第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年江蘇省南京玄武外國語學(xué)校九年級（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列命題中，是真命題的為（）A.三點確定一個圓 B.同弦所對的圓周角相等

C.對角互補的四邊形四點共圓 D.垂直于半徑的直線是圓的切線2.如圖，內(nèi)接于，，，為的直徑，交于，的延長線交于點，連接，，交于，在不添加其他輔助線的情況下，圖中除外，相等的線段共有（

）對．

A.2 B.3 C.4 D.53.如圖，在中，，，的內(nèi)心、外心分別為點、點，且有，則的長度為（

）

A.8 B.6 C. D.4.如圖，平行四邊形中，，以為直徑的交于點E，則的長為（

）

A. B. C.5 D.5.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，為上一點，，則的最小值為（）

A. B. C. D.6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是，點B是上一點，的半徑為2，將繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，則線段的最小值為（

）

A. B. C.5 D.6二、填空題：本題共9小題，每小題3分，共27分。7.如圖，在扇形中，，點C為半徑上一點，現(xiàn)以點O為圓心，長為半徑作弧，該弧交半徑于點D，記的長為m，的長度為d，則的長為

．（用含m，d的式子表示）

8.如圖，是的直徑，是外一點，連接交于點，連接并延長交于點．若，則的大小是

度．

9.已知一次函數(shù)圖像與一圓心為，半徑為1的圓相切，則切點坐標(biāo)為

．10.如圖1，是的半徑，點M是的中點，點N在上從點A開始沿逆時針方向動一周回到點A，運動停止，設(shè)運動過程中的長為x，的長為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖象，則a的值為

．

11.如圖，在中，，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，點B經(jīng)過的路徑為，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，點B恰好落在上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是

．

12.如圖，在矩形中，點E在邊上，連接平分，點O是的內(nèi)心，連接，，若，則的長為

．

13.如圖，為的直徑，且，點在半圓上，，垂足為點，為半圓上任意一點，過點作于點，設(shè)的內(nèi)心為，連接、．當(dāng)點在半圓上從點運動到點時，內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為

．

14.如圖，在中，，點是邊上一點，且，點、分別是邊、上的動點，且始終滿足，連接，則線段的最小值為

．

15.如圖，已知扇形，點D為圓弧上一點，且的度數(shù)為，若P為扇形內(nèi)一點，則的取值范圍是

．

三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

真命題“在同一個圓中，兩條平行的弦所夾的弧相等”，請根據(jù)這個命題畫出圖形，寫出已知求證并完成證明．17.(本小題8分)如圖，四邊形內(nèi)接于一圓，延長到點．

(1)求證：；(2)連接、，若，平分，求的度數(shù)．18.(本小題8分)如圖，是的直徑，且，為上一動點（不與點、重合）過點作的切線交延長線于點，為中點，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．19.(本小題8分)分別用兩種方法作出三角形的外心與內(nèi)心．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）

20.(本小題8分)在平面內(nèi)，將小棒經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\動，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長度為4，寬度不計．方案1：將小棒繞中點O旋轉(zhuǎn)180°到，設(shè)小棒掃過區(qū)域的面積為(即圖中灰色區(qū)域的面積，下同)；方案2：將小棒先繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，再繞C逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，最后繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，設(shè)小棒掃過區(qū)域的面積為．

(1)①______，______；(結(jié)果保留)②比較與的大?。?參考數(shù)據(jù)：，．)(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個等邊三角形．①補全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為，求．(3)設(shè)計方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積小于，畫出示意圖并說明理由．21.(本小題8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B是y軸、x軸上的兩個定點，經(jīng)過A、B兩點且與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸分別交于D、C兩點，過點O作于點E，交于點F．

(1)若，則

°；(2)求證：點F是的中點；(3)若、，其中a、b是方程的兩個根，連接，當(dāng)圓心M運動時，的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出的長度；若變化，求出MF的取值范圍．

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】，

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】已知：如圖，，是的兩條弦，，求證：．證明：如圖所示，連接，，，，，，，，，，．

17.【答案】【小題1】證明：∵四邊形內(nèi)接于一圓，∴，∵，∴；【小題2】解：由（1）得，∵，∴，∵平分，∴，，∴．

18.【答案】【小題1】證明：如圖，連接，∵與相切于點C，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∵，，∴，∴，則，∵經(jīng)過的半徑的外端，∴是的切線；【小題2】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．

19.【答案】解：（1）如圖，分別作三角形邊,的垂直平分線，交于點O，點O即為的外心；如圖，分別找到三角形邊，的中點D，E，再以點D，E為頂點，利用三角板畫垂直于邊，的直線，相交于點O，點O即為的外心；（2）如圖，分別作與的平分線，相交于點O，點O即為的內(nèi)心；如圖，以點C為圓心，畫兩個不同半徑的弧，得到點D，E，F(xiàn)，G，連接，交于點M，連接，以點C為圓心，畫兩個不同半徑的弧，得到點P，Q，R，H，連接，交于點N，連接，與相交于點O，點O即為的內(nèi)心．

20.【答案】【小題1】解：①由依題意得：，，∴又依題意得：方案2掃過區(qū)域為三個圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍的面積．等邊三角形的面積公式：，為等邊三角形的邊長．∴故答案是：，；②∵，，，∴；【小題2】①依題意補全方案3的示意圖如下：

②連接，M為切點，則的中點，

設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∴．【小題3】設(shè)計方案4：如下圖，是等邊三角形，首先讓點B在上運動，點A在的延長線上運動，使得的長度保持不變，當(dāng)點B運動到點C時，由此邊調(diào)轉(zhuǎn)到邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到邊和邊，最終小棒掃過的區(qū)域是如下圖所示．

對于第一次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到時，此時，又作，則依題意得：陰影部分比等邊三角形多三塊全