)式34=81轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式；

M

(2)求證：log”一=log,M-log〃N3>0,M>0,N>0)；

N

⑶拓展運(yùn)用：計(jì)算logf,9+log68-log62=.

限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題(40分鐘)

1.(2025年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題)在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律.如圖是某年8月份的日歷,

任意選擇其中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為m則下列敘述中正確的是（）.

H—?二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.左上角的數(shù)字為。+1B.左下角的數(shù)字為〃+7

C.右下角的數(shù)字為〃+8D.方框中4個(gè)位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍數(shù)

2.（2025?江蘇?統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（）.

A.2a—a=2B.（a?）=/C.=D.aI2-=a6

3.（2025?山東?統(tǒng)考中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）

A.（4+3）2="+6a+9B.片—4〃+4=a（a-4）+4

C.5ax2-5ay2=5?（x+y）（x-y）D./-2a-8=（a-2）（a+4）

4.（2025?陜西?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：6盯卜（）

A.B.C.3丁），D.-3x3y6

5.（2025上?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于機(jī)的多項(xiàng)式-3〃『+2〃?-1的值是5,則代數(shù)式-4"?的值

是（）

A.-10B.9C.-12D.7

6.（2025年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知一列均不為1的數(shù)與%，%，，%滿足如下關(guān)系；

1+?1+4,1+4、1+

生^=7—"4"*二^‘…'4+1=7^，若4=2,則/023的值是（）

1a〕i~~a?1~~~a、1

I1C

A.——B.-C.-3D.2

23

7.（2025年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案

用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍

按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

98oXOCOCO…

①②③④

A.39B.44C.49D.54

8.（2025年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））在多項(xiàng)式式-）~2-相一〃（其中中，對(duì)相鄰的兩

個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)

操作例如：x-y-\z-m\-n=x-y-z+ni-n,\x-）］-z-\tn-^=x-y-z-nt+n.….下列說(shuō)法：①

存在“絕對(duì)操作〃，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0;

③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

9.（2025年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)。、b,〃※/2=±+與.若

ab

2※（-2）=1,則（-3怦3的值是.

10.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）掌握地震知識(shí)，提升防震意識(shí).根據(jù)里氏震級(jí)的定義，地震所釋放出的能

量E與震級(jí)〃的關(guān)系為￡=%xl（）j（其中&為大于。的常數(shù)），那么震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)

為6級(jí)的地震所釋放能量的倍.

11.（2025?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：

設(shè)有編號(hào)為1-100的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)者編號(hào)為1-100的100個(gè)開(kāi)關(guān)，燈分為"亮"和"不亮〃兩種狀態(tài)，每

按一次開(kāi)關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為"不亮現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有

編號(hào)是1的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次，笫3個(gè)人把所有編號(hào)

是3的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次.問(wèn)最終狀態(tài)為“比〃

的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)了討論：

甲：應(yīng)分析每個(gè)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：

乙；1號(hào)開(kāi)關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開(kāi)關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開(kāi)關(guān)被第1個(gè)人和

第3個(gè)人共按了2次，......

丙：只有按了奇數(shù)次的開(kāi)關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮〃的狀態(tài).

根據(jù)以上同學(xué)的思維過(guò)程，可以得出最終狀態(tài)為"亮〃的燈共有_________盞.

12.（2025?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）若c/+力=2,a-b=\,則/-6的值為.

12.（2025年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）因式分解：x2+x>'-xz-yz=.

13.（2025年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開(kāi)始按筋頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開(kāi)

始,把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì)：（3,5）；（7,10）；（13,17）；（21,26）；（31,37）...

如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫(xiě)出第〃個(gè)數(shù)

對(duì)：.

37

212019181736

227651635

23841534

249231433

251011121332

262728293031

14.（2025?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：

-2,4,-8,16,-32,64,①

0,7,-4,21,-26,71,……（2）

根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為:取每行數(shù)的第2025個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和

為.

IS.（2O2S年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)加的平方差，旦

則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)例如，16=52-32,二6就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用

機(jī)2-〃2=（〃?+〃）（〃「〃）進(jìn)行研究.若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是；第23個(gè)智慧

優(yōu)數(shù)是.

16.（2025年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6,百位

數(shù)字比十位數(shù)字多2,則稱M為“天真數(shù)〃.如：四位數(shù)7311,團(tuán)7-1=6,3-1=2,07311是“天真數(shù)”；四

位數(shù)8421,08-1^6,08421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)〃為；一個(gè)"天真數(shù)的千位數(shù)字為

百位數(shù)字為4十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字為"，記尸（M）=3（a+6）+c+4,Q（M）=〃-5,若涼方能被1。

整除，則滿足條件的M的最大值為.

