第六章平面向量及其應(yīng)用（壓軸題專練）

題型一：平面向量共線定理推論應(yīng)用

1.（多選）（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）在V48C中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿足而況，若。為邊

上一點(diǎn)，且滿足9=4而+〃太，7,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.3的最小值為1B.。的最大值為《

C.4+的最大值為12D.g+；的最小值為4

Z3〃Z3//

【答案】BD

【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、條件等式求最值、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”

的妙用求最值

【分析】根據(jù)反。，0三點(diǎn)公式求得義+34=1,結(jié)合基本不等式判斷即可.

【詳解】因?yàn)橥?g反，所以充=3而，

又AP=A,AB+/.lAC=A,AB+3pAD,

因?yàn)榘薆、。三點(diǎn)共線，所以2+3〃=l,

又2,〃為正實(shí)數(shù)，所以乙”1/IXBAWIXU也J=

當(dāng)且僅當(dāng)義=34,即2=：,〃=。時取等號，故A錯誤，B正確；

26

—I---=—?F—（2+3〃）=2+-^-4-->2+2!■——=4.

23〃（義3//）A3〃3〃

當(dāng)且僅當(dāng)￥=￡,即2=：,〃時取等號，故C錯誤，D正確.

23//26

故選：BD

__,1____UL1T1UUT

2.（24-25高三上?天津和平?期末）在平行四邊形/BCO中，AF=-ADAE=-ABCE與所交于點(diǎn)。.設(shè)

4f3t

AB=af~AD=bf請用2］表示而=;若而=義5+〃右，則2+4=.

【答案】小1--。-三4

47

【知識點(diǎn)】向量加法的法則、向量減法的法則、用基底表示向量、平面向量共線定理的推論

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則結(jié)合平面向量基本定理，將而，而用刀，而表示出來即可求解.

———.I——1__

【詳解】BF=AF-AB=-AD-AB=-b-a

44t

如圖，優(yōu)。下三點(diǎn)共線,

^AC^xAB+yAF,則x+)，=l,

所以/。二工力夕+丫力/=xAB+—AD=xa+—b,

44

CO,E三點(diǎn)共線，

AO=mAE+nAC>則〃？+“=1,

所以4。=mAE+nAC=AB+nAB+nAD=+n)AB+nAD=(^+n)a+nb,

x+y=\

m+〃=1

所以x=一+〃，解得

3

y_

4

所以泊+瀉，又而=筋+面,即得，叫■

1--4

故答案為：…

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）在V/8C中，點(diǎn)廣為43的中點(diǎn)，荏=2沅，BE與CF交于點(diǎn)P,且滿

足方=4詬，則2的值為.

【答案】4/0.75

4

【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、用基底表示向量、平面向量共線定理的推論

【分析】把萬用簫，元表示，然后由ARC三點(diǎn)共線定理得出結(jié)論.

［詳解］由題意"=而+而=方+/1質(zhì)=在+/1（萬_同=（1~AB+AAI

__2__/__2__

=(\-A)2AF+A-AC=(2-2A)AF+-ZACf

23

因?yàn)镼,P,C三點(diǎn)共線，所以2-22+24=1,解得a

34

故答案為：~~.

4

2

A

FA

4.(23-24高一下?陜西寶雞?期中)如圖，在￥44。中，48=1,8。=，,力。是V川比?的角平分線，且

而==萬+,G是,4。上的一點(diǎn)，過G的直線分別交邊于點(diǎn)E,F,且△力EF的面積為巫.

448

(1)求線段4。的長；

(2)若4G衣=券，求黑的值.

44GD

【答案】(1)孚

8

⑵3

【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量共線定理

的推論

【分析】(1)利用向量線性運(yùn)算得到覺=3詼，利用角平線的性質(zhì)得"=3?8=3,從而白余弦定理得

ZBAC=—,再利用S“BC=S“BD+S,ACD,即可求出結(jié)果；

(2)JE=2Z&,JF=//JC,JG=Zrj5(O</l<hO<//<l,O</t<l),

由面積公式得到2〃=!，再利用向量共線得到〃=/二，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.

