第6講空間角與距離

復習要點能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面

的距離問題和簡單的夾角問題，能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問

題中的作用.

理清教材,‘強基固本基本排查?清障礙

1基礎普查

一空間向量與空間甬的關系

1.兩條異面直線所成角的求法

設兩條異面直線”，b的方向向量分別為a,b,其夾角為8,則cos(p=|cos"=

瑞(其中S為異面直線。，〃所成的角，范圍是(o,?］)

2.直線和平面所成角的求法

如圖所示，設直線/的方向向量為明平面a的法向量為〃，直線/與平面。所成的角

為中,兩向最e與〃的夾角為則有sin3一|。3向二馀j3的取值范圍是［0,2.

3.求二面角的大小

⑴如圖1,48,C3是二面角a-//的兩個半平面內與棱/垂直的直線，則二面角的大小

0=<ABJCD).

圖1

(2)如圖2、圖3,小，也分別是二面角a-//的兩個半平面a,夕的法向量，則二面角的

大小6滿足COSJ=COS</1|,〃2〉或一COS</11,〃2〉，取值范圍是［0,兀］.

二二

II

圖2圖3

二利用空間向量求空間距離

1.點到直線的距離如圖，已知直線」的單位方向向量為〃，4是直線/上的定點，。是

—?-?—>

直線/外一點，設4夕=%則向量AP在直線/上的投影向量4Q=3M〃，在R【AAPQ中，

由勾股定理，彳導PQ=］怯_

2.點面距離的求法

如圖，設人3為平面〃的一條斜線段，〃為平面。的法向量:，則點3到平面a的距離d

1/48?川

回.

常/用/結/論

最小角定理:如圖，若0A為平面a的一條斜線，0

直線與平面所成的角是直線與平面內的直線所成一切角中最小的角.

為斜足，0B為。人在平面?內的射影，0C為平面a內的一條直線，其中。為0A與

0C所成的角，4為與1陽所成的角，即線面角，優(yōu)為與OC所成的角，那么?維電

=COS〃|C0S%

三余弦公式，由于COS02V1,所以有cosOvcosOi,由單調性得0>01.

A

i.判斷下列結論是否正確.

（1）兩條直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.（）

（2）直線的方向向量為孫平面的法向量為〃，則線面角。滿足sin"=cos〃〉.（）

（3）兩個平面的法向量所成的角就是這兩個平面所成的角.（）

（4）兩異面直線夾角的范圍是（0,j］,直線與平面所成角的范圍是［o,手，二面角的范圍

是［0,兀］.N）

2.已知向量，〃，〃分別是直線/的方向向量和平面”的法向量，若cosn>=

則/與a所成的角為（）

A.30°B.60°C,120°D.150°

解析：設直線/與平面a所成角為則sinO=|cos5,|=1,X00<^<90°,故8

=30°.

答案：A

3.已知4120）,R（31,2）,C（2,0.4）,則點C到直線AB的距離為（）

A.B.cqB.錯誤!未定義書簽。C.2小D.2小

—>—?

—>—?—?-?

解析：因為A8=（2,-1.2）,AC=（1,-2,4）,所以AC在AB方向上的投影數(shù)量為經竽

\AB\

2+2+8戶］-------------二

=丁+1+4=4?設點。到直線AB的距離為丸則d=1J|AC|2一42=41+4+16-16f.

故選B.

答案：B

4.（2023?全國乙卷，理）已知△A8C為等腰直角三角形，A3為斜邊，△AB。為等邊三

角形.若二面角CA&。為150。，則直線與平面A8C所成角的正切值為（）

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

解析：如圖，取A8的中點E,連接CE,DE,因為△ABC是等腰直角三角形，且AA

為斜邊，則有CE上AB,又△48。是等邊三角形，則從而NCEQ為二面角C-AB-D

的平面角，即/。石。一15。。，

（2）（2024?江西南昌模擬）如圖，某圓錐的軸截面A8C是等邊三角形，點。是線段AB的

中點，點￡在底面圓的圓周上，且8￡的近度是C￡長度的2倍，則異面直線。E

確定點E的位置.

與AC所成角的余弦值是（）

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

—>―?->

解析：⑴設A4=c,AB=a,AC=bf三棱柱"C-4向G的所有校長均為」.