17.（2025?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-2），）2+耳5），-耳-4/，其中工二墾1,）,=或二1.

18.（2025年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：32-12=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,

92-72=8x4,....

（1）嘗試：132-"2=8X.

⑵歸納：（2〃+1）2_（2〃-1）2=8x（用含〃的代數(shù)式表示，〃為正整數(shù)）.

⑶推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說(shuō)明你歸納的結(jié)論是正確的.

19.（2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示（〃）］）.某

同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），如圖2和圖3,其面積分別為S「邑.

圖1

乙乙乙乙乙丙

圖3

（1）請(qǐng)用含。的式子分別表示%當(dāng)。=2時(shí),求的值;（2）比較跖與4的大小,并說(shuō)明理由.

20.（2025年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）［材料閱讀］

用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究夕+/+/+...+/+的值，其中0<q<1.

例求+/)++({|+的值?

方法1:借助面積為1的正方形，觀察圖①可知

+QJ+的結(jié)果等于該正方形的面積，即;+(!)+(《)+，+(;)”+=1.

方法2：借助函數(shù)y=gx+g和￥的圖象.觀察圖②可知

；+(升]￡|'+[]'+的結(jié)果等于吊%，心一"”…等各條豎直線段的長(zhǎng)度之和,

即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到x軸的距離.因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)(J/)到工軸的距為1,

圖③

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知L+圖++(|)"+

方法2：借助函數(shù)），=彳工+：和），=人的圖象，觀察圖④可知

JJ

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____,所以，-+（-T+f-T+-+f-T+=______

3l3j⑶⑴

j+的值.

任務(wù)二參照上面的過(guò)程，選擇合適的方法，求工+

4UJUJUJ

任務(wù)三用方法2,求夕+如+夕、+,+/+,的值（結(jié)果用4表示）.

【遷移拓展】長(zhǎng)寬之比為?1：1的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個(gè)正方形后，得到的新矩形仍

2

是黃金矩形.觀察圖⑤，直接寫(xiě)出+的值.

圖⑤

考點(diǎn)02.整式與因式分解（精練）

限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題（40分鐘）

1.（2025?安徽宣城??？寄M預(yù)測(cè)）某工廠一月份的產(chǎn)值為小二月份的產(chǎn)值比一月份增長(zhǎng)了X%,三月份的

產(chǎn)值又比二月份的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，則三月份的產(chǎn)值比一月份增長(zhǎng)了（）

A.2ar%B.a（l+2x%）C.+D.?（2+X%）-.V%

【答案】D

【分析】由題意得某工廠二月份的產(chǎn)值為。（1+1％）,三月份的產(chǎn)值為。（l+x%）2,則三月份的產(chǎn)值比一月

份增長(zhǎng)4（l+x%1-6/=a（2+x%）-x%.

【詳解】解：回某工廠二月份的產(chǎn)值為“1+X%）,三月份的產(chǎn)值為。（1+X％）2,

0三月份的產(chǎn)值比一月份增長(zhǎng)a（l」x%）~a=a（2+,v%）x%.故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了列代數(shù)式，關(guān)鍵是正確理解題意，準(zhǔn)確的表示二月份的產(chǎn)值，三月份的產(chǎn)值.

2.（2025?山東?一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.-3a/的系數(shù)是一3B.4/r%的次數(shù)是3

C.24+。-1的各項(xiàng)分別為2a,b,1D,多項(xiàng)式/-1是二次三項(xiàng)式

【答案】A

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)以及多項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)的定義解決此題.

【詳解】解：A.根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)為數(shù)字因數(shù)，那么-3岫2的系數(shù)為-3,故A符合題意.

B.根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)為所有字母的指數(shù)的和，那么4a3b的次數(shù)為％故B不符合題意.

C.根據(jù)多項(xiàng)式的定義，2a+b-l的各項(xiàng)分別為2a、b、-1,故C不符合題意.