23"+幾

【詳解】(1)因?yàn)椤Α?±3—42+!14—。，所以3±—*。+1上—4。=3上—1—，

444444

即;而-2萬=：就-15,得到嵐=3而，

4444

因?yàn)榱?。是V/6C的角平分線，所以照=照=!，所以"=348=3.

ACDC3

又AB=\、BC=3,由余弦定理得cosNA4C=也上"二^=1+9-7J,

2ABAC2x1x32

3

【答案】⑴而■而+:宿

嗚

【知識點(diǎn)】用基底表示向量、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用樂，您表示近，根據(jù)。、E、下三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系，再利用基

本不等式求出最小值.

【詳解】⑴由而=-2反，得荏-而=~（2祝-2益i）=2萬-2元，

——1—2——

所以力。=§48+

____—1—2—

（2）由左=義而，AF=f.1AC,AD=-AB+-AC,2>0,//>0,

得通=[■荏+9■萬，又。、E、尸三點(diǎn)共線，因此上+二=1,

3/3〃3x3〃

舟mw124〃424\n428

則22+4=（24+〃）（豆+^=丁R^^2匕73-，

當(dāng)且僅當(dāng)蕓=￥，即〃=2丸=2時取等號，

323〃3

Q

所以2夭+〃取最小值,

題型二：向量數(shù)量積（幾何意義法）

?（24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí)）如圖，已知等腰,"C中，MM=|/1C|=3,忸C|=4,點(diǎn)尸是邊月。上

的動點(diǎn)，則萬?（而+衣）的值（）

A.為定值6B.不為定值，有最大值6

C.為定值10D.不為定值，有最小值10

【答案】C

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積、向量加法的法則

【分析】先記8c的中點(diǎn)為。，然后利用V4EC是等腰三角形，得到力O18C,再利用向量數(shù)量積的幾

何意義求解即可.

【詳解】如圖，記8C的中點(diǎn)為。，由題可知，AOLBC,

5

22

AO=\l3-2=y/s>AB+AC=2AOf所以

?.（法+硝=2?.彩=21同西cos/尸40=4堿=1（.

故選：C.

2.（23?24高一下?江蘇泰州?階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之

一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊

形4BCDEFDH的邊長為2,P是正八邊形力BCOMG，八條邊上的動點(diǎn)，則萬.萬的最大值為（）

圖1

A.V2B.4+26C.2+V2

【答案】B

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、向量與幾何最值、用定義求向量的數(shù)量積

【分析】由投影向量的定義得到當(dāng)尸在8上時，萬.刀取得最大值，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由投影向量的定義可知，當(dāng)P在C。上時，萬.荏取得最大值，

延長DC交48的延長線于點(diǎn)T,

萬益的最大值為48.47，

其中正八邊形的外角為360。+8=45°,故AB=BC=2,/CBT=45°,

故8r=2cos450=&，AT=AB+BT=2+及，

故48?47=2（2+應(yīng)）=4+2亞，

所以萬.荔最大值為4+2&.

6

故選：B

3.（23-24高一下?上海?期中）如圖，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正

方形力的邊長為4,點(diǎn)P在四段圓弧上運(yùn)動，則萬?布的取值范圍為.

【答案】卜8,24]

【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義、求投影向量

【分析】借助于正方形建系，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義，找到使方在劉方向上的投影向量的數(shù)

量最大和最小的點(diǎn)即得萬?麗的取值范圍.

【詳解】

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以力用力。所在直線為軸建立坐標(biāo)系.

因萬?刀=|萬|?|萬|cos〈后,方〉=41萬卜cos〈萬,方〉，

而|~AP|yosV",荔〉表示AP在而方向上的投影向量的數(shù)量，

由圖不難發(fā)現(xiàn)，設(shè)過正方形的中心作與工軸平行的直線與左右兩個半圓分別交于點(diǎn)匕鳥,

則當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)1重合時，投影向量的數(shù)量最大，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)巴重合時，投影向量的數(shù)量最小.

易得片（6,2）,￡（-2,2）,則|萬卜cos〈而，茄）的最大值為6,最小值為-2,

故-8工方?荔424.