【簡化運算】題干中告訴我們''底面邊長和側棱長均相等為了后續(xù)計算方便，我們可

以將棱長設為1,不影響結果，千萬不要再引入參數(shù)k,費心費力、得不償失.

由題意知“力=Ixlxcos60。=3,bc=T，ac=^f

?：?ABiiBCr=（4±￡）:位二q±?=5-1+5

基底參與運算，為計算夾角作好鋪墊.

+2-2+1=1,

又|ABi|=yja+c2=yla2+2ac+c2=.1+1+1=小，|8Gl=yjb—a+c?=

^14-1+1-1+1-1=75,

ABrBQ_yfe

69

idfidia&i

嚴格按照夾角的計算公式，這里是兩個向量的夾角余弦值.

???異面直線AB,與BCi所成角的余弦值為乎.故選A.

⑵方法一（幾何法）：如圖，取8c的中點。，連接。力，OE,OA取OB的中點F,連接

DF,EF.^AB=4f則。E=2,OF=1,OA=25.因為血的箕度夏C￡長度的2儡-所以

N8OE=120°,則E產=。丸+。產一2OE.0Fcos120。=7.

E

計算的目標最終指向AODE的三邊的長，而異面直線DE,AC的夾角轉化為NODE的

計算.

因為。，產分別是48,OB的中點，所以。尸=/。4=小,DF//OA,易知。4_L平面

OFE,所以。尸_L平面。莊，所以。尸_LE/，Ml]DE=產+￡尸=也.因為。，。分別

是48,BC的中點，所以四應3^2,所以NOOE或其

異而在線所成的角，平移后相交來實現(xiàn).

0》+。爐一。層4+10-4

補角是異面直線DE與4C所成的角，則cosNOQE=_20D,DE-=-------------

2x2xy而

回

4?

方法二（建系法）：取8。中點。，連接AO,0￡取8c中點M,連接OM.易知0%OC,

。4兩兩垂直，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖.

建系后主要是計算點E、點D的坐標.向量法的關鍵有兩點：①如何恰當?shù)亟ㄏ?；?/p>

準確計算出各點的坐標，尤其是不在坐標軸上的點的坐標.

設BC=4,則40=2小.所以4（002巾）,C（0,2,0）,B（0,-2,0）,則D（0,-I,回

仇小，1,0）,心嫄kJ龍二市hJg異面直線理與/C所成角

―?-?

37tr—

/QJ=警吧=—-—=410

\DE\\AC\也x4

異面直線所成的角，轉化為兩個向量的夾角，當然兩個概念是有區(qū)別的.

故選B.

I解題感悟I

1.求異面直線所成角0的余弦值的思路

(1)選好基底或建立空間直角坐標系.

(2)求出兩直線的方向向量也，V2.

(3)代入公式cosO=|8s〈片，V2>1=窗扃求解.

2.兩異面直線所成角的關注點

兩異面直線所成角的范圍是(0,￡),兩向量的夾角〃的范圍是[0,H],當異面直線的方

向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍

角時，其補角才是異面直線的夾角.

對點練1如圖1,在矩形4BCD中，AB=2t^。上1石是。。的中點，將△OAE沿AE

折起，使折后平面OAEJ■平面ABCEf如圖2,則異面直線AE和BD所成角的余弦值為

解析：方法一：連接BE(圖略)，易知

以、E為原點,以所在直線為x軸，座所在直線為y軸，過點E作垂直于平面人ACE

的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則E(0,0,0),A(72,0,0),8(0,也，0),

即異面直線AE和8。所成角的余弦值為一奢.

方法二：如圖，取AE的中點O,連接。O,BO,延長EC到/使EC=C￡連接BF,

DF,OF,易知/好〃???N。/".為異面直線AE和。B所成的角或它的補角.???/%=。七

V2

：.DOA-AE且AO=DO=

f2.

AO1+AB1-BO1J2

在△AB。中，根據(jù)余弦定理得cosZ.OAB=cos45"=2,AO-AB=2，,，BO=

邛2同理可得，0尸="^.

又???平面OAEJ?平面ABCE,平面/MH1平面A8CE=4E,。0<=平面。AE,D01AE,

???QO_L平面ABCEIBOu平面ABCE,：.DOLBO.

222

：,BD=BO+DO=^^^=3f即3。=小.

8￡^2+8尸一D戶

同理可得，。r=幣又?：BF=AE=^2,???在△￡>"中，cosNQB/=一曲而—

3+2-7巡

==一6.

