專(zhuān)題5?3平面向量中的奔馳定理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算

目錄

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明.......................................................3

奔馳定理以及四心的向量式..........................................................4

蝴o四心的識(shí)別.........................................................................6

奔馳定理...........................................................................9

酗且四心的相關(guān)計(jì)算....................................................................13

酗國(guó)奔馳定理與四心的綜合題...........................................................27

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

技巧一.四心的概念介紹：

（1）重心：中線(xiàn)的交點(diǎn)，重心將中線(xiàn)長(zhǎng)度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線(xiàn)的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線(xiàn)上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線(xiàn)的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線(xiàn)的交點(diǎn)，高線(xiàn)與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理…解決面積比例問(wèn)題

重心定理：三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn).

已知/XABC的頂點(diǎn)A（x,y）,8（看，y2）,。（不，為），則△ABC的重心坐標(biāo)為G（/+；+』,上」告上21）.

注意：（1）在AABC中，若O為重心，則。4+ozi+od=（j.

（2）三角形的重心分中線(xiàn)兩段線(xiàn)段長(zhǎng)度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+Slt-OB+SCOC=6,則△AO8、△AOC、△BOC的面積之比等于4：4：4

奔地定理證明：如圖，令4。4=。4，A20G=OB；,^oc=oc',即滿(mǎn)足oA+0&+O&=0

技巧三.三角形四心與推論：

(1)O是AA8C的重心：S^BOC:S^COA:S^A0B=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

(2)O是AABC的內(nèi)心：S,、1toe:S△eg；S^AOB=a：b：c=(tOA+bOB+cOC=0.

(3)O是△ABC的外心：

S*::sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6?

(4)O是AABC的垂心:

SAB0C:S^COA:SAOB=lanA:tan8:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)結(jié)論

ABAC

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量后百+公三所在的直線(xiàn)上.

卜勾.尸《十忸4?尸《十|司.pR=6oP為ZMBC的內(nèi)心.

(2)外心：0=|園op為八48。的外心.

(3)垂心：PA?PB=PB-PC=PC,PA。P為2BC的全心.

(4)重心：PA+PB+PC=6。p為AA3C的重心.

BC

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明(全)

【重心】：若0為^ABC重心

⑴SABOC:SACOA：SgOB=1：1：1；

(2)礪+礪+祝=6：

(3)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)滿(mǎn)足加=05+4(麗十祝)，久￡(。,+8),則產(chǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的全心

(4)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足歷=34+4^G((X+OO),則動(dòng)點(diǎn)P的枕跡一定通

過(guò)AABC的重心

%%+為+%、

(5)重心坐標(biāo)為：

3'3J

【垂心】：若O為XABC垂心

⑴OAOB=OBOC=OCOA

2I.|2I.|2i^_|2I.|2.|2

M+四=\OB\+|C4|=\OC\+AB

福

(3)動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足加=麗+4%G(0>+8),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)

A8|cos8AC|cosC

△ABC的垂心

⑷Swoe'S^COA'S&A()B=SnA.tanB.tanC

⑸tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=6-

【內(nèi)心】：若0為4ABC內(nèi)心

⑴:SdcoA:S&AOB=a.b:c

(2)a-OA+b^OB+c-OC=0

AB

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足O戶(hù)=。,+/1.十,/l￡[O,+cc),則P的軌跡一定通過(guò)aABC的內(nèi)心

1叫

AB}BC

MJ=甌

【外心】：若0為aABC外心

⑴O#=OB'=O自

____/__

OB+OC,屈

(2)動(dòng)點(diǎn)。滿(mǎn)足麗=?XG(0?4-00),則動(dòng)點(diǎn)P的枕跡一定通

21網(wǎng)cos4AC|cosC^

過(guò)aABC的外心:

(3)若(加+0B)?麗=(瓦+元)ET=(汝+宓)/=(),則0是△ABC的外心;

⑷SABOC：S△CQZ:S308=sin2A:sin2B:sin2C；

⑸sin2A.O4+sin2B.0B+sin2C.OC=6

奔馳定理以及四心的向量式

證明：己知。是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，△8OCA4OCA4O8的面積分別為梟，,Sc,求證:

s八?次+SB?為+Sc衣=6

【解答】如圖，延長(zhǎng)。4與8c邊相交于點(diǎn)。則

BD_SgBD_S'BOD_S^BD-S&BOD_Sc

DCSMCDSAC0DSACD—S^CODSB

―?DC—?BD—?

