第2章特殊三角形全章同步練習(xí)

2.1圖形的軸對(duì)稱

A掌握基本知識(shí)

1.下列交通標(biāo)志中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）

o@??

ABCD

2.如圖.△ABC與〉A(chǔ)BC關(guān)于直線1對(duì)稱則NB的度數(shù)為（）

第2題圖

A.30。B.500

C.100°D,I20°

3.圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（）

第3題圖

A.IB.5

C.10D.無(wú)數(shù)條

4.如圖.MN是線段AB的垂直平分線點(diǎn)C在MN外,且與點(diǎn)A在MN的同T則,BC交MN于點(diǎn)P,則

()

第4題圖

A.BOPC+APB.BCvPC+AP

C.BC=PC+APD.BC>PC+AP

5.如圖,AD與BC相交于點(diǎn)O,AABO和^CDO關(guān)于直線PQ對(duì)稱點(diǎn)A,B的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)C,Do下列

結(jié)論不一定正確的是（）

第5題圖

A.AD1BC

B.若連結(jié)AC,則AC±PQ

C.AABO^ACDO

D.若連結(jié)AC,BD,則AC/7BD

6.用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若N1=20。,則/2的度數(shù)為1

第6題圖

7.如圖，在△ABC中,NACB=80。點(diǎn)D在AB邊上，將^CBD沿CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E

處。若NA=26。,則NCDE=________。。

C

8DA

第7題圖

8.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均為網(wǎng)格線交點(diǎn),請(qǐng)按要求作圖。作圖過(guò)程僅使用無(wú)刻度的直尺，保留

作圖痕跡，無(wú)須說(shuō)明理由。

(1)如圖1,作出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形。

(2)如圖2,在直線MN上求作點(diǎn)P,使得NAPM二NBPN。

圖1圖2

第8題圖

B提升關(guān)鍵能力

9.如圖，在△ABC中,NABC=90o,NCAB=30o,D是直線AB上的一個(gè)動(dòng)，點(diǎn)連結(jié)CDJl^aCDB沿著CD翻折，

得到△CDE。當(dāng)^CDE的一邊與^ABC的一邊平行時(shí)，ZCDB的度數(shù)不可能是()

A.I5°B.45°4

第9題圖

C.60°D.75°

10如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①，②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶

把紙帶①沿AB折疊，量得N1=N2=59。;小鐵把紙帶②沿GH折登，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合,HF與HE重合，且點(diǎn)C,

G,D在同一直線上，點(diǎn)E,H,F也在同一直線上。則下列判斷正確的是()

A.紙帶①，②的邊線都平行

B.紙帶①,②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

11如圖,△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱。若NBAC=108o,NDAC=3()o*/EAM的度數(shù)。

12.(1)如圖1,直線兩側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線上求一點(diǎn)C,使它到A,B兩點(diǎn)的距離之和最小(保留作圖痕跡，

不寫作法)。

(2)如圖2,直線同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線上求一點(diǎn)C,使它到A,B兩點(diǎn)的距離之和最小(保留作圖痕跡，

不寫作法)。

B

B

圖1圖2

第12題圖

6.求證：等腰三角形兩腰上的高線相等。

根據(jù)所給圖形，將“已知”“求證”補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程。

已知:如圖.在△ABC中,,BD_LAC,CE_LAB.垂足分別為D,E。

求證:。

第6題圖

7.如圖，在△ABC中,AB=AC,D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AD=AE,BE與CD相交于點(diǎn)F。求證:DFtEF。

第7題圖

提升關(guān)鍵能力

8.在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)。如圖，已知A,B是兩格點(diǎn)，使得△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C

的個(gè)數(shù)是)

C.6D.8

9.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫作一倍長(zhǎng)三角形二若等腰三角形ABC是“倍

長(zhǎng)三角形"，底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為

10求證：等腰三角形的底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等(要求畫圖，寫已知、求證，然后證明)。

II.已知等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成20cm和8cm兩部分，求等腰三角形的底邊

長(zhǎng)。

C發(fā)展核心素養(yǎng)

