第十四章全等三角形全等三角形的七大模型--專題練2025?2。26學(xué)年

上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級上冊

平移模型

1.如圖，EOF中，BC與￡戶在同一條直線上，z/1=ZD=90°,ZF=乙E,BF=EC.求證:

△BAC=△EDF.

(I)若4BED=140。,4。二75。，求立4CB的度數(shù)；

(2)若BE=2,EC=3,求B尸的長.

對稱模型

3如圖，已知/C=/F=90。，4/1=51。，AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點O.

(1)求證：〉A(chǔ)BCw〉DEF.

(2)求480F.

4.如圖，在△ABC中，48=力。，40為△/1BC的角平分線.以點A圓心，4。長為半徑畫弧，與力8,4。分

別交于點石，F(xiàn),連接。E,DF.

(1)求證：DE=DF；

(2)若，B4C=80°,求NBOE的度數(shù).

手拉手模型

5.如圖，已在△ABC與△4DE中，48=AC,LBAC=/.DAE,BDLAB,ECLACf求證：AD=AE.

6.已知：如圖，在△48C、A/IDE中，Z.BAC=Z.DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C、D、E三點

在同一直線上，連接BD.求證：

(1)BD=CEx

(2)8。1CE.

半角模型

7.如圖，在四邊形218。。中，48=力。,28=40=90。,，3/1。=60。,瓦尸分別是8。,。。上的點，且

Z.EAF=30°.求證：EF=BE+DF.

8.如圖，在△力BC中，CA=CB,^ACB=120°,E為AB上一點,乙DCE=60°,Z-DAE=120',求證:

DE-AD=BE.

一線三等角模型

9.如圖，在△/WC中，AB=BC.

圖(1)

(I)如圖1,直線NM過點B,AM1MN于點M,CN1MN于點N,且N4BC=90°,求證:MN=AM+CN.

(2)如圖2,直線NM過點B,AM交NMF點M,CN交NM于點、N,且乙4MB=乙48c=Z.BNC,則MN=

4M+CN是否成立？請說明理由！

10.如圖，在△48C中，AB=AC=3,ZB=40。，點。在線段BC上運動(點。不與點B、C重合)，

連接力D,作N4DE=40。，DE交線段4c于點￡

(1)當(dāng)4804=110。時，乙EDC=,Z.AED=.

(2)線段。。的長度為何值時，△ABD三〉DCE,請說明理由；

⑶在點。的運動過程中，△4DE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求NBC/l的度數(shù)；若不可以,

請說明理由.

倍長中線模型

11.如圖1,在aABCG4B>AC)中，4。是8c邊上的中線，△4BD和AADC的周長之差為2cm,且

的長是8cm.

圖1圖2

⑴求4C的長；

⑵求4D長度的取值范圍；

(3)若N84C=90。，E是AO的中點，如圖2,直接寫出△CDE的面積.

12.如圖，在△A8C中，A。平分乙8AC交8c邊于點D,點￡是8。邊的中點，線段￡尸||力。交線段A8于點

G,交線段。4的延長線于點凡

答案

I.證明:*：BF=CEt

：,BF+FC=CE+FC,

:?BC=EF,

在△ABC和△DEF中，

乙4=ZD=90°

LB=LE,

BC=EF

：.^ABC=△DEF(AAS).

2.(1)解：???乙BED=140°,乙0=75°,

:.Z.F=乙RED-ZD=66，

ABCDEF,

???乙ACB=ZF=65°；

(2)解：vBE=2,EC=3,

???BC=BE+EC=5

,/△ABC=△DEF,

BC=EF=5,

BF=BE+EF=2+5=7.

3.(1)證明：'：AE=DB,

：?AE+EB=DB+EB,即48=0E,

Vzf=ZF=90%

在RtUCB和Rt△。尸E中，

(AC=DF

lAB=DE'

ARtA/lFC=RtADEF(HL)；

(2)解：VZC=90°,Z-A=51。，

：,^ABC=90°-z.A=90°-51°=39°,

由(1)知：Rt^ABC=RtADFF,

=乙DEF,

"DEF=39°,

：,^BOF=乙ABCI乙BEF=39°I39°=78°,

???Z8OF的度數(shù)為78。.