OD=—OB+—OC

oCoC

SB_Sc_,

「OB+KOC

°D_SBOD_S（X）D-SBOD+SCOD_S.

SB（）A+COAS+

SBSc

??.OD=^~0A

SB+SC

???--^OA=^f^OB^^f^OC

S+S十OcQg十o（?

RC

：.S/A.O4+5/,.CB+5c.dC=6

推論：0是MBC平面內(nèi)的一點(diǎn)，且X?次+y?麗+Z?1=6,則

S.,r

S^OC:SACOA:S^OBTX：M|z|②=

°AABCX十）十Z

【奔馳定理與三角形四心向量式】

1、。是AA9C的重心=SABOC:SACQA-Sg（）B=1：1：1=0A+OB+OC=0

2、。是AABC的內(nèi)心++

3、。是AA8C的外心oSA80c：SAC0A：SM08=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A.OA4-sin23?礪+sin2C.OC=6

4、。是AA8C的垂心SAR（~）C:SACCA?SAACR~tunA:tanB:tunC

=tanA?CM+tanB?OB+tanC?OC=0

CDCD

證明：如圖。為三角形的垂心，tanA=——,tanB=——=>tan/I:tanB=DB:AD

ADDB

SABOC:S&COA=DB:AD

??Sgoc,S&8A=gnA:tanB

同理得

S&COA'S^OB=6nB:tanC,S^BOC：=tanA:tanC

11

Swoe:S^COA:S^OB=匕A:tanB:tanC

奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

重點(diǎn)題型?歸類(lèi)精講

題型四心的識(shí)別

1.已知點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：

甲：PA+PB+PC=O：乙：PA?(PA-PB)=PC.(PA-PB)；

丙：|PA|=|PB|=|PC|；?。篜APB=PBPC=PC'PA.

如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為()

A.甲B.乙C.丙D.7

【答案】B

【解析】

甲：P為4ABC的重心；

乙：(PA-Pd)(PX-PEi)=OnCA-BA=O，即4ABC為RtA；

丙：P為AABC的外心；

T:P為AABC的垂心(投影轉(zhuǎn)換)

則AABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，故選B.

2.已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

9二函+義(坐+要■],/te[0,+oc),則P的軌跡一定通過(guò)△4BC的()

11人例\AC\)

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B構(gòu)造菱形

3.若0在AABC所在的平面內(nèi)，a,b,c是aABC的三邊，滿(mǎn)足以下條件

小。X+/2?。月+5。3=0,則。是AABC的()

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【答案】B奔馳定理

4.若0在aABC所在的平面內(nèi)，且滿(mǎn)足以下條件

_、

ACASBCBA（CACB}

0A-=兩=oc-=0,則0是4人8（2的（)

而一而wr網(wǎng),、而一兩）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【答案】B構(gòu)造菱形

【四心之垂心】

5.已知。是平面上一定點(diǎn)，ARC是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足

"=。""［阿嬴+砰4六（°'+孫則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)△板：的

().

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】原式為AP=4=-------+

48cos8|AC|COSC

等式兩邊同時(shí)乘就，得Q?灰=幾

|AB|COSB

*+奉桐悒=。,為屈—"C

6.P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若后.麗=麗.記=k.西，則P是△45。的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】PAPB=PBPC=>PB（PA-PC）=O=>PB±CA,其它同理.

7.若“為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且?guī)煵穱?guó)2=|班卜同2m因2+|珂

則點(diǎn)H是△48。的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】|7M|2+|W|2=|而『+|CA|2=>|7M|2+(M+77c)2=|?|2+[CH+/M)2

得而屈=阮屈=而?5=0,即配,同理可得〃月_LAGHCLBC

【四心之重心】

8.已知G是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，^GA+GB+GC=0，則G是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】A重心的性質(zhì)

9.已知。是平面上一定點(diǎn)，A8C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足

OP=OA+A（AB+AC）t/￡（。+8）,則尸的軌跡一定通過(guò)△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】OP=WL+A(AB+AC)=>AP=A(AB+AC)

AB

10.O是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足。P=OA+Z

|AC|sinC

/LG（0,+OO）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)aABC的（）

A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心

ABACABAC

【解析】於W+和TT+丁，萬(wàn)為BC邊上的高

.-.AP-^AB+碼.

