高中數(shù)學(xué)人教A版)必修第一冊第五章綜合檢測卷(培優(yōu)B卷)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，選對得5分，選錯得。分.

1.設(shè)言是第一象限角，且|cosa|=-cosa,則a是第()象限角

D.四

【答案】B

【解析】計算得到720%<。<180。+720。4，kcZ,再根據(jù)cosa<0得到答案.

r/rf

【詳解】???/是第一象限角，???360%<?<90。+360%,kwZ,

22

/.720%<a<180°+720%,kwZ,

???a為第一象限角或第二象限角或終邊在V軸正半軸上的軸線隹，

V|cos?|=-cosa,Acosa<0,是第二象限角.

故選：H.

【點睛】本題考查了角度所在象限，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

2.已知角。的終邊在第三象限，且tana=2,貝ljsina-cosa=()

A.-1B.1C.--D.—

【答案】C

【分析】由同角之間的公式可■求得sina,cos。，進(jìn)而得解.

【詳解】由角〃的終邊在第三象限，則sina<0,cosa<0

由題設(shè)知,

sin2a+cos2a=1

所以sina-cosa=—^^+正=一些

555

故選：C

3.已知一Wa《兀，則/一a二(

10

57t

T

【答案】c

【分析】根據(jù)角度范圍得到cos2a=-(，sin(a+0=-、，，計算cos(/y-a)=-孝，得到答案.

JTIT4It3

【詳解】一"。工九，—＜2a＜2n,sin2a=-＞0,故一＜2。＜無，故cos2a=-:

42525

花71K夕工手■,(兀＜a+夕＜2幾，cos(a+夕)=一］^＜0，

一＜a＜一,it

42

故:冗＜a+夕＜?,sin(a+P)-;

cos(?-a)=cos[(￡+a)-2a]=cos?+a)x)s2a+sin0+a$in2a

故選：C

4.將函數(shù)〃x)=2cosx的圖象先向右平移g個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓z＞0)

6co

倍，縱坐標(biāo)向下平移1個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在(小非)上沒有零點，則。的取值

范圍是()

C.(。?。勖薉.(o,l］u(l,2］

【答案】B

【分析】確定得到-夕當(dāng)-5］,根據(jù)函數(shù)沒有零點結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)得到不等

30\262o7

關(guān)系，計算得到答案.

【詳解】根據(jù)題意：g(x)=2cos"-2卜，g(x)=O,即cos(“x-2=；

gG)在停，手〕上沒有零點,故工之［一三，則03，.

2Jj223

「Ln,冗(_冗_(dá)①_兀_3兀①

兀69兀、兀TtCD兀、兀

26^3-,26；,解得或14。4二

則＜或“

3兀6ynn3兀6y7157r39

26-3.26-3

故迄B

5.設(shè)函數(shù)/(x)=cos5+三(。＞0),已知函數(shù)在［0,句上有三個零點，則3的取值范圍為()

kD)

23乃33乃23332333、

記，而To'ToTo,loJ

【答案】D

【分析】確定從左至右的第3個零點與第4個零點與乃的比較建立不等式即可求解.

【詳解】/(x)=cosf5+《|是由g(x)=cos(x+g]縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，倍而?要使函數(shù)在

15/\57co

241

z<

(X-乃

\25--33

。23

可上有三個零點,則，-

[0,〃I1O

410

(z-

\-5-

2刃

故選：D

43434.

6.已知4=b=§sin*,c=tan—,則。，b?。的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】結(jié)合已知條件，利用中間值法即可比較大小.

【詳解】由于()<：<￡,由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，cos：>sin：,

4444

43.4.3

則mila=—cos—>D=—sin—,

3434

,胡4萬4r-4

由一<一<一,則c=tan—>>/3>—>a，

33233

故c>a>b.

故選：D.