故答案為：[-8,24].

4.（23-24高一下?浙江臺州期末）已知。是邊長為2的正六邊形/IBCQEb內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，M為邊址?

的中點(diǎn)，則萬.而的取值范圍是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】通過數(shù)量積定義得出〃與。重合時萬?茄7取得最大值，。與產(chǎn)重合時，開.而取得最小值，

然后建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求數(shù)量積.

7

【詳解】如圖，過尸作于N,則萬?而=|羽|畫COS/4N=4N|麗，當(dāng)麗與翔同

向時力N為正，當(dāng)麗與瘋反向時力N為負(fù)，

分別過C,/作CK_L4W,FH1AM,K,H為垂足,

則得當(dāng)N與K重合(即尸與C重合)時，而?而取得最大值，當(dāng)N與“重合(即尸與尸重合)時，APAM

取得最小值，

ABCDEF是正六邊形,因此以/4為工軸，4E為V建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則40,0),8(2,0),C(3,6)，5(—1,6),M是8c中點(diǎn)，則歷修

而=§,當(dāng))，亞=(3,?ZF=(-l,x/3),

AM-AC=—+—=9,AM-AF=——d—=—1,

2222

所以開而的范圍是[7,9],

故選：B.

題型三：向量數(shù)量積(建系法)

1.(23-24高三下?四川攀枝花?階段練習(xí))已知4R,C是單位圓上不同的三點(diǎn)，4B=AC,則君?萬的

最小值為()

A.0B.—C.-D.—1

42

【答案】C

【知識點(diǎn)】利用平方關(guān)系求參數(shù)、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、解析法在向量中的應(yīng)用

【分析】令"⑼，8(cosasin0,0e(O,27r),進(jìn)而有C(cose,-sinO),應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得

~AB-7C=cos26>-2cos<9+1-sin26?,結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【詳解】不妨令/。,0),5(cos^,sin0\0E(0,2TC),又AB=AC,則C(cos。,一sin。)，

8

yjk

所以AB-AC=（cos0-\,sin0）■（cos0-1,-sin0）=（cos-1）2-sin20

=cos2-2cos<9+1-sin2=2（cos0-，一

當(dāng)cos。=；時，力瓦式的最小值為-;.

故選：C

2.（24-25高三上?河北?期末）在邊長為2的等邊三角形力8C中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),同P在三角形ABC

所在的平面內(nèi)，且滿足=則亦"+次）的最大值為.

【答案】2石+3

【知識點(diǎn)】求含sinx（型）函數(shù)的值域和最值、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,可得蘇?（昂+而）=3M+3-，y,由04=1,可得/+產(chǎn)=1,

設(shè)x=cos0,y=sin。，利用輔助角公式可得西（B+胃）=2百COS（6+￡|+3,即可求得必.回+））

的最大值.

【詳解】

己知等邊三角形川?C的邊長為2,點(diǎn)。為邊8C的中點(diǎn)，

如圖，建立直角坐標(biāo)系，則力他6）,8（-1,0）,C（l,0）,

設(shè)點(diǎn)P?,y）,貝1」萬二卜》,石-?。?，G4+C5=（-1,V3）4-（-2,0）=（-3,X/3）,

貝IJ蘇.（否+而）=（一其道一?（凸,6）=3x+3dj,

又因?yàn)閨網(wǎng)=1,所以/+/=i,

設(shè)x=cos￡,y=sinO,

9

則3x+3-6y=3cos0-Gsin0+3=2>/icos（0+Z）+3,

所以⑸?*+))的最大值為26+3.

故答案為：2石+3.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))在邊長為1的正方形48CO中，點(diǎn)E為線段。。的三等分點(diǎn),

IuurUID'uur

CE=：DE,BE=2B4+uBC,貝!|2+〃=尸為線段跳上的動點(diǎn)，G為"'中點(diǎn)，則萬.礪的

最小值為.