.?■（x+x+xy?+y”+y）

［補(bǔ)充］——重心坐標(biāo)為［二A一：n-rr

【四心之外心】

11.已知。是△ASC所在平面上一點(diǎn)，若方不二^?二反^，則。是△45。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】外心的性質(zhì)

12.己知。是平面上的一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

OB+OC

0P=,^e（0,+oo）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC

-2-A闿cosBAclcosC

的（）o

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】取BC中點(diǎn)M,Ol3+OC=0D,

2

ABAC

OP-OD=A，移項(xiàng)后同乘就

ABcosBACcosC

AB1ACABBCACBC

DP=2nDPBC=2

cos3|T4C|COSCcos3|AC|COSC

DPBC=A-BC+|BC|)=O,即力？_L比

13.0是AA8c所在平面上一點(diǎn)，若+而）?而一（而+反）?正一（方+反）而一0,則

。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解析】記A8中點(diǎn)為。，（3+礪）?麗=0=歷_1_而，其它同理

題理S奔馳定理

14.己知點(diǎn)P是AA8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足244+5/^+303=。，=s,則又改二

S21，

【解析】（法I）：由結(jié)論推廣可得，=L—T=T,所以SAMC=J

3gse2+3+3〉5

（法2）：由2⑸+5而+3定=?？傻?（再+而）+3（而+定）=6,設(shè)AB,BC中點(diǎn)分別是D,E,得

__PD3221I

2布+3即=0,所以點(diǎn)P在中位線(xiàn)上，且7r子所以加

15.已知點(diǎn)P是AA8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足24+P月+2PC=3A月，則AA4P與AA5C面積之比是

【解析】(法1)：由再+而+2定=3而得，PA+PE+2PW=3(PB-P"),即4再一2萬(wàn)一2定=6,

2I

由結(jié)論推廣得

4-2+2-2

(法2)：由尸乂+2月+22。=34看得，PA+PB+2PC=3(PB-PA),即4方一2。月+2PC=。，化簡(jiǎn)

得2中一方+方=6,由中一廂+而十4=6,得通=麗+定，設(shè)AB中點(diǎn)為D,則AB=2PD，

S1

所以點(diǎn)P在AABC的中位線(xiàn)上，所以道^二5

16.設(shè)P為八48c所在平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足3月4+423=〃力方("?>0).若八48P的面積為8,

則AABC的面積為

【答案】14

【解析】法一：共線(xiàn)系數(shù)和+分點(diǎn)恒等式+等積變形

3—.4—/??—..4—

—PAH—PC=—A3("z>0),設(shè)H為線(xiàn)段ACJi一點(diǎn)，且AH=—AC,

7777

3,"*4,?777一3.

則一PA+—PC=一A8=A/7,

777

7

???PD〃AB,???SA^=SAAfiDnSwe=8Xw=14

法二：奔馳定理推論：。是A43C平面內(nèi)的一點(diǎn)，且x?E+y?麗+Z?雙=6,則

①SM:SACOA：5刖。8=|X：|y|：|z|：②^BOC~

0CdA4scx+y+z

???3畫(huà)+4定=加麗=(〃2+3)中一團(tuán)麗+4定=0.

S^APC_4

in+3-+4

17.已知。是“18。內(nèi)部的一點(diǎn)，/A，NB,/C所對(duì)的邊分別為〃=3,〃=2,c=4,若

sin4OX+sinfiOB+sinCOC=0，則與"BC的面積之比為（）

A.19

B"c-jD

9-I

【答案】A

ab

【解析】由正弦定理=K，又a=3,b=2,c=4,所以得《（3.9+20月+4?祝）=0,

sinAsinBsinC

因?yàn)楣す?,所以3。4+2?(歷+4?優(yōu)=6

K

設(shè)函=3詼，西=2礪,M=4詼，可得函+函+M=a則O是△44G的重心

利用所以

ga\8i=S4OB4=SAQA。=S,sinNAO4=sinNAO3,

W-OAOBsxnZAOB

JOAB_2—=-=1,所以sOAB='s,同理可得sOBC=—s.sAOC二、S.所以108

5gQ4O8；sin“OS3OA2OB6MB6Me8,欠

與SBC的面積之比為—1S'\—S+—S+—S|=4:9即為14.