4.(1)證明：根據(jù)以點A圓心,AD長為半徑畫弧,與AB,AC分別交于點E,F,

：,AD=AE=AF,

???力0平分NB/IC,

J.Z.EAD=乙FAD,

在△AOE和△A。尸中，

(AE=AF

斗E/W=/.FAD,

(AD=AD

???△ADE三△4DF(SAS),

:?DE=DF.

(2)解：：力。平分乙84,

：.^EAD=4FAD=-ABAC=40°,

2

*：AD=AE=AF,

1800-40。

：,Z.ADE=LAED==70°,

2

*：AB=AC,力。平分NB4C,

：.Z.ADB=Z.ADC=90°.

:YBDE=NADB-^-ADE=20°.

5.解：,：Z.BAC=Z-DAE,

J^BAC-LDAC=乙DAE-Z.DAC,

^LBAD=/,CAE,

?；BD1AB,EC1AC,

"ABD=Z.ACE=90°,

在448。與44C￡中，

(Z.ABD=Z.ACE

AB=AC,

LBAD=/-CAE

，△ABD三(ASA),

：,AD=AE.

6.(I)證明：vZ.BAC=乙DAE=90°,

Z.BAC+乙CAD=Z.EAD+乙CAD,

???/.BAD=Z.CAE,

在^BAD^\￡,CAE'V，

AB=AC

LBAD=Z.CAE,

AD=AE

??.△BADCAE(SAS).

：.BD=CE；

(2)解：V△BAD=△CAE,

???Z.ABD=Z-ACE,

???Z.ABC=乙ACB=180°-90O=45°,乙ABD+Z-DBC=45°,

2

Z.ACE+Z.DBC=45°,

Z-DBC+Z-DCB=Z-DBC+/-ACE+Z-ACB=90°,

則8。1CE.

7.證明：如圖，延長CB至點G,使BG=。凡連接AG.

在△ABG和△ADF中，

(AB=AD

4/BG=ZD=90°

(BG=DF

?\AF=AG,Z.1=Z.3.

,.Vl+z2=60°-30°=30°,

?"2+々3=30。，

：.LEAG=Z.EAF.

在A/IEG和△NEF中，

(AE=AE

l^EAG=Z.EAF,

(AG=AF

???△AEG三△AEF(SAS),

:?GE=FE,

:,EF=GE=BE+BG=BE+DF.

8.證明；延長E8至點F,使8F=40,連接CF.

uvCA=CB,Z,ACB=120°,

:.Z.ABC=Z.CAE=(180°-120°)+2=30°,

:.Z-CBF=1800-Z.ABC=150°,

又4DAE=120°

Z-DAC=乙DAE+Z-CAE=150°=乙CBF,

在ACBF和△。4。中，

BC=AC

乙CBF=LCAD,

BF=AD

CBF=△CAO(SAS),

CF=CD,乙BCF="CD.

???Z-DCE=60°,

乙FCE=乙ECB+乙BCF=乙ECB+LACD=LACB-乙DCE=120°-60°60°=zDCE.

又???CE=CE,

在△CDE和"中，

CD=CF

乙ECD=乙ECF,

CE=CE

■??△CDF^ZiCFF(SAS),

:.FE=DE.

??.DE-AD=EF-BF=BE.

9.(1)證明：???力加工時可于點/,CNLMN于點N；

=Z.BNC=90°；

+^ABM=90°；

■:ABC=90°,

???24BM+4NBC=90°；

=乙NBC；

在△ABM和aBCN中，

LAMB=乙BNC

LMAB=乙NBC

AB=BC

6BCN(AAS)；

?XM=BN,BM=CN；

:?MN=BN+BM=AM+CN.