7.對于函數(shù)/(x)(xc。)，若存在常數(shù)丁(7>0),使得對任意的iw。，都有/(x+r)E/(x)成立，我們稱函

數(shù)/(幻為“7同比不增函數(shù)若函數(shù)/")=kx+cosx是“々同比不增函數(shù)”，則實數(shù)〃的取值范圍是()

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到小+g卜/(x)，再利用余弦的和差公式與輔助角公式得到￥松小+沙成立,

從而得到在的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/(幻=履+cosI是個同比不增函數(shù)”,

所以/X+—</(x),BPAJX+-^j+cosx+—<Ax+cosx,

故E%Kcosx-cos[x+E]=cosx-fcosxcos--sinxsin——sinx+-cosx7T

=sinx+-恒成立,

3I133J22I6)

/./(x)=2sin(2x+f),

6

???函數(shù)，（x）的圖象可由y=Minu）x的圖象向左平移專個單位得，??.4錯,

令2x+：=彳+%乃，kez,對稱軸為*=丁+々-,則B錯，

6262

人7C7Tf7C.7CkJTJTkJT-.

^2X+-G--+k7r,-+k^，則xe,則C錯,

6L22JL3262

令2嗚=加g則片條？則°對，

故選：D.

【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)，考查了正弦函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分.

17

9.已知?！?,4），sin。—cosJ=B，則下列結(jié)論正確的是（）

八「乃1八12八5tan<9_60

A.—7vB.cos0=------C.tan0=--D.

（2y）1312l+tan?。一一麗

【答案】AD

【分析】對于A,由已知等式可判斷cos0<0,從而可判斷出0的范圍，對于BC,由已知條件結(jié)合

sin%+cos2e=l可求出sin仇cose,從而可求出tan?的值,對于D,將tan6的值代入計算即可.

【詳解】對于A,由題設(shè)cosO=s:n"￡<l-[=Y<0=ed5J'故A正確；

17

對于BC,因為si/e+cos?”1,sin^-cos^=—,

所以8$2，+cosO+U]=1,化簡得169cos'。+221cos。+60=0,

I13j

512

解得cos0=-----或cos0=------,

1313

5x?八17C17512則tan6=一工

一時，sin0=—+cosU=——----

13131313，5

12.17171255

當(dāng)cos夕=一——時，sinO=——+cosO=——則tan8=一一

131313T51312

所以B,C錯誤:

1212

iotan9~y60

對「D,由前面的解析可知，當(dāng)tan?=--21時，.?n

CI-TIdnC7.(12]菽一旃,

1+-----

I5)~25

55

當(dāng)tan。=一卷時,tan。"12="12=60

1+tan;.f5':169169'

1+―]144

1⑵

tan。_60

爾l+tair6>="169所以D正確,

故選：AD.

10.已知函數(shù)/（x）-sin"+野3>0）在區(qū)間［0,可上有且僅有4條對稱軸，則下列四個結(jié)論正確的是（

)

A./"）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有3個不同的零點

B./（?。┑淖钚≌芷诳赡苁?

C.”的取值范圍是y,yj

D./（x）在區(qū)間（0*）上單調(diào)遞增

【答案】BC

【分析】先根據(jù)/（x）在區(qū)間［0,可上對稱軸的情況求得。的取值范圍，然后結(jié)合函數(shù)的零點、最小正周期、

單調(diào)性等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由函數(shù)/（x）=sin|（<y>0）,令刃工+巴=%兀+工，ZreZ,則（"+17c,keZ,

\6；6236y

函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,可上有且僅有4條對稱軸，

即0?（34+1）兀?兀有4個整數(shù)％符合,

由0?（34+1）%《兀,得0W（女+）Wln0W3k+lW3i,

3@36y

則A=0,l,2,3,即l+3x3W3“<l+3x4,—<6><—,故CjE確：

33

4T/八、兀（nn\兀「7;197tl

對于A,xe（o,兀），COX+—G—,/兀+—，697T+-G—,一,

6\66）6\_22J

當(dāng)。兀+47r時，/（x）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有3個不同的零點：

6L2_

當(dāng)即兀,與卜寸，在區(qū)間（0,兀）上有且僅有4個不同的零點，故A錯誤；

對于B,周期7=漢由［4。〈二，則三Jwj

co3313Ct）10

?假乂9倍，當(dāng)，所以/⑺的最小正周期可能是:故B正確；

對于aA^+-e|-,—+-J,又黃。<丁，

4兀197rr4冗冗197r兀

'又?寸5

936

所以/(x)在區(qū)間xe(0,展)上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤.

故選：BC

11.下列選項中，與sin"的值相等的是()

6

24

A.B.cos18cos42-sin18sin42

3

Dtan30+tan15

C.2sin75°sin75

1-tan30tan15

【答案】BC

【分析】計算得到sin?=g,再根據(jù)和差公式和二倍角公式，誘導(dǎo)公式依次計算得到答案.

