考點(diǎn)17點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(核心考點(diǎn)講與練)

一、空間中的平行關(guān)系

1.平行直線

(D平行公理

過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.

(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(3)定理

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.

2.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線,與平面。沒有公共點(diǎn)，則稱直線,與平面。平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條直線與此

a____

平面內(nèi)的一條直線平cda,/xza.

判定定理

行，則該直線平行于此a//心a〃c

平面

一條直線和一個(gè)平面

平行，則過這條直線的a//a,&u￡,

性質(zhì)定理

任一平面與此平面的aCl￡=ga〃b

交線與該直線平行

3.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

交直線與另一個(gè)平面aua,/xza,aCb=P,

判定定理

平行，則這兩個(gè)平面a//B,b〃Bna〃B

平行

兩個(gè)平面平行，則其

/x/

中一個(gè)平面內(nèi)的直線aHB、aua=a〃￡

平行于另一個(gè)平面

性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相a〃￡,any=a,

交，那么它們的交線BClY=t—a"b

平行

二、空間中的垂直關(guān)系

1.直線與平面垂直

(1)宜線與平面垂直的定義

如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)S的任何直線都垂直，就說這條直線和這

個(gè)平面互相垂直.

(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論

文字語言圖形語言符號語言

auQ、

Zxza

如果一條直線與平面內(nèi)的兩條1

aCb=0>

判定定理相交直線垂直,則這條直線與

7IVa

這個(gè)平面垂直

ILb/

=/_La

如果在兩條平行直線中，有一ab

a//b]

推論1條垂直于平面，那么另一條直)=61a

么7a_La|

線也垂直于這個(gè)平面

a

如果兩條直線垂直于同一個(gè)平■_La

推論2衿aUb

面，那么這兩條直線平行￡7bla

2.直線和平面所成的角

(D定義：一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們

所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.

(2)范圍：［"/I，.

3.二面角

(D定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半?平面內(nèi)分別作垂直千棱的兩條射

線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

⑶二面角的范圍：［0,n］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得兩條交線互相垂直,就

稱這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的

判定定理一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂A

直4U

。_!_一

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在luB

*

性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的aC\8=a

直線垂直于另一個(gè)平面￡■LJ/_!_a.

=1_La

J方法技巧)

1.異面宜線的判定方法

2.求異面直線所成的角的三步曲

3.線面平行的證明方法

(1)定義法：一般用反證法；

(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行,證明時(shí)注意用符號語言敘述證明過

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可直接判斷出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)橛伞?。川得〃或/與m異面，

所以“〃/?！笔恰啊?"’的既不充分也不必要條件.

故選：D.

求異面直線所成的角

1.（2021山東臨沂模擬）如圖，四邊形A8c。和四邊形AOPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異

面直線4P與8。所成的角為

【答案】;

【解析】如圖，將原圖補(bǔ)成正方體A4CQ-QG//P,連接GP,則GP〃4Q,

所以NAPG為異面直線A尸與BO所成的角，在AAGP中，AG=GP=AP,

所以/APG=.

巷7若

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合異面直線的成角的范圍即可求出結(jié)果.

【詳解】

在劣弧AO上取A3的中點(diǎn)M，以。為原點(diǎn)，。加為x軸，04為V軸，OA為z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

1.（2021海南省三亞華僑學(xué)校高三10月月考）正方體A/3C。-4辦G/）中，E、尸分別是8自，CG的中點(diǎn),

（1）證明：直線AE〃平面。CGG

（2）求異面直線AE和3尸所成角的余弦值.

【答案】（1）證明過程見詳解（2）1

【詳解】（1）證明：連接。尸，EF,

Dx

(2)連接EG，AC1,

所以異面直線AE和B廠所成角的余弦值為2

2.(2022年高考數(shù)學(xué)一輪夏習(xí)講練測)如圖，A8CO與AOEf為平行四邊形，M,N,G分別是AS,AD,

￡產(chǎn)的中點(diǎn).

求證：(1)BE〃平面。MF；

(2)平面BOE〃平面MNG.