D.x2-l包括x2、-1這兩項(xiàng)，次數(shù)分別為2、0,那么x2?1為二次兩項(xiàng)式，故D不符合題意.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式的系數(shù)，次數(shù)的定義以及多項(xiàng)式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)以及次數(shù)的定義，熟練掌握單項(xiàng)

式的系數(shù)，次數(shù)的定義以及多項(xiàng)式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)以及次數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考模擬）若（）?2.%=2〃%,則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（）

A.aB.2aC.abD.lab

【答案】A

【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：團(tuán)(>2〃%=2。%,0()=2ayb^2crb=a.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?河北邯鄲?校考三模）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片各4塊（邊長(zhǎng)如圖，嘉嘉準(zhǔn)備

從中挑選一些紙片緊密拼接成一個(gè)正方形，下列無(wú)法實(shí)現(xiàn)的方案是（)

A.2塊甲、1塊乙、4塊丙B.1塊甲、4塊乙、4塊丙

C.4塊甲、1塊乙、4塊丙D.1塊甲、1塊乙、2塊丙

【答案】A

【分析】根據(jù)拼接前后面積相等，分別表示出每個(gè)選項(xiàng)的面積和，觀察能否寫(xiě)出完全平方式即可得

【詳解】解.A、無(wú)法配方，故A無(wú)法實(shí)現(xiàn)，符合題意；

B、/+4從+4必=（"+26）2,故B可以實(shí)現(xiàn)，不符合題意；

C、4/+/+4他=（24+勾2,故C可以實(shí)現(xiàn)，不符合題意；

D、a2+b2+2ab=（a+b）\故D可以實(shí)現(xiàn)，不符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】考查因式分解的應(yīng)用、完全平方公式、圖形拼接前后的面積不變性，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

5.（2025?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年是中國(guó)傳統(tǒng)紀(jì)年方法.干支是天干和地支的總稱，“甲、乙??????'

等十個(gè)符號(hào)叫天干；“子、丑.”等十二個(gè)符號(hào)叫地支.把干支（天干+地支）順序相配（甲子、乙丑、丙

寅……）正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.有人總結(jié)出紀(jì)年算法的輔助表如下.

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

十天干

4567890123

II.寅卯辰巳午未申酉戊亥

十一地支

45678910110123

由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（）

A.癸卯B.丁酉C.壬卯D.庚子

【答案】A

【分析】2025年為第23個(gè)數(shù)，天干表10個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，地支表12個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，2000年是庚辰年,

從2000年開(kāi)始算起，用23分別除以10和12,根據(jù)余數(shù)結(jié)合天干地支表即可得到答案.

【詳解】解：由表可知，

從2000年開(kāi)始算起，2025年為第23個(gè)數(shù)，天干表10個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，地支表12個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，

23+10=2.....3,余數(shù)為3,則2025年對(duì)應(yīng)的天干為癸，

2372=1......11,余數(shù)為11,從2000年是庚辰年開(kāi)始算,2025年對(duì)應(yīng)的地支為卯，

故2025年為癸卯年,故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)問(wèn)題，是一個(gè)和生活非常接近的問(wèn)題，讀懂題目介紹的中國(guó)傳統(tǒng)紀(jì)年方法是解題

的關(guān)鍵.

6.（2025?江蘇鹽城?校聯(lián)考二模）化簡(jiǎn)（-3x?2x所得的結(jié)果等于（）

A.18x3B.-18.?C.6x2D.-6?

【答案】A

【分析】先計(jì)算積的乘力運(yùn)算，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可.

【詳解】解：（-3A）2-2X=9X2-2X=I8X\故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵.

7.（2025上?河北保定?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列各數(shù)中，不能被512-510整除的是（）

A.6B.8C.16D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則可知原式等于24x5%從而可選出正確答案.

【詳解】解：5,2-5'°=5,0X（52-1）=24X5,0,

10

24X5,0+6=4X5,所以A能被即-51°整除；

24X5,0-8=3X510,所以B能被那一即整除：

24x52+16=^x51。為小數(shù)，所以C不能被5口-即整除，

24x52+4=6x5%所以D能被—整除；故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用.本題的關(guān)鍵是結(jié)合法則將已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn).

8.（2025?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè)）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成4=2部分，2條直線將

平面最多分成生=4部分，3條直線將平面最多分成6=7部分，4條直線將平面形多分成4=11部分……，〃

條直線將平面最多分成4部分，則J+4+?1二=（）

1-

[-4i-d24o

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，〃條直線將平面最多分成為=1+1+2+3+-+〃=1+幽剋

2

]]=2。__

部分，進(jìn)而得到1-q一1,〃（〃+1）一〔〃八+J,再進(jìn)行求解即可.