62

【詳解】sin與=sin?=:，cos^=-l故A錯誤；

66232

cos18cos42-sin18sin42*=cos(l8+42)=cos60=—,故B正確;

2

2sin15°sin750=2sin150cos150=sin30°=—,故C正確:

2

tan300+tan15°八~,…、…口

:-----————=tan(30°+15°)=tan45°=1,故D錯味.

1-tan30°tan150

故選：BC

12.己知奇函數(shù)f(j)=\/3sin(<yx+^)-cos((ox+(p)((o>0,0<^<z)的最小正周期為兀，將函數(shù)/(幻的圖象向

右平移今個單位長度，可得到函數(shù)V=g(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)g(x)=2sin(2x-學(xué)B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點卜。可對稱

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)人』0,1時，函數(shù)g(x)的最大值是赤

_63JL2」

【答案】AB

【分析】利用兩角差的正弦公式將/(x)化為/(x)=2sin(0x+e-3),根據(jù)函數(shù)的最小正周期確定/，根據(jù)

6

JT

奇偶性確定e=：，可得其解析式，根據(jù)三角函數(shù)的平移變換可得函數(shù)g(x)的解析式，判斷A;代入驗證可判

O

斷B；根據(jù)x的范圍，確定2x-5的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，可判斷CD.

【詳解】由題意可得/(x)=退s\n(a)x+(p)-cos(cox+(p)=2sin?r+(p--),

因為/(x)的最小正周期為九，所以@=包=2,

n

又因為/(x)為奇函數(shù)，所以＞一二=E,，3=2+A7r,AcZ,而0＜。＜兀，故＞==,

666

所以/(x)=2sin2x,

則將函數(shù)/⑺的圖象向右平移多個單位長度，可得到函數(shù)V=g(x)的圖象，

6

故虱》)=25由[23一芻)]=25由(2.￥—?),A正確；

63

將X=4代入g(x)=2sin(2x一'中,有2sin[2V)一?=0,

即函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點卜小。)對稱，B正確；

當(dāng)時，2》-裊[-?百，由于正弦函數(shù)y=sinx在[-=《]上不單調(diào),

o3J33333

7T7T

故g(x)在區(qū)間一乙\上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯誤；

當(dāng)xw[o,J時,2%-中[-*孕,g(x)=2sin(2x-^)G[-V3,2],

-J，JJJ

函數(shù)最大值為2,D錯誤，

故選：AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若cosa=；,a是第三象限角且Jl-cosa=亞5出言,Wijcosy=.

【答案】一"

3

【分析】根據(jù)cosa=1,且Jl-cosa=Vising,求得sin?,再根據(jù)。是第三象限角，確定？的范圍，然

后利用平方關(guān)系求解.

【詳解】因為cosa='，且J1-cosa=后sin區(qū),

32

所以$由4=上＞0?

23

又因為。是第三象限角，

所以履十四＜巴＜依+生,〃eZ,

224

則3是第二或第四象限，

Xsin—=—>0，

23

所以處在第二象限，

所以cos^"=_Jl_(sin9二一當(dāng)，

故答案為：—旦

3

14.寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：/(')=.

①/(X)為奇函數(shù);②/(X+1)為偶函數(shù)；③〃可在R上的值域為[-2,2].

【答案】2siny(答案不唯一)

【分析】根據(jù)①②可知/(x)是周期為4的周期函數(shù)，可根據(jù)三角函數(shù)的周期關(guān)系寫出符合題意的函數(shù)形

式.

【詳解】由②可知/(x+l)=f(lT),由此可知/(x+2)=f(r)=—/a),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

故/(x)是周期為4的奇函數(shù)，/'(x+1)是周期為4的偶函數(shù)，

因此不妨假設(shè)/(x)=4sins,則7=空=>/=：,

(02

由③可知/(x)=2sin?或〃x)=-2sin§均可.

乙4

故答案為：2siny(答案不唯一」

15.已知啰>0,函數(shù)/(幻=8疝(26+「|+2cos在(0,冗)上恰有3個零點，則山的取值范圍

\\12,

為.

…八、(4111

【答案】三，7-

136J

【分析】先對函數(shù)化簡變形得/(x)=2sin(23x+5),然后由0<?兀求出2s+。的范圍，再由函數(shù)在(0,兀)

上恰有3個零點，可得3笈<2/用+?44乃，從而可求出切的取值范圍.