【分析】(1)作輔助線，由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可；

(2)先證明8?！ㄆ矫鍹NG,OE〃平面MNG,再由面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】證明：(1)如圖，連接4E,則A￡必過。『與GN的交點(diǎn)。，連接MO,

則MO為△ABE的中位線，所以B石〃MO,

又BRt平面。MF,MOu平面DMA所以BE〃平面。MF.

(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形AOE/的邊A。，石尸的中點(diǎn)，所以DE〃GN,

又DEC平面MNG,GNu平面MNG,所以O(shè)E〃平面MNG.

又做為AB中點(diǎn)，所以MN為△A3。的中位線，

所以又4OC平面MNG,MNu平面MNG,

所以40〃平面MNG,

又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面BDE〃平面MNG.

荏可武>直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

答案】(1)證明見解析；(2)i

3

因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，

故選:D

3.(2022年高考數(shù)學(xué)-一輪復(fù)習(xí)講練測)如圖所示，四邊形48cZ)中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,

ZBAD=90°.將AAB。沿對角線8。折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P,且使平面平面8CQ.

求證：(1)CZ)_L平面PBD.

(2)平面P8cL平面POC.

【分析】(1)利用平面四邊形A8CD證得8。J_OC,借助面面垂直的性質(zhì)即可得解：

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論及已知證得8Pl平面PDC,利用面面垂直的判定得解.

【詳解】(1)在平面四邊形A8C。中，M)=AB,/84。=90。，則NA/3O=NAQB=45。,

又A?！??C,即有ND8C=45。，而NOCB=45。，于是得N8/X>90。，

在折后的幾何體PBCD^P,BDLDC,因平面平面BCD,平面尸8。0平面BCD=BD,CQu平面BCD,

所以CQ_L平面PB。；

(2)由(1)知CO_L平面PB。，PEU平面PBQ,于是得CZ5_L8P,

又BPLPD,PD^}CD=D,POu平面POC,COu平面PQC,則3P_L平面POC,又3PU平面08C,

所以平面P8C_L平面PDC.

廷可寶＞平行與垂直的綜合問題

1.如圖，直三棱柱ABC-481G中，底面是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)。，￡分別是8C,A8的中點(diǎn).

(1)證明：。石〃平面ACGAi；

(2)若=證明：GQ_L平面AOE.

【分析】(1)由線面平行的判定定理，只要證明。E〃4C,就可證明OE〃平面ACG4.

(2)因?yàn)锽4i_L平面4BC,由線面垂直的性質(zhì)定理得，BBilAD,因?yàn)榈酌?BC是等邊三角形，D為BC

的中點(diǎn)，所以BC_LA。，所以4D_L平面8山CG,所以AQ_LGO,由勾股定理得。。，。囪，結(jié)合線面垂直

的判定定理得GQ_L平面ADE.

【詳解】(1)連接4山,AiC,

在直三棱柱ABC-A由iG中，側(cè)面ABIM］是矩形，

因?yàn)辄c(diǎn)七是A自的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是人出的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)/)是8C的中點(diǎn)，所以。石〃4C,

因?yàn)?。EC平面ACGAi,AiCu平面4CG4,

所以。E〃平面ACG4.

(2)連接與。，在直三棱柱ABC?48iG中,

因?yàn)?8iJ_平面A8C,AQu平面A4C,所以4Bi_LA。，

乂因?yàn)榈酌鍭4C是等邊三角形，。為4c的中點(diǎn)，

所以4C_LAQ,又BCCBB尸B,

所以AQ_L平面SBCG,又CQu平面向BCG,

所以AO_LCiO,

由8c=2,得BQ=1,又88i=CG=l,

即GO_L平面AOE.

1.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)II））

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與。平行

C.a,尸平行于同一條直線

D.a,4垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平

行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【答案】B

【分析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

【答案】（1）證明見解析；（2）旦.

3

（2）［方法一］:相似三角形法

［方法二1:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

［方法四］:空間向量法

【整體點(diǎn)評】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)力長，從而求得該四棱錐的體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長，從而求得該四棱飾的體積；

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長，為最常用的通性通

法，為最優(yōu)解：

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.