12」推理能力］如圖,△ACB是以AB為底的等腰三角形，△DCE是以DE為底的等腰三角形，點(diǎn)A,D,E在

同一條直線上,連結(jié)BE。若NCAB二NCBA二NCDE=NCED=50。。

(1)求證:AD二BE。

(2)求NAEB的度數(shù)。

第12題圖

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理

第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)定理1及等邊三角形的性質(zhì)

A掌握基本知識(shí)

1.如圖.在△ABC中,AB=ACNAEOOJ^NACD的度數(shù)為（）

A.70。B.100。C.1100D.I400

2.如圖，在△ABC+，AB=AC,ZBAC=130°,DA±AC,51!)ZADB=()

A.100°B.115°C.130°D.145°

3.如圖,直線l〃m,等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B,C分別落在直線l,m上。若NABE=21。,則NACD的度數(shù)

為（）

A.450B.39。C.29°D.210

4.若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為40。，則它的頂用的度數(shù)為。。

5.如圖.在△ABC中以點(diǎn)A為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D,連結(jié)AD。若NABD=55。廁/

ADC=______

第5題圖第6題圖

6.如圖.在△ABC中.AB=AC,NA=36>BD平分NABC，交AC于點(diǎn)D。寫出圖中相等的角__________________

7.如圖，已知線段a和N1用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC使AB二AC二a,NB=Nl（保留作圖痕跡不寫作法）。

第7題圖

8.如圖.△ABC是等邊三角形點(diǎn)D.E在直線BC上.DB=EC。求證:ND=NE°

9.如圖，在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)日F在邊BC上,BE=CE點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上,AD=AC0若NBAE=30。,求N

ADC的度數(shù)。

A

第9題圖

B提升關(guān)鍵能力

io定義：等腰三角形的頂角與其中一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的??特征值”。若在等腰三角

形ABC中,NA=80。,則它的特征值k為。

“.如圖，在△ABC中,NDCE=4()OAE=AC.BC=BD,貝！JNACB的度數(shù)為

12.已知在^ABC中,AC<AB<BC.

⑴如圖I,線段AB的垂直平分線與邊BC相交于點(diǎn)P.連結(jié)AP。求證:NAPC=2NB。

(2)如圖2.以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧，與邊BC相交于點(diǎn)Q,連結(jié)AQ。若/AQC=3/B,求/B的度

數(shù)。

圖1圖2

第12題圖

13如圖,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上，其中BD=CE,連結(jié)AD,BE,兩者相交于點(diǎn)匕

⑴求證:AD二BE。

(2)求NAPE的度數(shù)。

A-

第13題圖

發(fā)展核心素養(yǎng)

14［應(yīng)用意識(shí)］觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木

條畫直龜法二如圖1,他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：

①木條的兩端分別記為點(diǎn)M,N,先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位

置記為點(diǎn)B,連結(jié)AB；

②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C(點(diǎn)A,B,

C不在同一條直線上)；

③連結(jié)CB并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線

上的落點(diǎn)記為D；

④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連結(jié)AD,AC,則畫出的NDAC是直角。

操作體驗(yàn)：⑴根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法。如圖2,BA=BC,請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，

記作NDAC。

推理論證：答案⑵如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：

證明:*.,AB=BC=BD,

?二△ABC與△ABD是等腰三角形，

???NBCA=NBAC,/BDA=NBAD,（依據(jù)1）

JZBCA+ZBDA=ZBAC+ZBAD=ZDAC0

???/DAC+ZBCA+ZBDA=180°/依據(jù)2)

工2ZDAC=180。,ZDAC=90°o

依據(jù)I：_________您據(jù)2:o拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一

定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差。如圖3,點(diǎn)。在直線I上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖

3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作NPOQ,使得直角邊OP（或0Q）在直線1上（保留作圖痕跡，不寫作法）。

第14題圖

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理

第2課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)定理2

A掌握基本知識(shí)

1.如圖.在△ABC中,AC=BC.CD_LAB于點(diǎn)D.給出下列結(jié)論:①CD平分NACB:②CD=AB;③/A=NB;④AD=B

D。其中正確的是)

c

第1題圖

A.②③B.①④

C.①③④D.②③④

2.如圖.ADCE均為△ABC的角平分線。若AB=AC,NCAD=20。廁NACE的度數(shù)為（）

A.200B.35°

D.70°

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上,BD=AD=AC,E為CD的中點(diǎn)。若NCAE=16。,則NB的度數(shù)為（