6616812）9

18.已知。是三角形A8C內(nèi)部一點(diǎn)，且至+235+詼="貝JAAOB的面積與兇8C的面積之比為()

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)次+玄=歷，???9+2麗+枇=0,???瓦=一2礪，設(shè)4c與。。交于點(diǎn)M,則M平

分AC,BD,：.o而=一。6,。是中點(diǎn)，

***SgoB=5SMMB=WSM8C.比值為7

故選：C.

B

19.若點(diǎn)M是△4次？所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊4c靠近A的三等分點(diǎn)，且滿(mǎn)足5而=而+正，則

△A8W與△AA。的面積比為（）

【答案】C

【解析】M是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AM,BM,延長(zhǎng)4W至E使AE=5AM,

5AM=AB+AC=AE,AAli=AE-AC=CE,

連接此，則四邊形A8EO是平行四邊形，向量A月和向量在平行且模相等，

由于熊=345,所以5%即=；5&^,又荏=5AM.，所以5&^=三5“斯，

JJ

7S/^ABK3

在平行四邊形中，S△人曲=名人酩，則△A8W與△ABD的面積比為^-----=-

§SMRD

故選：C.

20.平面上有“SC及其內(nèi)一點(diǎn)。，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△（MB,△OBC,的面積分別記作工，

UUuuuLILUUI

sa,既，則有關(guān)系式邑?。4+5廠03+邑-0。=0.因圖形和奔馳車(chē)的汝8很相似，常把上述結(jié)論稱(chēng)為

“奔馳定理”.已知“IBC的內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿(mǎn)足G次+岳麗+c?反=的則

。為母48。的（）

A

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

［解析］由s“成+邑?笈+Sc炭=&得04=_*o6一苓o「，

OaDa

—h—?c—?

由〃京+匕?赤+c撫=。得OA=--O8--OC,

aa

SbSc

根據(jù)平面向量基本定理可得一消h=-一，一方二一一，

S,aS?a

延長(zhǎng)CO交47于E,延長(zhǎng)〃。交X。于?，

所以C石為N4C4的平分線(xiàn)，

同理可得BF是NABC的平分線(xiàn),

所以。為&48C的內(nèi)心.

題理S四心的相關(guān)計(jì)算

21.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的

距離是重心到垂心距離的一半，此直線(xiàn)被稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)，該定理被稱(chēng)為歐拉線(xiàn)定理.已知“8。

的外心為。，重心為G,垂心為〃，"為4C中點(diǎn)，且A8=5,AC=4,則下列各式正確的有.

?AGBC=-3?AOBC=-6

?OH=OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

【答案】①③④

___2___1

【解析】對(duì)于①，小BC童心為G,有而=5兩=5(4n+40,

故入C=g(A^+AG(AC-A8')=g(AC，一AB')=；(16-25)=-3,故①正確；

對(duì)于②，&4BC外心為Q過(guò)三角形4BC的外心。分別作人屎AC的垂線(xiàn)，垂足為。、E,易知。、E分別

—--------1—425----------1-----2

是AB、AC的中點(diǎn)，有AOA8=-48=—,AOAC=-AC=8

222

___________95Q

AA3-BC=AO(AC-AB)=8__=一一,故②錯(cuò)誤；

22

對(duì)于③，由歐拉線(xiàn)定理得2詼=而，即麗=3藥，又有亂+說(shuō)+覺(jué)=6,

故。Z+O/i+o3=(OC+或)+(OG+G8)+(OG+U)=3OG+GA+GB+GC=3UG,即08=O正+O分+O。,

故③正確：

對(duì)于④，由37=3礪得麗-破=3(四G-而)，故M(j=&MO+aMH.,

JJ

所以AB+AC=2AM=-6MG=40M+2HM,故④正確.

22.若。為“WC的重心(重心為三條中線(xiàn)交點(diǎn))，且9+而+4祝=。，則"—.