【詳解】/(x)=x/Jsin(2m+>2cos2's+

rz.(兀、(c乃1

=\3sin2cox+—H-cos2cox+—

167116yl

=2sin2<yx+—(a)>0),

由0vx(兀,得一<2,COXH--<2.(071+—,

333

因為/(x)在(0,兀)上恰有3個零點,

所以3%<20江+工44〃，解得士<3(口，

336

(411'

即“的取值范圍為,

136J

故答案為：?

136J

/\r-ir

16.已知函數(shù)/(x)=cos姐—當(dāng)3>0)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)2A時，/(xnO恒成立，則口的

IL.64J143」

取值范圍為_____________

，4~1「］7一

【答案】0,-U8,-

I3」L2.

【分析】用整體法處理，由求出①X—/范圍，同理由X』?，』求出3-9范圍，由余弦函數(shù)單增

.64J31_43」3

區(qū)間和/(x)之0區(qū)間求出。范圍，進(jìn)而得解.

【詳解】當(dāng)xey,7時，的一卜，因為/(x)在7^上單調(diào)遞增，

_64J316343」\_64_

--I?2-4+12%

所以工儂一二69一'q[-兀+2伍2砌,女eZ,解得I4,keZ,

6343Lty<-+8Zr

13

_____4

-41f24

即①€—4+12A-,—+8k入z,因為，丘Z,所以y.AwZ,故4=0或1,當(dāng)〃=0

13

-4

時，(oe-4,-,當(dāng)％=1時<yw

J■

當(dāng)時'(OX~^E'因為/(x”°恒成立，

4334333

ci)>-—+^k.

ll幾九7t7C7tc,7tcj31

】、€即

所以嚴(yán)wq-+^,-+2^kGZ,解得),kZ,

a)<—+6k.

2'

25

-1+8^<|+6^

25所以占d用，尢eZ,故勺=0或1,

coe-1+8攵]，5+6左14wZ,因為-kfZ,

?X4

-+6k.>0

[21

當(dāng)1=0時，即卜■永25引1,當(dāng)占=1時叫「422事，,

(41「171(41「17

綜上所述，又因為3>0,當(dāng)〃=0,勺=0時，05；當(dāng)攵=1,勺=1時，SS8,—,所以◎€(),二U8，￥

I3」2\3」L2

<4ir17

故答案為：0,—U8,—

\3」LL.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/"）=

⑴求/（?，）的最小正周期;

(2)若cosO=g傳司，求/伽+g的值.

DX/o)

【答案】（1）2K；（唬31

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式及誘導(dǎo)公式可得/（X）=-從而可求最小正周期;

4

（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求sin9=-二，根據(jù)二倍角公式可求sin2。與cos20,又

及

—sin7n1

2

cos^=-0e\—,2nsin?=——

(2),?,5,I2人，5,

247

:.sin2。=2sin6cose=-----,cos2。=cos2<9-sin?0--,

2525

.z.foz)^夜?(7兀)五?/on兀)■

.?f20+—=------sin20+--------,=-------sin,20——，=cos20,/5一sin2。=—.

I3；2I312)2V4)2f

18.已知Ovxv兀，sinx+cosx=—.

(1)求sinx-cosx的值：

，-2sinO+cosO1…I1.?.

Q)若^―：------=T?試比較tanx與tan0的大小.

sin。一cos03

7

【答案】(l)sinx-cosx=《；(2)tanx>tan0

【分析】（1）將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，求出

24

2sinxcosx="-的值，再利用完全平方公式即可求出sin.r-cosx的值;

(2)根據(jù)第一問求出tanx的值，再利用已知等式求出tan。的值，進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)對于sinx+cosx=',兩邊平方得sin'x+cos?x+2sinxcosx='

525

_.24一

所以2sinxcosx=------,0<x<rc,/.sinx>0,cosx<0,所以sinx—cosx>0,

25

2497

:.(sinA1—cosjr)-=1-2sinJVCOSx=—,:.sinx—cosx=—；

14

sinx+cosx=-sinx=-

；，解得，S4

(2)聯(lián)立，3,所以tanx=-?,

sinx-cosx=一cosx=——

55

因為修鬻W,且cos"。,所以分子分母同除以cos°有：解得tan*2

tanx>tan.