2x小x班

???兩異面直線的夾角的取值范圍為[。，f],

???異面直線人石和B/)所成角的余弦值為手.

答案：乎

題型D2定義法求線面角

典例2如圖，已知多面體ABC-A山iG,4b,￡功,CCi均垂直壬平面MGNA%=

[2Q。,AA=4,.CQ三!"Af=f?=￡%=2學會審題：前面介紹位置關系,后面敘述數(shù)量關

系.

(1)證明：平面A同G;

(2)求直線AG與平面人8所所成的角的正弦值.

(1)證明：依題意，可知AA\±ABtAAiLAC,BB\LAB,BBiLBC,CCilBC,CC|±

AC由AB=2,AA\=4,BB\=2,易得A8]=Ai8i=2小,

所以李M江故地JA即

數(shù)量關系決定位置關系，后面證明ABI_LBIG,也是同樣的思路.

由BC=2,55i=2,CCi=l,易得由G=..

由A8=BC=2,NABC=120。，得4c=2小.

特殊的等腰三角形.

由CG_LAC,得4G=行，

所以4蹄+8。=4況故48I_L8￡.

又因為4%n%G=Bi,AM-Ciu平面4/Ci,所以A8IJ_平面461G.

(2)解：方法一：如圖，過點Ci作GOLAIBI,交直線4辦的延長線于點。，連接AD

由里面A曲Q-A為UE面/股口彳曼光直&比C1"M4照L，面面垂直的判定定

理，而后面的敘述則以此為依據(jù)，利用面，面的性質定理，得到過Ci作平面ABB1的垂線，

垂足D落在兩平面的交線AIBIh.

由GDlAiBi,平面AiSCC平面A58]=48i,GDc平面4SG,得GQ_L平面ABBi.

所以NGA。即為AG與平面ABS所成的角.

由AAi=4,CCi=\.AC=2小，AAi^AC,CG±AC,易得由G=y[2\f

由BiG=小，481=2A/2,A\C\=y[?At

得casNCA的三二^^“inNCiA血三平，

△AiBiA中計算汁?NCiA】B],目的是計算CQ的長.

所以CiD=4CsinNCA山i=小,

C\DA/39

故s'\nZC\AD=

AC=13.

因此直線4G與平面所成的角的正弦值是一印.

方法二：由題知34」平面ABC,CGL平面A4C.

所以BS〃CG,因為CGC平面ABS,88仁平面4881,

所以面/豳「過工點作?力交直

點C和G到平面ABB1的距閶相等，這樣的轉化很好，我們應仔細體會.即借助線〃

面，實現(xiàn)點到平面距高的轉化.

線A8的延長線于點名圖略)，易得C從L平面A85,且C”=小.所以G到平面A8B1

的距離4=小.

記AG與平面ABBi所成的角為仇

-△__d__V3V39

所以sin。-Ad—]3?

小

I解題感悟I

定義法求線面角的步驟

(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線，或過斜線上一點作平面的垂線，確定垂足的

位置；

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面內的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角;

(3)將該角歸結為某個三角形的內角(一般是直角三角形)通過解三角形(可能需要解多個

三角形)求得該角或其三角函數(shù)值，如sin.其中，。為線面角，〃為點8到平面a的距離，

/為斜線段A8的長，如圖.

對點練2如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=\,AD=2fZA=60°,沿對角線8。

將△4B。折起到△PB。的位置，使得平面P8。！平面8CD,連接PC,則PD與平面P8C

所成角的正弦值為.

解析：在中，由余弦定理得3。=小，則4"+BD2=AD2,所以A8_LB。，

貝ijPBVBD,因為平面P8D_L平面BCD,平面PBDC平面BCD=BD,所以PB_L平面BCD,

因為P8u平面P8C,所以平面P8C_L平面BCD如圖，過點。作。E_L8C于點E,易證。E

_L平面P8C,連接PE,則

NDPE即為直線PD與平面P8C所成的角，在4PDE中,PD=2,。七=號亞=乎

羋

所以sin/。尸石=等=苧，所以。。與平面P8C所成角的正弦值為手.

心心小

答案：4

題地向量法求線面角

典例3（2023?全國甲卷，理）如圖，在三棱柱A3C-A向G中，4C_L平面ABC,ZACB=

90。，A4=2,A_i到堊面覆CQ叢的距離為1?本例關鍵在于如何轉化這個條件.