1-1--------

【詳解】解：團(tuán)1條直線將平面分成4=1+1=2部分，2條直線將平面最多分成%=1+1+2=4部分,

3條直線將平面最多分成%=1+1+2+3=7部分，4條直線將平面形多分成4=1+1+2+3+4部分

11

曲?條直線將平面最多分成q=1+I+2+3++〃=1+?（"?）部分,團(tuán)+2n1/>

21--------

力-1111I

111=—211——+———++——7T普20.故選B.

I2231011J

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是得到31+1+2+3+一〃…當(dāng)D

9.（2025?重慶沙坪壩??？级＃┫铝袌D形都是由同樣大小的（2按一定規(guī)律組成的，其中第①人圖形中一共

有5個(gè)，，第②個(gè)圖形中一共有12個(gè)第③個(gè)圖形中一共有21個(gè)二，......，按此規(guī)律排列，則第⑧個(gè)圖

形中&的個(gè)數(shù)為（)

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△△……

△△△△△△△△△

①②③

A.96B.88C.86D.98

【答案】A

【分析】寫(xiě)出各圖形中三角形的個(gè)數(shù)和，然后根據(jù)變化規(guī)律寫(xiě)出第〃個(gè)圖形中的個(gè)數(shù)，再取〃=8進(jìn)行計(jì)算即

可得解.

【詳解】解：第①個(gè)圖形中三角形有：5=1+3+廣（個(gè)）,

第②個(gè)圖形中三角形有：12=3+5+2?（個(gè)），

第③個(gè)圖形中三角形有：21=5+7+3?（個(gè)），…，

依此類推,第〃個(gè)圖形中三角形有2〃-1+2〃+1+,『=4〃+〃2（個(gè)），

所以，第〃個(gè)圖形中正三角形個(gè)數(shù)一共是：1+4〃（個(gè)），

所以，第⑧個(gè)圖形中圓和正三角形個(gè)數(shù)一共是：8,+4x8=64+32=96（個(gè)）.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了探究圖形變億規(guī)律，找出圖形變化的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?浙江?統(tǒng)考一模）定義：如果代數(shù)式4=4丁+4犬+9（〃尸0,修、4、C］是常數(shù)）與8=%42+模X+C2

（生工0,4、瓦、口是常數(shù)），滿足％+，=（），仄=瓦,J+G=（）,則稱這兩個(gè)代數(shù)式A與8互為“同心

式”，下列四個(gè)結(jié)論：

（1）代數(shù)式：-2。+3］的“同心式"為2A"3x；

（2）若+心一5與6/吠2+4x+5互為"同心式"，則（〃?+，?廣"的值為1;

（3）當(dāng)偽二優(yōu)=。時(shí)，無(wú)論x取何值，"同心式"A與3的值始終互為相反數(shù)；

（4）若A、8互為“同心式”，4-28=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則牙=36qq.

其中，正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)同心式的定義結(jié)合代數(shù)式和方程求解即可

【詳解】根據(jù)同心式的定義：

（1）回一2+2=0,3工一3團(tuán)代數(shù)式：-242+3］的“同心式"不是2/—3不；故（1）是錯(cuò)誤的；

（2）138mx2+nx-5與6nx2+4x+5”:為“同心式”,

8/n+6/7=0f/n=-3,…

*，，解得：1一引（用十，?）=P"=1,故（2）是正確的；

72=4［〃=4'7

（3）當(dāng)々=仇=0時(shí)，"q+%=0，J+J=。，

回A=q/+C|,8=%/+C2=-（qf+q）=-4,即A勺3的值始終互為相反數(shù)，故（3）是正確的；

2

（4）04、8互為"同心式"，^A=atx+bix+cl,B=-atx'+blx-ci,

（3A-28=0有兩個(gè)相等的比數(shù)根，€34--/祖+3。=0有兩個(gè)相等的疣數(shù)根，

0A=^,2-4x3a.x3c,=^,2-36a,q=0,即I；=36%,故（4）是正確的;故選：C

【點(diǎn)睛】本題根據(jù)新定義和題目的要求構(gòu)建方程，考查了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是

理解題目中的新定義.

11.（2025?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）比較大小：4554;若正數(shù)x,）'滿足3、=5＞，則標(biāo)-5），0.

【答案】〉<

【分析】通過(guò)客的乘方運(yùn)算法則求解.