)

A.36。B.37°

C.48°D.74°

4.如圖.在等邊三角形ABC中,D是邊BC的中點(diǎn).則NB=°,ZC=°,ZADB=。，/

BAD=

第4題圖第5題圖

5.如圖，在等邊三角形ABC中,AD_LBC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上。若NEBC=45。廁RACE的度數(shù)為

6.如圖.在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線.E為AC上一點(diǎn)且AE=ADe若NBAD=50。,求NCDE

的度數(shù)。

第6題圖

7.如圖，在△ABC中,NABC=7()o,AB=AC=8.D為BC中點(diǎn)點(diǎn)N在線段AD上.NM〃AC交AB于點(diǎn)M.BN=3。

求:

(l)NCAD度數(shù)。

(2)ABMN的周長(zhǎng)。

第7題圖

8.如圖.在△ABC中.AB二AC,AD為2ABC的角平分線。以點(diǎn)A圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB,AC分別相

交于點(diǎn)E,F,連結(jié)DE,DF。

(1球證:△ADE^AADFO

(2)若/BAC=80。,求/BDE的度數(shù)。

第8題圖

B提升關(guān)鍵能力

9.如圖.已知△ABC為等邊三角形,D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)AD=AE,NDAE=60。,連結(jié)C

E。若AB=4.當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，BD的長(zhǎng)為()

A.IB.2C.3D.4

10如圖在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn)BFJLAC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E。若AF=BF,BD=2,則AE=.

11如圖，已知和線段a,用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等腰三角形，使它的頂角等于Na,底邊上的高線等于ao

第11題圖

12如圖，在△ABC中,AB=AC.BD_LAC于點(diǎn)D,CEJ_AB于點(diǎn)E,BD,CE相交于點(diǎn)F。求證:AF平分/BAC。

第12題圖

13如圖在4八13(2中,28人09()?！隇檫匓C上的一點(diǎn)，且AB=AE,D為線段BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_LAE,

交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于點(diǎn)F。求證：

(l)ZC=ZBADe

(2)AC=EFO

第13題圖

C發(fā)展核心素養(yǎng)

14［模型觀念］如圖，在等邊三角形ABC中，AD,CE是^ABC的兩條中線.AD=5。P是AD上的一動(dòng)點(diǎn)，則

PB+PE的最小值為（）

第14題圖

A.2.5B.5

C.7.5D.10

2.4等腰三角形的判定定理

A掌握基本知識(shí)

1.下列條件中，可以判定^ABC是等腰三角形的是（）

A.ZB=40°,ZC=80°

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.2ZA=ZB+ZC

D.三個(gè)角的度數(shù)之比是2：2：1

2.下列三角形中，不能判定為等邊三角形的是（）

A.有一個(gè)內(nèi)角是60。的銳角三角形

B.有一個(gè)內(nèi)角是60。的等腰三角形

C.頂角和底角相等的等腰三角形

D.腰和底邊相等的等腰三角形

3.已知在4ABC中.AH為邊BC上的高線.再添加下列條件中的一個(gè)后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是

)

A.BH=HCB.ZBAH=ZCAH

C.ZB=ZHACD.SAABH=SAAHC

4.如圖，在△ABC中,AB二AC,BD是NABC的平分線。若NA=36o,AD=2VI則BC的長(zhǎng)為

5.將兩個(gè)全等的各有一個(gè)角為60°的直角三角形拼成如圖所示的圖形，其中兩條長(zhǎng)直角邊在同一條直線上,則

圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是.

第6題圖

6.如圖，上午8時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，10時(shí)到達(dá)B處。從A,B

處分別望向燈塔C,測(cè)得NNAC=42o,NNBC=84。廁從B處到燈塔C的距離為海里。

7.在學(xué)習(xí)三角形時(shí)，小舟和小海討論f證明題:“如圖,AB=AC,NABD=NACD。求證:BD=DC。"你覺得誰(shuí)說(shuō)的

對(duì)?請(qǐng)寫出正確的證明過(guò)程。

軟|我準(zhǔn)備連結(jié)AD來(lái)證明；

，嘉|下面是我的證明過(guò)程：

證明：連結(jié)AD。

在AABD和4人。。中，

AB=AC,A

,：<Z.ABD=Z.ACD,A

AD=AD,5<!>C

：.^ABD^^ACD,

.,.BD=DC.