⑴證明：AC=A|C;

⑵已知&“與避如的題離為2,求明與這個條件目的是給出BC的長.怎樣轉化呢?

平面8CGS所成角的正弦值.

(1)證明：???AC_L平面ABC,BC,ACu平面ABC,/.A|C±BC,A|C_LAC

乂NAC8=90°,：,AC1BC.

???4iCnAC=C,AiC,ACu平面ACCNi,

???8C_L平面ACG4.

???BCu平面BCCiBi,???平面ACC&JL平面BCC此.

本例的題眼在于此，由面1面的性質定理，A.到平面BCC.B,的距離，轉化成Ai到CCi

的距離.即在即△ACC中，斜邊CG=2,斜邊上的高AQ=1,則可推得△ACG是等腰

直角三角形.

如圖，過點4作4D_LCG于點。，

,/平面ACG4_L平面BCG&,平面ACG4Cl平面BCC、B\=CC],4Qu平面ACCA\,

???AiO_L平面8CGS,.,.AiD=L

???A￡〃AC,?"CJ_4G.

由棱柱的性質知CCi=AA,=2,

又Al又士@C'2=cc￥=4,②

其實這一段證明過分強調代數(shù)推導，而忽視了幾何推理.在直角三角形AiCCi中，斜

邊CG=2,而斜邊上的高AIH=1,即斜邊上的高和斜邊的中線K相等呀！

聯(lián)立①②，解得AiC=AC=^2.

由棱柱的性質知4G=4C,???4C=AC=^2.

(2)解：如圖，過點D作DE〃BC交BBi于點E,連接AE,則,邂L乎面ACC0J

DE_L平面ACGAi,

nAAi_L平面AiDE=i>AAi±A|E.

DAilAAi

"Gu平面人CG4,：,DEA.CC\.

VD￡OAID=D,DE,AQu平面AQE,

???CG_L平面AiQ￡

???AiEu平面4￡>E,ACC\YA\E.

由棱柱的性質知，AA\〃CC\〃BB\、

：.AAi±AiEtBB\VA\Ey

，線段4E的長即為"i與幽的距離，??ME=2,:.普RA屋二&四一心

這樣成功地將AAi與BBi的距離轉化為BC=A/3.

易知四邊形DEBC為平行四邊形，

：,BC=DE=小.

由(1)知直線CA,CB,CA兩兩垂直，故以點C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角

坐標系，則C（o,0,0）,4（V2,0.0）,5（0,小，0）,期二~啦〃他"飛②，應用BB尸

AAt,求得&的坐標.對于不在坐標軸上的點，坐標的求法常常根據(jù)向量相等來計算.

―>―?—>

???/1辦=（一2?，幣，?CBi=（-72,小,<2）,CB=（0,小，0）.

設平面8CC由i的法向量為〃=（x,），，z）,

'一

n-CB\=0,—啦x+小y+巾z=0,

則q即＜

—?

、73y=o,

ji-CB=0t

令x=i,則y=o,z=I,?,.〃=(1,0,1).

設直線4/力與平面BCCS所成角為

—>

貝ljsin9=|cos<AB\,n>|」竺閭=-----巫---------=

|A8i||〃|，8+3+2x

I解題感悟I

向量法求線面角的方法

如圖所示，設/為平面”的斜線，lC\a=Af。為/的方向向量，〃為平面a的法向量，（P

為/與a所成的角，則sin夕=|cos〈明〃〉|=

I。?川

\a\\n[

對點練3（2024.河北張家口模擬）如圖，在三棱錐P-ABC中，側面PAC是邊長為2的正

三角形，BC=4,AB=2小，E,"分別為尸C,的中點，平面4E尸與底面ABC的交線

為I.

（1）證明:/〃平面P3C

(2)若三棱錐P-A8C的體積為生F，試問在直線/上是否存在點Q,使得直線PQ與平

面AE尸所成角為a,異面直線PQ,EF所成角為0,且滿足a+夕若存在，求出線段AQ

的長度；若不存在，請說明理由.

(1)證明：由題意可得，E,尸分別為PC,P8的中點，所以E尸〃BC,乂8Cu平面ABC,

ERt平面4BC,所以律〃平面ABC

又研u平面AE"平面AEF與底面48c的交線為/,所以比〃/.

從而，/〃AC,而BCu平面尸8C,應平面