【詳解】解：Q45=1024?54=625,\45>54：

Q3X=5V,\（3，『二（5'）\\30=夕"，\爐廣二⑺"，\3433*=125%

Q343>125,-V,），是正數(shù)，\3/v5y,\3x-5y<（）,故答案為：>,<.

【點(diǎn)睛】本題考查了案的乘方和乘方運(yùn)算，掌握帚的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?四川德陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè)）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子〃的王小明參加了“智

取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫(xiě)的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，

使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，旦均為小.王小明抽取到的題目如圖所

示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則〃，=.

【答案】39

【分析】設(shè)第一列中間的數(shù)為x,則三個(gè)數(shù)之和為16+4+x=20+x,再一次把表格的每一個(gè)數(shù)據(jù)填好，從

而可得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為”,則三個(gè)數(shù)之和為16+4+x=20+x,可得：

1613+x

“17

46+x10

=16+13+10=39,故答案為：39

【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題關(guān)鍵.

13.（2025?四川內(nèi)江?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）分解因式：/-3/-4=.

【答案】（*+1）（a+2）（。-2）

【分析】首先利用十字相乘法分解為（/+1乂/一力,然后利用平方差公式進(jìn)一步因式分解即可.

【詳解】解：a4-3a2-4=(a2+l)(a2-4)=(?2+l)(a+2)(6/-2),故答案為：(a?+l)(92)(a-2).

【點(diǎn)睛】本題考查利用因式分解，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握解題步驟：一提二套三檢查.

14.（2025?陜西西安?校考二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖中的楊輝三角，又稱賈

憲三角，其中揭示了（〃為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下：按上述規(guī)律，則包+勾5的

展開(kāi)式中，從左起第二項(xiàng)的系數(shù)為一.

1(o+/))0=l

1

11(a+b)=a+b

121(a+8戶="+2a什加

1331(a+/))3=a3+3a2/)^3ab2+bi

14641(a+/>)4=t?+4a3

??????

【答案】5

【分析】由題干中的等式總結(jié)規(guī)律即可得出答案；

【詳解】解：由題干中代數(shù)式可得，（。+。）5的展開(kāi)式中，從左到右各項(xiàng)的系數(shù)依次為

1,1+4=5,4+6=10,6+4=104+1=5,1,則其展開(kāi)式中從左起第二項(xiàng)的系數(shù)為5,故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問(wèn)題，由題干中已知等式總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.（2025上?廣東?九年級(jí)?？计谥校┤绻?2（m+1）匯+4是一個(gè)完全平方公式，則〃?=.

【答案】1或一3

【分析】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.本題根掂積的2倍項(xiàng)

的特點(diǎn)可得-2（加+1）=±4,再解方程可得答案.

【詳解】解：回公-2（〃7+1b+4是一個(gè)完全平方式，

團(tuán)―2（機(jī)+1）=±4,自加=1或，〃=一3,故答案為：1或一3.

16.（2025下?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知丁-31+1=0,則丁-5》+上的值為.

X'

【答案】5

【分析】將方程1一3犬+1=0同除以％,得到x+』=3,講而求出一+與=7,將d_5x+L計(jì)行化簡(jiǎn)，利

xx'X

用整體思想代入求值即可.

【詳解】解：^x2-3x4-1=00——=]-3+:0,x2=3x-\?x2-3x=-l?

X'"IX

0X4--=3,m（X+L]=2+X2+-1=9,0X2+4-=9-2=7

Xx）x1X-

0.X'-5xH---7=r-5）d——=3x-6）T——=3廠-6.X-H——

—2.V"—6x+x~H—7=2(.r--3x)+『H———2+x~H—?=-2+7=5.故答案為：5.

XA*V

【點(diǎn)睛】本題考查分式求值，完全平方公式.熟練掌握完全平方公式，以及利用整體思想，進(jìn)行求值，是

解題的關(guān)鍵.

17.(2025?廣東珠海?統(tǒng)考二模)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理驗(yàn)證.觀察圖1,

1=々(々-1)+(〃—1)=(〃-1)?+1).接下來(lái)，觀察圖2,通過(guò)類比思考，因式分解=

圖I圖2

【答案】(〃-1乂/+〃+1)

【分析】把圖2可有兩種計(jì)算方法：①三個(gè)長(zhǎng)方體相加；②大正方體減去小正方體，按要求列出式子，即

可解答.

【詳解】解：將圖2看作三個(gè)長(zhǎng)方體相加時(shí)，可得式子：

a^ax(a-\)+\x\x(a-\)+\xax(a-i)=a2(a-1)+a(a-\)+(a-\)；

原式兩邊提取。-1,可得原式=(。-。(/+。+1)

故答案為:6f2(6t—l)+6f(6t—l)+(?—!)；(a-1乂/+a+1).

