第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知空間向量a=3,0,1，b=A.3 B.1 C.2 D.2.已知v1、v2分別為直線l1、l2的方向向量(l1、l2不重合)，n1A.v→1//v→2?l13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點A(2,2,2),B(4,?2,0)，若點P與點A關(guān)于Oyz平面對稱，則BP=A.214 B.13 C.24.“直線ax+4y?3=0與直線x+(a?3)y?2=0平行”是“a=?1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖，將菱形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，O是AC的中點，∠ABC=π3，則折后二面角E?OF?A的余弦值為(

)

A.55 B.C.3556.已知直線l過點(0,2)，且與直線3x?y+2=0及x軸圍成等腰三角形，則直線l的方程為(

)A.3x+y?2=0或3x?3y+6=0B.3x?3y+6=0或3x?7.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.如圖，已知在塹堵ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，A.?4 B.4 C.?3 D.18.已知函數(shù)f(x)=x2?2x+ln|x?1|的圖象經(jīng)過點Ax1,4和點Bx2,4x1<x2，直線l:y=kx+b經(jīng)過點C(1,?2)，且直線A.2 B.6 C.?2 D.?6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，已知四面體ABCD，點E,F分別是BC,CD的中點，下列說法正確的是(

)

A.AB+BC+CD=AD B.AB10.給出下列命題，其中正確的命題是(

)A.若a，b為單位向量，則a=bB.若向量a是向量b的相反向量，則a=b

C.在正方體ABCD?A1B1C111.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E，O分別是AA.BE與B1C所成角的正弦值是31010B.點O到平面ABC1D1的距離是22

C.平面A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，已知三棱錐P?ABC，G為?ABC的重心，點M，F(xiàn)為PG，PC的中點，點D,E分別在PA,PB上，PD=2mPA，PE=3nPB(m>0,n>0).13.在平面直角坐標(biāo)系中，過點P(2,2)作直線AB，分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于點A,B.當(dāng)直線AB的斜率為

時，?AOB的面積最小(O是坐標(biāo)原點)，最小面積是

．14.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，動點P滿足CP=xCD+yCC1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=2，(1)求AA(2)求證：AA(3)求A′C16.(本小題15分已知?ABC的頂點A(2,4),AB邊上的中線CM所在直線的方程為x+4y?4=0,∠ABC的平分線BH(1)求直線BC的方程；(2)若直線l上任意一點P，都滿足S?PBC=S17.(本小題15分)如圖，在四面體ABCD中，?ABC與?ACD都是等邊三角形，AC=4，

(1)求證：AC⊥(2)若E為AD的中點，求平面BCD與平面BCE夾角的余弦值．18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥CD,AB//CD，且AB=2CD=2AD=2(1)若點E為PB上靠近點P的三等分點，證明：PD//平面ACE(2)若點F為PC上一點(不包含端點)，從下面條件①②③中選取兩個作為已知，證明另一個成立．①PFPC=13；②tan∠PCA=2注：如果選擇多個組合分別解答，按第一個解答計分．19.(本小題17分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且AB=4，側(cè)面AA

(1)求證：BD⊥(2)求直線AA1與底面(3)求點C到側(cè)面AA(4)在線段A1B1上是否存在點E，使得直線DE與側(cè)面AA1B1參考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.ABC

11.BD

12.24

13.?1；8

14.0；2,215.【詳解】(1)解：AA(2)證明：因為AA=3×所以AA(3)解：因為A′所以A′=4+4+9+0?2×所以A′C=

16.【詳解】(1)如圖，由點B在直線y=x上，設(shè)B(m,m)，又A(2,4)，則AB的中點Mm+22,所以m+22+4×m+42設(shè)點A(2,4)關(guān)于直線y=x對稱的點為A′則有y0?4x0?2顯然A′(4,2)在直線BC上，則直線BC的斜率則直線BC的方程為y+2=23(x+2)(2)點A到直線BC的距離d=|2因為點P滿足S?PBC=S?所以直線l與直線BC平行，且直線l到直線BC的距離等于點A到直線BC的距離．設(shè)l:2x?3y+n=0(n≠?2)，則|n+2|13=所以直線l的方程為2x?3y?12=0或2x?3y+8=0．

17.【詳解】(1)證明：取AC的中點O，連接OB,OD．

因為?ABC與?ACD都是等邊三角形，O為AC的中點，所以又OB∩OD=O,OB,OD?平面OBD，所以AC又BD?平面OBD，所以AC(2)因為?ABC與?ACD都是等邊三角形，AC=4，O為所以O(shè)B=OD=23，又BD=26，所以又OB⊥AC,OD⊥AC，所以O(shè)A,OB,OD兩兩互相垂直，以O(shè)為原點，OA,OB,OD所在直線分別為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由AC=4，得A(2,0,0),B0,2所以BC=設(shè)平面BCD的法向量為m=(x,y,z)，則BC?m=0,BD?m即平面BCD的一個法向量為m=設(shè)平面BCE的法向量為n=(a,b,c)，則BC?n=0,BE?n即平面BCE的一個法向量為n=設(shè)平面BCD與平面BCE的夾角為θ，則cosθ=所以平面BCD與平面BCE夾角的余弦值為7

18.【詳解】(1)證明：如圖，記BD與AC交于點O，連接OE，因為AB/\!/CD,AB=2CD=2，又因為∠AOB所以?AOB∽△COD所以O(shè)DOB所以點O為BD上靠近點D的三等分點．因為點E為PB上靠近點P的三等分點，所以在?PBD中，OE/\!/PD又因為OE?平面ACE，PD?平面所以PD//平面ACE(2)方法一：選擇①②作為條件，證明③：因為2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，則tan∠PCA=則以A為原點，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，從而BD=(1因為PFPC所以PF=則F的坐標(biāo)為13設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z)則AB?n則y=0，令z=1，可得x=?所以平面ABF的一個法向量為n=(?2,0,1)設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ=cosBD方法二：選擇①③作為條件，證明②：因為2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=設(shè)PA=a,a>因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥則以A為原點，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,a),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，因此BD=(1因為PFPC所以PF=則F的坐標(biāo)為13設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z)則AB?n則y=0，令z=1，可得x=?所以平面ABF的一個法向量為n=(?2a,0,1)設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ=解得a=1(負值舍去)，則PA=1，故tan∠PCA=PAAC方法三：選擇②③作為條件，證明①：因為2CD=2AD=2,AD⊥所以AC=因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，則所以PA=1，則以A為原點，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，因此BD=(1設(shè)PF=λ則F的坐標(biāo)為(λ,λ,1?λ),AF設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z)則AB?n則y=0，令z=1，可得x=λ?1所以平面ABF的一個法向量為n=設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ=解得λ=13(負值舍去)，則PF

19.【詳解】(1)證明：∵點A1在底面上的射影為AC的中點D∴A1D∵BD,DC?平面ABC，又∵底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為AC的中點，∴BD以點D為坐標(biāo)原點，DB,DC,DA1所在直線分別為x軸、y軸、

∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=4,∴AC=4在Rt?