19.已知sin夕+cos。=6sin=l,Oe——

22

⑴當(dāng)，=；，求sin'O-cos'。的值;

(2)求函數(shù)/(?)=a(sin夕+cosO)-sin夕cos〃的最大值g(。).

-a,a<-I

【答案】(1)_些(2)g(a)=<^a~+^-\<a<\!l

【分析】⑴根據(jù)sees*得到W=j代入計算得到答案.

⑵確定化簡得到。(/)=一?2+々+，討論-Y〃匕&和近三種情況，分別計

算得到答案.

【詳解】(1)sine+cosO=g,故(sin夕+cos夕)"=sin，O+cos?6+2sinOcos。,

sinOcos”——sinOcosOcO,又夕￡-py,故-y,0,cos^>0,則sinO<0,

8

(sin。-cos=sin28+cos加-2sin6^cos0=1+(=：,故sin6一cosB=一^~,

x/7556

sin；O-cos'e=(sinO-cos。)《in?B+cos》+sin9cos6)=---K-*=—----

2816

回后,外，故。十色卜;，王，故，匈,

⑵”岳in(6+/4-1,

]1I

f(0)-t?(sin0+cosO')-sin0cos0-at------=/2+at+—,

設(shè)/?(/)=-弓〃+a/+5,二次函數(shù)的對稱軸為，=。，

當(dāng)"T時，M入X=M7)=F；

當(dāng)時,=〃(a)=#+g;

當(dāng)4>及時,，?(')max="(，2)=

-a,a<-\

綜上所述:g(a)=,—a~+—,-l<a<\/2

22

y[2a-—,a>1

2

20.已知函數(shù)/(x)=2sin26yx-ccs2(ox+/〃(0<0<1)的圖象關(guān)干點你2)

對稱.

(1)求0,m的值;

②將的圖象向左平移3個單位長度’再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍’縱坐標(biāo)不變’得到函

數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在[0,3司上的值域.

【答案】(1)〃?=1,3=；；(2)[2-應(yīng),4]

【分析】(1)由二倍角公式降幕后，由余弦函數(shù)的對稱性可求得包機(jī)值:

(2)由圖象變換得出g(x)的表達(dá)式，再由余弦函數(shù)值域得結(jié)論.

【詳解】(1)/(X)=1-cos2cox-cos2cox+m=m+\-2cos2(ox,

依題意可得用+1=2,等^GZ(0<<y<l),

則加=1,69=—.

2

(2)由(1)知/(x)=2-2cosx,貝ijg(x)=2一2cos(

、“6?1,x)「乃5萬

當(dāng)工?0,3句時，-+-e,

34144

故g(x)在[0,3句上的值域為〔2-應(yīng),41.

21.已知函數(shù)f(x)=sin2(?+x)—-<os2x.

⑴求函數(shù)/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若xw0,y,求函數(shù)/(x)的取值范圍；

⑶①將函數(shù)/(X)的圖像向上平移3個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像：

②將函數(shù)/(X)的圖像向右平移g個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像；

③將函數(shù)"X)的圖像上每個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖像;

從上述三個變換中選擇一個變換，使函數(shù)g(x)在0,|上有兩個零點，并求出零點.

【答案】⑴兀，卷](keZ)；

⑶選擇變換②，兩個零點分別為尸卷和》=好

【分析】(1)利用二倍角公式及輔助角公式化簡/(X),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

(2)由(1)中函數(shù)式，求出在給定區(qū)間上相位的范圍，再借助正弦函數(shù)性質(zhì)求出最值作答.

(3)依次選擇變換①②③，求出函數(shù)g(x)解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)討論g(M零點:情況作答.

l-cos(-+2r)61r6?1.0萬"

r(x)=-----------------cos2x=—sinzx----cos2x4—=sin(2x——)4-

【詳解】⑴依題意，2222232,

所以函數(shù)/(外的最小正周期7=予=萬，

由24萬一巳42x-—<2k7r+—,keZ得：k7r--<x<k^+—,keZ,

2321212

所以函數(shù)/*)的單調(diào)遞增區(qū)間是：伏乃-二，女乃+若](左eZ).

7T171三2一*

/(.r)=sin(2x--)+-XG[0,-]

(2)由(1)知，