第7題圖

8.如圖，在△ABC中,AB二AC。分別根據(jù)以下條件，說(shuō)明△OBC是等腰三角形。

(DBD,CE分別是兩腰上的高線。

(2)BD,CE分別是兩腰上的中線.

(3)BD,CE分別是兩底角的平分線。

第8題圖

B提升關(guān)鍵能力

9.如圖.在△ABC中,NA=9(T,AB=AC=6,D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC上,AE=CF,則四邊形AED

F的面積為()

A.I8B.9V2C.90.6招

1()如圖在△ABC中,NB=50o,NC=90。。在射線BA上找一點(diǎn)D,使^ACD為等腰三角形，則NACD的度數(shù)

為。

11.有下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60。的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④

一腰上的中線也是這條腰上的高線的等腰三角形。其中是等邊三角形的有(填序號(hào))。

12如圖，BD是等邊三角形ABC的中線，以點(diǎn)D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連

結(jié)DE。求證:CD=CE。

第12題圖

13.如圖、在△ABC中,NA=40。,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,BD=BC二CE,連結(jié)CD,BE。

(廟NABC=80。,求NBDC,NABE的度數(shù)。

(2用出NBEC與NBDC之間的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由。

第13題圖

發(fā)展核心素養(yǎng)

14」推理能力]如圖,0為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)NAOB=ll()o,NBOC=a。以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD,

連結(jié)AD。

⑴當(dāng)a=15()。時(shí)，試判斷^AOD的形狀，并說(shuō)明理由。

(2探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

第14題圖

2.5逆命題和逆定理

A掌握基本知識(shí)

1.下列命題的逆命題是真命題的為()

A若a=b,則間=|b|

B.如果x=y,那么\[x=y[y

C.如果|x|,|y|互為相反數(shù)，那么岡-卜|=0

D若a>0,b>0,則a+b>0

2.下列命題中，其逆命題成立的是（）

①全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

②全等的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱；

③全等三角形的周長(zhǎng)相等；

④能夠完全重合的兩個(gè)三角形全等。

A.①②B.①④

C.②④D.③④

3.下歹」aI的取值中，可以用來(lái)證明命題''若a>l,則Ma，，的逆命題是假命題的反例是（）

A.a=-2B.a=-l

C.a=lD.a=2

4.給出下列說(shuō)法：

①“兩直線平行，同位角相等”與、祠位角相等，兩直線平行”互為逆定理；

②命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們都是直角''的逆命題為假命題；

③命題“如果?a=5,那么a=-5”的逆命題為“如果a=?5,那么?a=5"。

其中所有正確的說(shuō)法是（）

A.①②B.??

C.②③D.①@@

5.下列定理中，沒有逆定理的是（）

A.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形

B.在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊

C.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

6.寫出命題“如果a=b那么3a=3b”的逆命題:。

7.寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題。若是假命題，請(qǐng)舉反例說(shuō)明。

⑴垂直于同一條直線的兩條直線平行。

(2)有一個(gè)角是60。的三角形為等邊三角形。

⑶若x=y=0,則x+y=0。

8.利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明以下命題：

已知:如圖,AB=AC,DB二DC,點(diǎn)E在AD上。求證:EB=EC。

第8題圖

B提升關(guān)鍵能力

9.如圖.點(diǎn)D在4ABC的邊BC上.點(diǎn)P在射線AD上(不與點(diǎn)A.D重合).連結(jié)PB.PC。下列命題中，不一

定是真命題的是)

A.若AB=AC,AD_LBC,則PB=PC

B若PB=PC,ADJ_BC,則AB=AC

C.若AB=AC,N1=N2廁PB=PC

D.若PB=PC,N1=N2,貝!JAB=AC

1。命題”等腰三角形兩腰上的高線長(zhǎng)相等”的逆命題是_____________________________逆命題是_________命題

(填嗔'或假

11如圖，已知在等腰三角形ABC中.AB=AC點(diǎn)D,E分別在邊AB.AC上,且AD=AE.連結(jié)BE,CD.兩者相交于點(diǎn)