【答案】1

【解析】在"AC中，取8c中點(diǎn)。，連接A。，

由重心的性質(zhì)可得O為A。的三等分點(diǎn)，且。4=-20萬(wàn)，

又。為8C的中點(diǎn)，所以礪+玩=2而，

所以。4+O*+OC=-2O萬(wàn)+O萬(wàn)=0,所以2=1.

故答案為：1

BD

23.銳角中，"，b,C為角A,B,C所對(duì)的邊，點(diǎn)G為a48C的重心，若AG_L3G,則cos。的

取值范圍為

【答案】

7I__?___2I一_1__

【解析】由題意4￡=一、一（43+八8）=一（4乙+48）,BG=-x-（BA+BC）=-（BA+BC）,

323323

又AGJ.8G.則X8?前二［（而+Ag）?（函+83）=*（71-84+AC?8C+福?朗+Ag辰）=0,

所以B?。月=AC-AB+BA-BC+AB~?即abcosC=Z?ccosA+accosB+c2,

〃+c：,cosB=.2+c~―JosC=

由cosA=C

2bc2ac2ab

所以a2+b2=5C2,COSC=1（^+-）,

5ba

a2+b~=5c2

3"：》2J可得顯上〉旦,

由為銳角三角形及上式，貝卜a2+c2>b2,即?

3b->2a~2a3

b2+c2>a2

所以cosC在樂(lè))上遞減，在(1,馬上遞增，則*cosC*

故答案為：［±95)

53

24.設(shè)點(diǎn)O是4ABC外接圓的圓心，AB=3,且而?前=-4,則也0的值是_______.

sinC

【答案】-

3

【解析】AO-BC=AO-(AC-?IB)=^|AC|2-^|AB|2=>|AC|=I

-s-i-n--B-—_/?_1

sinCc3

外心向量計(jì)算可以構(gòu)造方程組

25.已知點(diǎn)O是AABC的外心，若同=《而+貝iJcosNBAC=.

【答案】且

4

【解析】——構(gòu)造方程組

—,—.4—?21——.網(wǎng)國(guó)網(wǎng)網(wǎng)國(guó).力

AOAB=-AB+—ACA8gJcosA=2

99n

［卜“卜小斗

..4,,1?2-\AC\=-\ABCOSA+-\AC\8sA

AOAC=-ABAC+-AC

99

解得CQS/B4C=且(負(fù)值已舍去)

4

—4—I—

26.已知點(diǎn)O是aABC的內(nèi)心，AO=-AB+-AC,則cosNBAC=()

【答案】C

江西贛州市高一期中第16題—外心、重心相關(guān)計(jì)算

27.AA6c中，AB=3,AC=6,G為AABC的重心，O為八鉆C的外心，則由同=

【答案】—

2

［解析］而?而=g超?(而+恁)=：(而2+/2卜葭

28.(1)已知AABC的外心為0,且AB=5,AC=3,^\AO^C=.

(2)已知AABC的重心為O,且AB=5,AC=3,則血.

(3)己知AABC的重心為0,且AB=5,AC=3,A=^fD為BC中點(diǎn)，則Z6?麗=

1649

【答案】(1)-8;(2)一一；(3)——

318

【解析】(1)AOBC=AO^AC-AB)=1-y=-8：

超前=；（而+碼便+碼4阿-網(wǎng)2卜弋

(2)

(3)而而=：珂",阿二'(而+珂=_LX(25+9+15)=^

29.設(shè)H為△ABC的垂心，且3赤+47而+5沅=6，則cos/A/78=

【容案】一逅

6

【解析】

［方法1］VH為“3。的垂心；?HA?HB=HB?HC=HC?HA

蘇（3用+4/+5麻）=3福2+4麗麗+5碗％=0

---2---2

則有3冏2+9赤?月月=0=＞源?而=_",同理可得狐血=—"-

32

2

HAHB(蘇?麗)

cosZAHB=.一-一=---——-

畫(huà)?|麗|7［向:］麗|

［方法2］奔馳定理

37Z4+477B+5SC=O=>tanA/M+tanB/7B+tanC/7C

SA:SB:Sc=tanA:tanB:tanC=3:4:5

設(shè)tanA=3x,tanB=4x,tanC=5x

7x

tanA=-tan(B4-C)=>3x=--------一叵

'7l-20x25

C=a^>ZAHB=Tt-ZC

5亞—娓

tanC------二^cosC=—

56

cosZAHB=--

6

30.（多選）對(duì)于給定的aABC,其外心為0,重心為G,垂心為H,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AOA8=-Ai32

2

B.OAOB=OAOC=OBOC

C.過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)/交AB、AC于E、F,若樂(lè)=4；赤，AF=;iAC,則=+—=3

c-----?A8AC_,.