45

【答案】

318

【知識點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量在幾何中的其他應(yīng)用

【分析】解法一：以侔，冊｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求詼，即可得2+〃，設(shè)潴=人.潴,

uumuuu?_

求力EQG,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求酢.而的最小值;

Iuumuuu

解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求而，即可得4+4,設(shè)/(d-3a),aw--,0,求4￡/)G，

結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求ATDG的最小值.

【詳解】解法一：以｛瓦5,前｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求而，即可得義+〃，設(shè)序〃潴，

uumuuu._____

求/1￡QG,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求簫?麗的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求命,

IUUUUUU__________

即可得4+〃，設(shè)/(a,-3a),aw--,0,求4￡Z)G，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求萬?麗的最小值.

Iuur7皿uuruuruuriuiruur

解法一：因?yàn)?即=貝ljBE=BC+CE=-BA+BCf

I4

可得力=,，〃=1,所以2+〃=§;

uiuruiruiruur

由題意可知:BC=BA=\,BABC=0t

uuruuriuuruur

因?yàn)榇鯙榫€段BE上的動點(diǎn)，設(shè)8b=%8E=：R8/i+k8C4G[0,l],

忤一師+〃比，

貝ljAF=AB+BF=AB+kBE=

10

uuiruuruuiruuriumri(i\uurI、uur

，

又因?yàn)镚為4尸中點(diǎn)，則。G=D4+/lG=—6C+5/lr=+”TpC

uuuruuu'uuruuur］「"?、uur(\ULLlf

可得"QG=GT84+A叫.京,-1慳+/-1BC

又因?yàn)槲遥?』，可知：當(dāng)％=1時，/?麗取到最小值二;

10

解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則力(—1,0),8(0,0),。(0,1),。(—1,1),。一；,1

uiruiiruur(］、

可得四=(-1,0),8c=(O,1),8E=-91,

.I

ULU.UULUUU—X，=4

因?yàn)?￡=%+=(一,〃)，則J3,所以2+4=3；

〃二1

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段BE:y=-3x,xe-1,0上，設(shè)尸（a,-3GM€-1,0

且G為4F中點(diǎn)，則G（F，-［a）

uuruuir

可得AF=(t/+l,—3a),QG=

則罪避=用+㈠）（卷一

且4€二,（）］,所以當(dāng)0=時，萬.南取到最小值為二；

3J3Io

故答案為：三45

31o

4.（23?24高一下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）在邊長為4的正方形Z8CZ）中，"是8C的中點(diǎn)，￡在線段46上

運(yùn)動，則前.反的取值范圍.

II

【答案】［8,24）

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（嘰0）,04用44,表達(dá)出沅.麗=（4-機(jī)『+8,求出取值范圍.

【詳解】以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以力月，力。為、軸，J，軸，建立直角坐標(biāo)系，

則C（4,4）,A/（4,2）,設(shè)C（-,0）,04加44,

貝！JEC-EM=(4一肛4>(4一〃?,2)=(4—刖+8,

因?yàn)?44,所以0?4-用《4,

比說二(4-m『+8e[8,24].

故答案為：［8,24］.

5.（24?25高三上?天津?yàn)I海新?期中）如圖梯形力8c力，AB//CDRAB=5fAD=2DC=4tE在線段BC

上，X.麗=0，則萬.瓦的最小值為_________.

95

【答案】TI

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】利用向量線性運(yùn)算可將萬?麗化為（彳力+］力方）（4方-力可，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可

構(gòu)造方程求得cos乙%。，由此可得/加。；

作DFJ.4B，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)屁=2元，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可將

荏.瓦化為關(guān)于2的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最小值的求法可求得結(jié)果.

【詳解】-AB=5tCD=2,AB//CD,：.DC=^~ABf

v^Ci5=(JD+DC)-(ZD-Z§)=+-AB?西一西

57

12

=ADAB—?力￡）=卜。］—日力可—'|^^|cosZ.BAD=6-12cos/.BAD=01

：.cosZBAD=-又N8力.\ZBAD=-

2r2）3i

作。/J.垂足為尸，

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，的正方向?yàn)閤，y軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

解得：〃7=3-4,〃=2白2,

/.E(3-2,2N/3A),.?.荏=(5-426)，詼=(3—42&-26卜

AEDE=（5-4）（3-沙26（2屈-2葉132三202+15,

則當(dāng)人卷時，荏瓦取得最小值，最小值為善

95

故答案為：YJ.