F。

(1)判斷NABE與NACD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。

(2)求證：過(guò)點(diǎn)A,F的直線垂直平分線段BCO

12如圖，在△ABC中，邊AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D,E,直線DM,EN相交于點(diǎn)0。

⑴試判斷點(diǎn)0是否在BC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由。

(2)若/BAC=100。,求NM0N的度數(shù)。

第12題圖

發(fā)展核心素養(yǎng)

13」推理能力］⑴已知命題：“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),若點(diǎn)P到三邊的距離相等，則PA=PB=PC?！睂懗?/p>

它的逆命題，判斷其逆命題是否成立。若成立，請(qǐng)給出證明。

(2)進(jìn)一步證明：等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到各邊的距離之和為定值。

2.6直角三角形

第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)

A掌握基本知識(shí)

1.設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x(0<x<90),另一個(gè)銳角為y。，則y與x的數(shù)量關(guān)系為()

A.y=l80+xB.y=180-x

C.y=90+xD.y=90-x

2一技術(shù)人員用刻度尺(單位：cm)測(cè)量某三角形部件的尺寸。如圖，已知NACB=90。,點(diǎn)A.D.B對(duì)應(yīng)的刻度分別

為1,4,7,則CD的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.3.5cm

3.如圖，一根木棍(AB)斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，當(dāng)木棍A端沿墻下滑且B端沿地面向右滑行時(shí)，

AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離()

A.變大B.變小

C.先變小后變大D.不變

4.如圖，在RtAABC中，D是AC的中點(diǎn)NBDC=6()o,AC=6、則BC的長(zhǎng)是()

A.3B.6

C.8D.9

第4題圖第5題圖

5.如圖在RSABC中,NABC=90o.D為AC的中點(diǎn)。若NC=55°,則ZABD的度數(shù)為1

6.如圖「人_10人「8_108,垂足分別為人和B。若D是0P的中點(diǎn).連結(jié)DA.DB.則DA與DB的數(shù)量關(guān)系是

4

第6題圖

7.若直角三角形斜邊上的高線長(zhǎng)與中線長(zhǎng)分別為5和6,則它的面積為。

8.如圖，在RlAABC中,/ACB=90。,將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到B'C處。若NB=50。,則CACB=_。

9.求證：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

已知:如圖.在RtAABC中,NA=30o,NACB=90。。

求證：BC=；4B.

（1請(qǐng)用兩種方法完成證明。

（2這個(gè)命題的逆命題是_________命題（填“真”或“假）

第9題圖

提升關(guān)鍵能力

10如圖，在△ABC中，若AB=AC=4,NBAC=I5O。,貝!]SAABC的值為（）

A.2B.3

II如圖，在△ABC中,AB=AC,NBAC=l2（）o,EF為AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F。若BF=5廁

FC的長(zhǎng)為（）

A.5B.7

C.10D.12

12如圖在RtAABC中,NACB=90\D為AB的中點(diǎn),DE_LAC于點(diǎn)Eo若NA=3()o,DE=4cm廁AB=

_cm,CD=cm。

第12題圖第13題圖

13如圖,在△ABC中,NC=90。,AB=l(),AO8、BC=6線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上滑動(dòng)、且DE=4O

若M,N分別是DE,AB的中點(diǎn).則MN的最小值為,

14如圖在RtAABC中,NACB=90o,CD是AB邊上的中線,DE_LAB于點(diǎn)D.交AC于點(diǎn)E。求證:NAED:/

DCB。

15如圖.△ABC為等邊三角形.BD是AC邊上的高線.延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E.使CE二CD。

(1)求證:口8也￡。

(2)過(guò)點(diǎn)D作DF_LBE,垂足為Fe若CF=3,求△ABC的周長(zhǎng)。

發(fā)展核心素養(yǎng)

⑹推理能力］如圖.在△ABC中,AB二AC,D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE.在AE上取點(diǎn)F,使得EF=AD,連結(jié)

DF并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)G。

⑴當(dāng)NBAC=60。時(shí).求NAGD的度數(shù)。

（2）設(shè)NBAC=a,NAGD=p，探究a,p之間的關(guān)系。

第16題圖

第2課時(shí)直角三角形的判定

A掌握基本知識(shí)