D.A”與一^--------+^=：--------共線(xiàn)x

IAB|cosB|ACIcosC

【容案】ACD

【解析】顯然A正確，B錯(cuò)誤，OAOB=OAOC=OBOC*O是垂心

1

a=-t----

3211“

所以，3n得二■1=3,故C正確:

(l-r)//=1(1—)=1A〃

J3"

AB

D選項(xiàng):=-BC|+|BC|=O.

AB^cosB|同cos8|^4C|cosC

31.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重

心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線(xiàn)被稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)，該定理被稱(chēng)為

歐拉線(xiàn)定理.已知△A8C的外心為0,垂心為"，重心為G,且A8=2,AC=3,則下列說(shuō)

法正確的是（）

______5

A-AH-BC=0B.AGBC=--

_______5

C.AOBC=-D.OH=OA+OB+OC

2

【答案】ACD

【解析】常規(guī)法&特殊化處理

AA

對(duì)于A選項(xiàng)，顯然正確，

對(duì)于B選項(xiàng)，而?前=g（而+衣）?（藍(lán)-麗）=|,也可結(jié)合圖像排除，顯然夾角為銳角

對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合投影，AOBC=AO^AC-AB^=^,

對(duì)干D選項(xiàng),OH=30c=3（。4+AG）=3OA+AB+AC

=30A+A0+0B+Ad+0C=0A++0B+0C,故D正確

【重心恒等式補(bǔ)充】P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有而二1（用+而+

32.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重

心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線(xiàn)被稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)，該定理則被稱(chēng)

為歐拉線(xiàn)定理.設(shè)點(diǎn)0,〃分別是△ABC的外心、垂心，且M為8C中點(diǎn)，則（）

A.ABIXc=37/MI3MOB.ABIAC=3/7M—3MO

C,誦+AC=2俞+4MOD.AB+AC=2HM~4MO

【答案】D

【解答】解：如圖所示的RtZXABC,其中角8為直角，則垂心”與8重合，

???。為△4BC的外心，：,OA=OC,即0為斜邊AC的中點(diǎn)，

又為8c中點(diǎn)，：.AH=20M,

???M為BC中點(diǎn)，???/+AC=2息=2（/+或）=2（2或+稔）=4笳+2HM=2HM-4%.故

選：D.

山東省棗莊、滕州市高一期中聯(lián)考第16題——外心相關(guān)計(jì)算

33.已知0是aABC的外心，AB=6,AC=10,Ad=xAB+yAC,且2工+10)，=5。工0),則

△ABC的面積為.

【答案】205/2

【解析】

A0?AB=xAB+yAC-AB=>18=36x+60ycosA=>3=6x+1Oy-cosA

代入l()y=5—2x,3=6x+(5-2x)-cos0

AO-AC=xAB?AC+yAC=>50=60x?cosA+100v=>5=6x-cosA+1Oy

代入5=2x+1°y,得2=6cosA=>cosA=—=>sinA=

33

故面積為20立

【補(bǔ)充】若去掉條件。00),則需要考慮外心在AC上的情況，此時(shí)AABC為RI△，面積為24

(1)已知aABC的外心為O,且AB=5,AC=3,則人。,8已=.

(2)已知AABC的重心為O,且AB=5,AC=3,則AC??BC.=.

(3)已知AABC的重心為O,且AB=5,AC=3,D為BC中點(diǎn)，則尤?而=____.