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，因式分解，觀察圖形的體積如何計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?浙江?九年級(jí)自主招生)〃是整數(shù)，〃412,嚴(yán)+26+2"為一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)4個(gè)滿足條件的

〃的值_________.

【答案】0,9,11,12

【分析】分兩種情況：0W〃<6或6K〃K12,運(yùn)用因式分解的知識(shí)和整數(shù)的平方數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答便可.

【詳解】解：①當(dāng)6W〃W12時(shí)，*+26+2"=2隈(2、1+2i)=2?X(17+2"-6),

要使蒙。+2,+2”為一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)，則17+2"T為一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)，

若〃=9,則17+2…=17+8=25為一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)，符合題意，

若〃=11,則17+2"-°=17+32=49為一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)，符合題意，

若〃=12,則17+2"-6=17+64=81為一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)，符合題意；

②當(dāng)0工〃<6時(shí)，2博+26+2"=1088+2",若〃=0,貝lj22+2。+2"=1088+1=1089=332,

綜上可知，〃是整數(shù)，另M12,2|。+2。+2"為一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)，4個(gè)滿足條件的〃的值分別為0.9,11,

12.故答案為：0,9,11,12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整數(shù)的乘方運(yùn)算，和因式分解的知識(shí)，關(guān)鍵是運(yùn)用因式分解可以簡(jiǎn)便確定"的值.

54154

19.（2025.重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知“=[,〃=學(xué),則堊:

'2023"

【答案】1

【分析】先把小的分子分成3x5,逆用積的乘方法則，把分子寫(xiě)成兩個(gè)幕相乘，分母逆用同底數(shù)幕相乘法

則，寫(xiě)成兩個(gè)同底數(shù)系相乘，然后化簡(jiǎn)，求出〃?一〃的值，最后將二空整理為2023m."代入求值即可.

2023”

【詳解】解：?；〃?=與，?.?/〃=華竺=學(xué)空=斗，

3狙3*x3w3"X34034°

二…=??！??籍=2023寸。=2023。=1,故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方、同底數(shù)昂的乘法、除法和零指數(shù)累，解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則的

逆用.

20.（2025下?江蘇南京?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)。，力滿足/+6=3+〈疝，則

（2a-3b）2+（4+2）（4一2〃）的最大值為.

【答案】22

【分析】將（2a-勸p+（a+給）（°-力）化簡(jiǎn)可得5a2+56-12M,將/+戶=3+時(shí)代入化簡(jiǎn)結(jié)果可得原式

=15+3",將"+從=3+"兩邊加上2時(shí),得到(〃+。)2=3+3版根據(jù)平方的非負(fù)性解出"的取值范圍,

即可解答.

【詳解】解：(2a-3b)2+(a+2b)[a-2b)=4?2-1lab+9b'+a2-4Z>2=5cr-\2ab+5h2

將/+力2=3+〃/,代入得：原式=5(々2+〃)一[2"=15-7",相片+"二？+〃〃兩邊力口上2ab,

得：a2+b2+2ab=3+ab+2abW(?+/?)'=3+3aZ>>

(a+/?)2>0,「.3+3而20,BPab>-\,-ab<1?

15-7必=15+（-7必）<15+7=22.?.原式的最大值為22.故答案為：22.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公虻，平方差公式，不等式的性質(zhì)，根據(jù)完全平方公式得出岫的取值范圍是

解題的關(guān)犍.

21.（2025?安徽?校聯(lián)考二模）觀察以下等式：

2112211

第I個(gè)等式：1+332x22:kFTT第2個(gè)等式：E訴丁西T西

2311

第3個(gè)等式：l+3x2，+2x（2丁算丁……根據(jù)以上規(guī)律'解決下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出第4個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

24112"11

［答案］⑴1+3X24+2X（2?=亍寸一萍幣2）］+3/2"+2、（2）2=對(duì)―2川+1，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)給出的等式的特點(diǎn)，寫(xiě)出第4個(gè)等式即可；

（2）根據(jù)給出的等式的特點(diǎn)，抽象概括出第〃個(gè)等式，再進(jìn)行證明即可.

2411

r=

【詳解】（1）解：由題意，得：第4個(gè)等式為：I+3x2r+2xpr）*

2411

故答案為：