1.在具備下列條件的△ABC中，不屬于直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA:ZB:ZC=1:2:3

D.ZA=ZB=2ZC

2.如果三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是它的三條高線的交點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）

A.說(shuō)角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形

3.如圖，在四邊形ABCD中,AB〃DC。若/BAD的平分線與/CDA的平分線相交于點(diǎn)E,則△AED的形狀

B.直角三角形

C.純角三角形

D.等腰三角形

4.如圖.在△ABC中.AB=AC=6,AD是角平分線,BE是中線，則DE的長(zhǎng)為（）

A.3B.4

C.5

第4題圖

5.如圖，在△ABC中.CD是AB邊上的高線。若NDCB=NA,則NBCA=

6.在△ABC中.若力=匚8=；口。,則此三角形是三角形。

7.如圖,CE_LAD.垂足為E,ZA=ZCe求證:△ABD是直角三角形。

8.如圖,AD,BF分別是△ABC的高線與角平分線、BF,AD相交于點(diǎn)E,Z1=Z2O求證:△ABC是直角三角形。

9.我們知道定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。請(qǐng)思考：上述定理的逆命題成立嗎?若成立，寫出

其逆命題，并證明；若不成立，試說(shuō)明理由。

(1逆命題是:________________________________

(2)已知:o

求證:0

證明：

B提升關(guān)鍵能力

10如圖在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),AD二AB,E,F分別是BD,AC的中點(diǎn)。若AC=8.則EF的長(zhǎng)為

./^e

BEDC

第10題圖

11已知:如圖,BD_LAC.垂足為EqABE的中線EF的反向延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)G,ZB=ZCO

⑴求證:EG是4CDE的高線。

⑵若EG是4CDE的中線.判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由。

第11題圖

12在^ABC中,NABC=45o,ADlBC.垂足為D,BE_LAC垂足為E.直線AD交直線BE于點(diǎn)F,連結(jié)CF。

⑴如圖1若NBAC是銳角，求證:4CDF是等腰直角三角形。

(2)如圖2若NBAC是鈍角則(1)中的結(jié)論是否仍成立嘴說(shuō)明理由。

第12題圖1第12題圖2

發(fā)展核心素養(yǎng)

13」模型觀念］如圖，在△ABC中,/C=90o,NA=30o,AB=4cm。動(dòng)點(diǎn)P.Q分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，各在AB,

BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為Vp=2cm/s,vQ=1cm/s。當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）o

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等邊三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

第13題圖

2.7探索勾股定理

第1課時(shí)勾股定理

A掌握基本知識(shí)

1.在直角三角形中，若勾為3,股為4,則弦為（）

A.5B.6

C.7D.8

2.下列圖形中，不能用來(lái)證明勾股定理的是（）

ABCD

3.如圖，長(zhǎng)方形OABC的邊OA長(zhǎng)為2,邊AB長(zhǎng)為I,OA在數(shù)軸上。以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)隹線OB長(zhǎng)為半徑

畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為（）

-2-101^345

第3題圖

A.x/2B.V3

C.V5D.2.5

4.圖1中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖2,其中AB=AB;

AB±BC于點(diǎn)C,BC=0.5尺BC=2尺。設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺.所列方程為,

圖1

第4題圖圖2

5.如圖，在一個(gè)高為5m，長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪設(shè)地毯,貝!地毯的長(zhǎng)度至少為叫

6.如圖在4ABC中.AB=AC,AD是BC邊的中線。若AB=5,BC=6,則AD=,

7.如圖在RtAABC+,ZACB=90°,CD是斜邊AB上的高線，且AB=13,BC=12O求

(DAC的長(zhǎng)。

(2)CD的長(zhǎng)。

第7題圖

8.如圖，將等腰直角三角尺按如圖所示的方式放置，直角頂點(diǎn)C在直線m上,分別過(guò)點(diǎn)A,8作AE_Lm于

點(diǎn)E,BD_Lm于點(diǎn)D。

(1球證:CE=BD.