題型四：向量數(shù)量積（極化恒等式法）

1.（多選）（24-25高三上?山西晉中?階段練習(xí)）如圖所示，正六邊形的中心與圓的圓心重合，正六邊形

的邊長為4,圓的半徑為1,48是圓的一條動直徑，尸為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則方.麗的可能取值

為（）

【答案】BCD

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值、用定義求向量的數(shù)量積

13

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得莎?麗=1的結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)圓心為O,取M廠的中點(diǎn)。，連接OM,OQ,OP,OF,

根據(jù)題意可知，尸是邊長為4的正三角形，易得|。。|=26，

可?而=（而+詢?（而+函=~PO+珂礪+可+d/CdB^~P^4,

根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形各點(diǎn)的中點(diǎn)時，|麗|有最小值2百，

此時|刃|2-1=11,當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形的頂點(diǎn)時，|月5|有最大值4,此時|用『-1=15

綜上，114萬?而415?

故選：BCD

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，。為8。的中點(diǎn)，且04=3,OC=5.若

標(biāo)而=-7，則癰覺=.

【答案】9

【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積

【分析】利用極化恒等式可求出80=8,再利用極化恒等式可求品?覺的值.

【詳解】如圖，在V4BC中，。為8。的中點(diǎn)，下面證明結(jié)論：前冠=|而';回，

因?yàn)椤?c的中點(diǎn)，

所以益+%=2萬，所以|而『+|次『+2萬?次=4|而『①

又方-衣=荏，所以|荏『+|律2_2荏工=|西2②

14

①-②得4萬.祝=4|而函2,所以方.就=|阿.研

因?yàn)樵谄矫嫠倪呅?8C。中，O為80的中點(diǎn)，且。4=3,0C=5.

所以荔?標(biāo)=0/-也=7解得40=8,

4

.D）2

貝威及nOC2--=9.

4

故答案為：9

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：極化恒等式

則有結(jié)論：茄祀=回卜伊甫.

如圖，在V48C中，0為8c的中點(diǎn),

3.（24-25高三上?四川達(dá)州?開學(xué)考試）已知圓。的半徑為4,是圓0的一條直徑.兩點(diǎn)均在圓0

上，|CZ）|=4石，點(diǎn)P為線段8上一動點(diǎn)，則萬.河的取值范圍是.

【答案】[—12,0]

【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、向量加法的法則

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得⑸?而=1而|二】6,結(jié)合|所|的取值范圍，計算即可.

【詳解】如圖，。為圓心，連接OP,

貝內(nèi).方=（而+可?（而+網(wǎng)=

m\pdOB+^OOA+OAOB=7d2+Pd{OB

=|po|2-|oif=[rof-i6.

因?yàn)辄c(diǎn)?在線段CO上且|。|=46，則圓心到直線段。的距離4=（2逝）2=2，所以2』所卜4,

所以4T麗jK16,

貝而「―16N0,即萬.河的取值范圍是[—12,0],

15

故答案為：卜12,0].

題型五：向量模

1.（23-24高一下?河北滄州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，力（0,46），8（-4,0）,C（4,0）,P是線

【答案】B

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計算向量的模

【分析】先求出直線力。的方程，根據(jù)戶在線段力。上，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程，再根據(jù)麗?麗=32列

方程，解方程組，得到。點(diǎn)坐標(biāo)，可求OP的長度.

【詳解】如圖：

點(diǎn)4C在一次函數(shù)尸-6x+4百的圖象上.

設(shè)-6+46）（0<X<4）,

貝?。┤?1+4,-岳+48），。>=卜，一心+46），麗.麗=x（x+4）+卜后+4旨y=32,解得x=l

（x=4舍去），

所以尸（1,38）,OP=（l,3>/3）,|0?|=25/7.