(2)MN=4M+CN成立.理由如下：

設(shè)44MB=乙ABC=乙BNC=a：

"ABM+4BAM=乙ABM+乙CBN=180°-a；

：.Z-BAM=乙CBN；

在△ABM和ABCN中；

NBAM=乙CBN

LAMB=乙BNC

AB=BC

???△48M三ZiBCNlAAS)；

：,AM=BN,BM=CN；

:.MN=BN+BM=AM+CN；

故MN=AM+CN成立.

10.(1)解：?;iBDA=110°,

?"皿=180°-110。=70°,

，：￡ADE=40°,

:.乙EDC=Z.CDA-LADE=70°-40°=30°,

VzC=40°,

：,Z.AED=Z.C-乙EDC=40°+30°=70°；

故答案為：30°,70°；

(2)解：當(dāng)DC=3時，bABD—DCE,

理由如下：

Vz/lDC=+乙BAD=2ADE4-乙CDE,Z.ADE=40%乙B=40°,

：.Z.BAD=乙CDE,

*：AB=3,

：,AB=DC,

'：/-B=zC,AB=DC,乙BAD=LCDE,

：.^ABD^^DCE(ASA)；

(3)解:①當(dāng)HD=AE時,

■:乙ADE=40°,

：.^.AED=40°,

?：^ACD=40%

，點E和點C重合，不符合題意：

②當(dāng)月0=ED時，

LADE=40°,

：.Z.DAE=Z.DEA=*180。-40°)=70°,

?:乙B=ZC=40°,

：.Z-BAC=180°-2x40°=100°,

J.Z.BAD=Z,BAC-/-DAE=30°,

C.Z.BDA=180°-Z,B-/-BAD=180°-40°-30°=110°：

③當(dāng)RE=DE時，

VZJ4DE=40°,

：.^DAE=40°,

Vzf=40°,

：.Z.BDA=ZC+Z-DAE=400+40°=80°.

綜上：4BDA=110?；?0。.

11.(1)解：是BC的中點,

:?BD=DC,

,:△ABD^^力OC的周長之差為2cm,

：.AB-AC=2,

T/IB的長是8cm.

：,AC=6；

（2）解：如圖所示,延長至E,使得DE=AD,連接CE,

A

Zh

\

B：D/r

：/

E

圖1

:。是8C的中點，

：.BD=DC,

XVz/lDF=乙EDC,DE=AD,

..△ABDSAECD

：.EC=AB=8,

在AAEC中，AC+CE<AE<EC-AC,即8—6<AEV8+6

'：AD=-AE,

2

：.1<AD<7

(3)解：*：LBAC=90°,AB=8,AC=6

1

-X8X6=

224

???。是BC的中點,

??S—DC=5sM8C=12,

是4。的中點,

:?SxCDE=5s△人=6.

12.(1)解：,.?4。平分

.'./.BAD=Z.DAC,

V/1DIIEF,

，乙DAC=LF,/-BAD=Z.FGA,

?"尸=乙FGA,

：,AG=AF,

，：CF=6,AG=2,

,\AC=CF-AF=CF-AG=6-2=4；

(2)解：如圖，作CMII/B交FE的延長線于M.

「BGIICM,

"B=乙MCE,

???七是BC中點，

:.BE=EC,

(乙B=乙MCE

在△8EG和△CEM中，［BE=EC,

LBEG=Z-MEC

，△BEG三△CEM(ASA),

：.BG=CM,

V>451|CM,

J.Z.FGA=4M,

由(1)可知匕/=乙FGA,

?"F=NM,

?"F=CM,

:?BG=CF.

13.(1)解：證明：在4c上截取使得4E=4B,

,?ND平分血C,

：.Z.BAD=Z.DAC,

'：AD=AD,

??.△ABD=△/IED(SAS),

???/B="E。，RD=DE,

LB=2ZC,

J乙4ED=2/.C,

??NAE。是△DEC的一個外角，

Z.AED=zf+乙EDC,

zC=乙EDC,

：.DE=CE,

:.BD=EC,

\fAE+EC=AC,

：,AB+BD=AC,

(2)在力f上截取4F=4。，連接CF,

'：￡.D=109°,^ACD=42°,

：.^DAC=180°-ZD-^ACD=29°,

V^BAD=58°,

，匕FAC=乙B