（2）若設(shè)△AEC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c利用此圖證明勾股定理。

第8題圖

提升關(guān)鍵能力

9.如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖"，是由四個(gè)全等的直角三

角形拼式的。若圖1中大正方形的面枳為24，小正方形的面積為4,現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2,則圖2中

大正方形的面積為)

A.24

圖I圖2

第9題困

10如圖，在△ABC中.NBAC=90o,NB=30o,A04。以點(diǎn)A為圓心.AC長(zhǎng)為半徑作弧.交BC于點(diǎn)D；再分別以

點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，以大于gDC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E作射線AE,交BC于點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.7D.8

11如圖，用9個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類似海螺的圖形，其中每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1。記

這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為1,則下列整數(shù)與1最接近的是（）

第11題圖

A.I4B.13C.12D.lI

12如圖，在△ABC中,AB=I5,BC=I4,AC=13.求△ABC的面積。

BC

第12題圖

13如圖，在6x7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△ABC和^DFE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上。求證:NABC=

ZDFE.

第13題圖

14如圖,z^ACB與AECD均為等腰直角三角形,/ACB=/ECD=90。點(diǎn)D在AB邊上。若AD=5,BD=12,求D

E的長(zhǎng)，

發(fā)展核心素養(yǎng)

15」創(chuàng)新意識(shí)］如圖所示的圖形是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是

由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形。設(shè)圖中AF=a,DF=b，連結(jié)AE,BEO若△ADE與△B

EH的面積相等，則9+A-。

第15題圖

第2課時(shí)勾股定理的逆定理

A掌握基本知識(shí)

1.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）

A.6,8,11B.15,9,17

C.1.5,2,2.5D.2,4,、而

2.下列條件中，不能判定^ABC是直角三角形的是（）

A.a:b:c=7:25:24

B.t?=（a+c）（a-c）

C.ZC=ZA-ZB

D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

3.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜

五里，中斜十—里，大斜十三里，欲知為田幾何〃這道題講的是：白一塊三角形沙田，三邊長(zhǎng)分別為5里，12里，

13里，問(wèn)這塊沙田的面積有多大?題中的''里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500m,則該沙田的面積為（）

A.7.5km2B.15km2

C.75km2D750切?2

4.如圖，在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則CD的長(zhǎng)是（）

A.5B.6.5C.6D.13

5.如圖，在△DEF中,DE=17,EF=30,EF邊上的中線DG為8,則ADGF是________三角形。

第5題圖

6.方格紙中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)。點(diǎn)A和點(diǎn)B是格點(diǎn)，位置如圖所示。

（1衽圖1中確定格點(diǎn)C,使仆ABC為直角三角形，畫出一個(gè)這樣的^ABC。

（2底圖2中確定格點(diǎn)D，使△ABD為等腰三角形，畫出一個(gè)這樣的^ABD。

（3底圖2中.滿足題⑵條件的格點(diǎn)D有幾個(gè)?

圖1圖2

第6題圖

7.如圖,△ABC是等腰三角形.其中AC=AB,BC=3,D是線段AB上一點(diǎn).滿足BD=1.8,連結(jié)CD,CD=2.4。

(1)求證:CD_LAB。

⑵求AC的長(zhǎng)。

第7題圖

8.如圖點(diǎn)D在4ABC內(nèi)部,NBDC=90o,CD=3.BD=4,AC=12,AB=13。

(1)求BC的長(zhǎng)。

⑵求圖中陰影部分的面積。

B提升關(guān)鍵能力

9.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a,b,c的計(jì)算公式：a=如/-〃2)力=〃〃?片

『十〃，其中m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù)。下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13

C.6,8,10D.7,24,25

10如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位，點(diǎn)A,B,C,D,E均在小正方形方格的頂點(diǎn)

上，皖A(yù)B,CD相交于點(diǎn)F。若NCFB=aJIP」NABE為（）

第10題圖

A.I80°-aB.180。-2a

C.90°+aD,90°+2ot

H一艘輪船以16海里/時(shí)的速度離開港口0（如圖），向北偏東40。方向航行，另一艘輪船同時(shí)以12海里/時(shí)的

速度向北偏西的某個(gè)方向航行。已知它們離開港口1.5h后相距30海里（即AB=30海里），問(wèn)另一艘輪船航行的方向

是北偏西多少度?

12如圖、在四邊形ABCD中,AB=9cm,AD