故選：B

2.（多選）（23-24高一下?陜西咸陽期中）如圖，在長方形片8a）中，/〃=6,力。=4,點(diǎn)P滿足麗=/反,

其中六0,1,則|蘇+詞的取值可以是（）

16

【答案】ABC

【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、坐標(biāo)計算向量的模、由向量線性運(yùn)算解決最值和范圍問題、解析

法在向量中的應(yīng)用

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到汽64,4）,Ae,從而求出

向+詞=J（6-12）。+64,求出值域。

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,力。所在直線分別為x,V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則4（0,0）,8（6,0）,

。（6,4）,0（0,4）,

_____r2"

設(shè)P（s,z）,因?yàn)槎?2反，所以（s,-4）=/l（6,0）,即S=64,z=4,故P（6/l,4）,Ae0,-,

則方+方=（一6兒一4）+（6-62,-4）=（6-12/1-8）,

2

|^4+ra|=A/（6-122）+64,因?yàn)?le0,-,所以國+國=J（6—122）?+64c[8,10].

故選：ABC

3.（24-25高三上?天津北辰期中）如圖，平行四邊形中，ZABC=jfE為CQ的中點(diǎn)，P為線段至

上一點(diǎn)，且滿足而二〃而+：肥，貝（]〃?=；若口力4C。的面積為46,貝小用的最小值為.

【答案】|半

【知識點(diǎn)】用基底表示向量、已知數(shù)量積求模

17

【分析】設(shè)萬=/而/[[0,1],由平面向量線性運(yùn)算表示而即可求出〃?，由網(wǎng)=瓦i+gzj結(jié)

合基本不等式可得|司的最小值.

【詳解】設(shè)萬=方5,/1[0,1],

貝ij麗=麗+萬=麗+幾近=或+/1（瓦一兩

=莉+〃一；0+麗=（得4）鈿+2前，

\1.

1—z=m

：.mBA+-BC=（\--A）BA+,故（2,

32,2

X=—

3

：.m=-t即而=2前+2苑.

333

由口"CO的面積為4方得，網(wǎng)網(wǎng)Si吟=4瓦故網(wǎng)同=8,

，網(wǎng)=乒珂=舸麗而而

=:廚看而2支麗同姮=§,當(dāng)且僅當(dāng)|法卜|希卜2及時取等號，

???阿的最小值為半.

故答案為：7>—?

33

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)￡可為單位向量，非零向量石=xey+ye2,x,j，為實(shí)數(shù)，若的夾角

為?，則N的最大值是_____.

60

【答案】2

【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、已知數(shù)量積求模

【分析】求出戶，進(jìn)而求出何，將得轉(zhuǎn)化為以上為未知量的函數(shù)問題，求出最大值即可.

11\b|x

【詳解】因?yàn)榱?xq+丁//,丁6R,q,1的夾角為當(dāng)，

22222

所以廬=（xq+ye2）=x-也xy+y,則忖=yjx->/3xy+y,

當(dāng)x=0時，Y=0,

D

18

Ixl11

當(dāng)時，唱取最大值，而=萬=2,

x2\b\匕

綜上：聲的最大值是2.

故答案為：2

5.（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）已知G、B是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量，:滿足同=3,且

c-a=c-b=\?當(dāng)幺取任意實(shí)數(shù)時，的最小值為

【答案】@

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模

【分析】由向量的模長和數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)求出最值即可.

【詳解】因?yàn)閨@=w=i,萬?萬=0,|^|=3,c?5=c?/?=1?

=223-42+9=2（2-1）2+7,

所以當(dāng)2=1時，卜的最小值為J7,

故答案為：V7.

題型六：向量夾角

1.（24?25高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知向量方=（3,4）,5=（1,0）,』+區(qū)，若伍婷=（咐貝IJ實(shí)數(shù)E=

（）

A.-6D.6

【答案】C

【知識點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示

【分析】由向量坐標(biāo)的運(yùn)算求出向量乙的坐標(biāo)，再根據(jù)亞￡〉=（友司，利用向量夾角余弦公式列方程,

求出實(shí)數(shù)，的值.

【詳解】由2=（34）,6=（1,0）,則5=G+區(qū)=（3+，,4）,

又值?）=但？），則cos（G力=cos?0

acbeacbe

則麗"麗‘即時"M’

19

9+3/4-163+/

V32+4r=~,解得，=5,

故選：C.