【答案】—8-3

318

【解析】(1)由題意得：如圖

過(guò)0作OD_L8C,垂足為。，則。是BC的中點(diǎn)

uuuuimuuu——.1----

QBC=AC-AB^AO=AD+DO^AD=-(AzB+AC)

ULM

M=3,AB=5

.：AOBC=^AD+DdyBC=ADBC=^(AB+AC)^AC-AB^=^(AC1-AB2)=-S

A

(2)根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線(xiàn)分成2:1兩部分

—2-1-__

AO=-AD=-(ABAC),BC=AC-AB

JJ+

.?.巾加=3瓶+/)(/_砌二現(xiàn)研一網(wǎng)j=T

(3)根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線(xiàn)分成2:1兩部分

__1__2-1__

Ob=-Ad,Ad=-Ab=^(AB^-AC)

（而+4^）2=］阿+國(guó)2+21研碼8sA=25+9+30x^=49

和麗=g國(guó)、葩甲二2(而+可2=得＞49*

34.在“18。中，福?蔗=16，S“BC=6,BC=3,且相＞AC,若。為的內(nèi)心，則行.冊(cè)=

【答案】-3

【解析】因?yàn)锳瓦而所以|而HZ?|COSA=16,

因?yàn)榘薽=6,所以3,可?卜（?|5畝A=6,

所以1!!!A=3，又sin24+cos24=l,cos4>°,sinA>0,

cosA4

34

所以sinA=—,cosA=1，所以AB-AC=20,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,又8c=3,

所以=41,又A8>AC,所以A8=5,AC=4,

所以△ABC為以AB為斜邊的直角三角形，

設(shè)SBC的內(nèi)切圓與邊AC相切于點(diǎn)。，內(nèi)切圓的半徑為「，

由直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得「=生土竽二絲=1,故00=1,

因?yàn)锳D上BC,所以而?既^O.

因?yàn)镺D工AC,BC1ACf所以O(shè)DHBC,所以DOBC=-3

所以血.反=（而+前）質(zhì)=而?肥+前M=-3.

故答案為：-3.

A

35,設(shè)/為AA8c的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB-i-nBC?則，〃+〃為

【答案】與

16

【解析】因?yàn)锳8=AC=5,所以取BC中點(diǎn)為O,連接40,

則A0_Z4C,且&48C的內(nèi)心/在AO上，/O即為△/WC的內(nèi)切圓半徑1，

乂8。=6,所以A0=《AB2-=4,

因?yàn)?；8CxAO=；(A8+BC+AC)xr,即6x4=(5+5+6)x/O,

以BC所在直線(xiàn)為X軸，8c的垂直平分線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系，則40,4),8(-3,0),C(3,0),則而=(-3,-4),

配=(6,0),^7=^o,-|j,

因?yàn)?/=〃*月+即°,一制一3,—4)+〃(6,0),

I，/

—4m=—555515

所以?2解得in=—,n=—所以〃?+〃=一+—=

-3/zz+6〃=。81681616

3___一___,、

36.在△ABC中，cos4=-,。為△ABC的內(nèi)心，若AO=xA8—)，AC(x,yeR),則4+)，的最大值為()

A2口6-V6「7-V78-2V2

A.-o.----------J---------Dn.-------

3567

【答案】D

【解析】如圖：圓。在邊人仇5。上的切點(diǎn)分別為￡尸，連接0￡0”,延長(zhǎng)AO交8c于點(diǎn)O

設(shè)=則cosA=cos2夕=l-2sin，6=3,則*巾8=二

44

設(shè)高=X市5=XxAB+AyAC

???B,DC三點(diǎn)共線(xiàn)，則就+辦，=1,即犬+),=；

A

1二40AOvAO_1_11_1__8-2x/2

力—而一40+01)一人0+0必一|1°F-]IOE-1+sin。-&-1~

AO~AOl+V

Po「8-2拉

ppx+y<——-——

BDFC

37.已知點(diǎn)。是AA8C的內(nèi)心，若入。=5人月+^AC,則COSNBAC=.

【答案】7

0

々1

［解析］因?yàn)橐淮?1（詼_7）十"（加一網(wǎng)，即覺(jué)=-3（）+而），

取A3中點(diǎn)。，連接。。.則。4+08=20方，故反=-6而，故點(diǎn)C,。,。共線(xiàn),

義NACO=NBCO,故AC=8C,且CO_LAB,所以cos/8AC=^=絲=1.

38.已知。為“3C的外心，AC=3,BC=4,則覺(jué).而=

【答案】二

2

【解析】如圖：2尸分別為C8.C4的中點(diǎn)，則OE_L3C,O〃_14c

：,OCAB=OC^CB-CA)=0CCB-OCCA

=(OE+EC)CB-^OF