一、單選題

1.（2022?山東聊城?二模）已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線/是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則

該直線/與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（）

【答案】A

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，母線長為R,因?yàn)镮員I錐的側(cè)面積等于底面的3倍，

故選:A

2.（2022?北京豐臺?二模）已如兩條不同的直線/,小與兩個(gè)不同的平面B,則下列結(jié)論中正確的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中線面、面面的判定定理與性質(zhì)定理一一判斷即可；

【詳解】解：由兩條不同的直線/,“與兩個(gè)不同的平面a,p,知：

故選:B.

【答案】B

【詳解】

b

依題意作上圖，

正確；

故選:B.

【答案】C

故選：C.

【答案】A

【分析】根據(jù)線面平行求得點(diǎn)P的軌跡，再結(jié)合幾何關(guān)系，求RP的最小值即可.

故選:A.

A.—B.在C.3D.也

3546

【答案】D

故選:D

【答案】B

【分析】作出輔助線，分割為一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的三棱錐，利用柱體和椎體體積公式進(jìn)行求解.

所以上〃〃/1/工EF//CD,

所以人

過點(diǎn)A作AG_LE”于點(diǎn)G,連接。G,

則AGLAB,

所以483_平面AOG,

過點(diǎn)3作8從LEF于點(diǎn)兒連接C"

則A/?_L平面BCH,

FG=FH=\,GH=AB=CD=2,

取AO中點(diǎn)M,連接GM,則GM_L4O,

故迄B

A.①②③B.@@@C.???D.①?@

【答案】C

對于③，連接同。，交AG于點(diǎn)。，連接8。，

故選：c.

二、多選題

【答案】BC

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理，即可得解.

所以N、M、C>A四點(diǎn)共面，

:.A,B,C,N四點(diǎn)共面，

故選:BC.

A.平面外。內(nèi)任意一條直線都不與平行

B.平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面心。平行

C.平面%6和平面PCO的交線不與底面A3CD平行

D.平面以D和平面PBC的交線不與底面ABC。平行

【答案】ABD

【分析】用反證的方法來推出與已知相矛盾的結(jié)論，可以判斷A,D;用線面平行的判定定理，可判斷B;用線

面平行的判定以及性質(zhì)定理可判定C.

平面玄。和平面PBC的一個(gè)交點(diǎn)為P,故二者存在過點(diǎn)P的一條交線，

在平面P8C內(nèi)，與平面附。和平面P8C的交線平行的所有直線均與平面物。平行，故B正確;

所以平面PAB與平面PCD的交線與底面ABCD平行，故C錯(cuò)誤；

若平面PAD與平面P8C的交線與底面A8CD平行，

則平面〃。與平面P3C的交線與8c平行，與A。也平行，

與已知底面A3CO為梯形矛盾，故D正確.

故選：ABD

11.（2022?廣東惠州?一模）近年來，納米晶的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾

多，卜.圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長

均為〃的幾何體，則下列說法正確的有（）

D.二面角的余弦值為-g

【答案】ABD

【分析】對于A：該幾何體是由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，代公式計(jì)算即可.

故選：ABD.

B.存在點(diǎn)P,使得四邊形4PQR為平行四邊形

D.存在點(diǎn)P,使得△APR為等腰直角三角形

【答案】AC

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合假設(shè)法逐一判斷即可.

直線PQ與直線AR不平行，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用假設(shè)法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

13.(2022.江蘇南通.模擬預(yù)測)已知正四棱柱48C。-的底面邊為1,側(cè)棱長為a,M是的中

點(diǎn)，則()

A.任意。>0,AtMlHD

B.存在〃>0,直線A/G與直線BM相交

C.平面A/BM與底面48/。。/交線長為定值更

2

D.當(dāng)〃=2時(shí)，三棱錐8/-4BM外接球表面積為3兀

【答案】AC

【分析】對于A,證線線垂直即證線面垂直：

對于B,根據(jù)異面直線的定義可得；

對于C,根據(jù)基本事實(shí)3找出交線，然后求出交線長即可；

對于D,根據(jù)外接球與正四棱柱的位置關(guān)系，找出球心，進(jìn)而求出半徑，即可得出表面積.

???BM與AG異面不相交，B錯(cuò).

故選：AC.

【答案】BD

故選：BD.

B.直線0E與直線AG所成角的余弦值為g

【答案】AD

【分析】選項(xiàng)A：由線面垂直的判定定理，以