2.(23-24高一下?浙江嘉興?期末)在V力4c中，角4B,C所對的邊分別為“，b,c.已知si。力=2sin4,

C=60°,E為8C中點(diǎn)，戶在線段48上，且萬=2而，/E和。7相交于點(diǎn)人則NE/平的余弦值為

()

AV?R4i\nV21

141477

【答案】B

【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用、向量夾角的坐標(biāo)表示

【分析】由己知，由正弦定理、余弦定理可得a=2b,c=0b,可得V/18C是直角三角形，以A為原

點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由又￡為8C中點(diǎn)，戶在線段上，且"=2而，可得存，彳的坐標(biāo)，利

用坐標(biāo)運(yùn)算可得Z.EPF的余弦值.

【詳解】已知sin4=2sin〃，由正弦定理得。=2方，又C=60。，

2?22

由余弦定理8SC=T^'所以'=同'

則有/=/+T,即VABC是以/力為直角的直角三角形,

如圖，以A為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)4C=6,則48=64,

又E為4C中點(diǎn)，歹在線段上，且方=2而，

則C(0,6),"(46,0)，￡(3>/3,3),荏=(3?3),CF=(4^,-6),

/slAECF375x46+3x(-6)后

解得同用/時+32J(呵+(可14-

故選：B.

3.(2024?四川內(nèi)江?一模)在平行四邊形力8c。中，已知,48=2,BC=6,48c=60。，點(diǎn)E在邊力。上,

DE=2AEf8E與y1C相交于點(diǎn)M,則NEMC的余弦值為.

【答案】叵

7

【知識點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示

【分析】以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

20

算可得出cos/EMC=cos（屁,配），即可得解.

【詳解】以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

在平行四邊形中，已知48=2,BC=6,48C=60。，點(diǎn)E在邊力D上,DE=2AE,

則8（0,0）、力（1,6）、C（6,0）、E（3網(wǎng),則麗=（3,囪）,JC=（5,-73）,

所以，cosNEMC=cos（BE,AC）=15-3

網(wǎng)園2后x2"

故答案為，叵

7

4.（24-25高三上?云南玉溪?階段練習(xí)）如圖，在V/4c中,已知川？=2,1C=4,N84C=60',BC,AC邊

上的兩條中線相交于點(diǎn)P,則NMPN的余弦值為.

【答案】且二行

1414

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、向量夾角的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得8c=28，即V44C為直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系利用向

量夾角的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.

【詳解】在V48C中，由余弦定理可得8c2=力爐+402-2,48?力CcosN84c=4+16-2x2x4xg=12,

即6c=2向

因此滿足BC2+AB2=AC2,可得V48C是以//仍C=90"的直角三角形；

以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，848C分發(fā)為x軸，y軸，如下圖所示；

21

力（2,0）,8（0,0）,。（0,26）,俯（0,百）”0,6）,商=卜2,6）,麗=（1,6）

易知一“尸N即為向量前7,尿的夾角,

加?麗二-2+3_1="

所以cos4MPN=cos（Zi7,麗卜

|加口麗「4x22>/7-140

故答案為：會

5.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）如圖，在“8C中，已知AB=6,AC=9/84。=60。，兩=2荻，

點(diǎn)N為力。邊的中點(diǎn)，AMt8V相交于點(diǎn)P.

⑴求|麗|；

（2）求cosNMPN.

【答案】（1）|麗卜當(dāng)?

嗚

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、向量夾角的坐標(biāo)表示

9

【分析】（1）由N為4C中點(diǎn)得|4N|=W，在“NB中,通過余弦定理即可求|8N|；

乙

-------力川?BN

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求而，而，由數(shù)量積夾角公式得cos/M尸N=cos力",8'=國麗,

并計算即可.

【詳解】（1）因?yàn)閨44|=6,|4C|=9,/8/C=60°,且N為/C中點(diǎn),

9

所以14Vl=.

22

由余弦定理得：|BN|=|48『+1AN|-2\AB\-\AN\-cosAf

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