§4.8正弦定理、余弦定理

【課標(biāo)要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應(yīng)用3能利用正弦定理、余

弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.

I.正弦定理、余弦定理

在△48。中，若角A,8,C所對(duì)的邊分別是。,b,c,R為△A8C外接圓半徑，貝I]

定理正弦定理余弦定理

=從+/—2/?ccosA；

ab_ccn

內(nèi)容2R

sinAsin/?sinC加=d+)一2cacosB；

^^3+加一2"cosC

(l)?-2/?sinA,

b=2RsinB,,b2+c2-a2

cosA=———；

2bc

c=2/?sinC；

c2+a2-b2

變形cosBn=--------；

Zac

(2)sinA=/,

「a2+b2-c2

cosC=———

.b.「c2ab

sinBn=——,smC=一；

2R'2R'

(3)a:b:c=sinA:sinB:sinC

2.三角形解的判斷

3.三角形中常用的面積公式

（l）S=：ah”（hu表不邊a上的高）；

（2）S=\aZ?sinC=}acsin/?='匕csinA;

（3）S=；?a+6+c）（r為三角形的內(nèi)切圓半徑）.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“X”）

（1）三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.（X）

（2）在△ABC中，若sinA>sinB,貝lja>b\V）

（3）在aABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.（X）

（4）當(dāng)〃+《2一〃〉。時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)〃+c2—/=0時(shí)，△A8C為直角三角形；當(dāng)b2+c2-cr<0

時(shí)，AABC為鈍角三角形.（X）

2.已知△A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,力，c,若b=夕ta=\,B=g,則c等于（）

A.A/5B.2C.A/3D.3

答案B

解析由余弦定理得COS8=M；?"2,即一;=粵2,整理得，+c—6=0,解得c=2（負(fù)值舍去）.

2ac22c

3.在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a",c,若a=80,力=100,A=45。，則符合條件的三角

形有（）

A.一個(gè)B.兩個(gè)

C.0個(gè)D.不能確定

答案B

解析由題意知，a=80,/?=100,A=45。，由正弦定理，得等=翳，所以sin8=等.

因?yàn)閍<b,所以B>A,故B有兩解，

即符合條件的三角形有兩個(gè).

4.在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=4,人=5,c=6,貝UcosA=,△

A8C的面積為.

3

44

解析依題意得cosA="二：一°2=：,

所以sinA=V1-cos27l=—,

4

所以AABC的面積為勺心inA=￡2

24

1.熟記△ABC中的以下常用結(jié)論：

(1)A+8+C=7t,等=與一條

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊，。:>b=A>5=sin4>sin5,cosA<cosB.

A+RCA+Rr

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=-tanC；sin—cos-；cos-=sin^.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=〃cosA+acosB.

(6)三角形的面積S=yjp(p-a)(p-b)(p-c)(p=q(a+b+c)).

(7)在斜△ABC中，tanA4-tan5+tanC=tanAlanBtanC.

2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

(1)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)討論，可能有一解、兩解或無(wú)解.

(2)求角時(shí)易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，需要根據(jù)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的規(guī)則，畫(huà)圖幫助判斷.

題型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1⑴(2025?重慶模擬)在△A8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且〃+片+尻=〃若〃=

V6,<7=3>/2sinB,則C等于()

n

AA-

46

答案D

解析在△A8C中，由〃+/+%=標(biāo)及余弦定理，可得COSA==F=一：,

由0<4<兀，可得A=g,

又b=y[6,a=3夜sinB,

歷經(jīng)歷容

由正弦定理得sin8=3sinx1

35/2sinB-3四sin8-2sinfi

又sinBX),解得sin8欄，

解析由sin28+sin8=0,得

2sin3cos8+sin8=0,

因?yàn)樵赯VIBC中，sinSNO,得cos8=—g,

由余弦定理tr=cr+(r—2accosB,

因?yàn)閎=\O-a,所以(10—02=/+52-2X。><5乂(一3,解得〃=3,所以力=7.

由cosB=-1,得B=120°,則sinB=.

由正弦定理得sinC=^sin￡?=|Xy=寫(xiě).

題型二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形的形狀判斷

例2在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是〃，力，c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC

的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案D

解析方法一因?yàn)閏—acos8=(2。一〃)cosA,

C=TT—(4+8),

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA-sin8cosA,

所以sinAcosB+cosAsin8—sinAcosB

=2sinAcosA-sinBcosA,

所以cosA(sin8—sin4)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以A=1或B=A或8=兀-A(舍去)，

所以△ABC為等腰或直角三角形.

方法二因?yàn)閏—acos8=(2a—/?)cosA,

由余弦定理得

a2A-c2-b2/..b2A-c2-a2

cj.F^=(2，L份

化簡(jiǎn)得（a—份（〃+/—標(biāo)）=（）,

所以u(píng)—b=0或b2-\-c2—a2=0,

所以。=人或加+02=儲(chǔ)，

故△ABC為等腰或直角三角形.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3（2024.武漢模擬）在中，內(nèi)角A,8,。所對(duì)的邊分別為a",c,若,b=6,a2+c2

4

=2&ac,則△ABC的面積為.

答案3

解析由余弦定理得b2=a2-\-c2—2?ccosB,

即36=。2+^+缶。=2&。。+修憶=3&7,

所以QC=6企，

所以△人3C的面積

S=：acsinB=；X6五X(qián)q=3.

222

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題

例4已知。是RtZ\A5C斜邊8C上一點(diǎn)，AC=V3DC.

（1）若/。A。=30。，WJZADC=；

⑵若BD=2DC,且DC=1,則A。的長(zhǎng)為.

答案（1）120。（2）72

解析（1）在△ADC中，由正弦定理得一條=一年0，

sin乙4DCsinzDzlC

所以sinNADC=ACS器AC=取乂3=/,

又/月。。=8+/84。=8+（90。一/。40=8+60°>60。，

所以乙4。。=120。.

(2)由BD=2DC,且DC=\知8c=3,

又AC=V5QC,貝ijAC=V5,

所以RtAAfiC中，cos。=與=—,

BC3

在△AOC中，由余弦定理得

AZ)2=AC2+DC2-2ACDCCOSC=(V3)2+I-2gx1Xy=2,

所以4D=&.

思維升華(I)判斷三角形形狀的兩種思路

①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)三角形面積公式的應(yīng)用原則

①對(duì)于面積公式S=^a〃sinC=*\sin6=：〃csinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式

②與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練2⑴設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若嗎=,S+c+a)("+c-a)

sinfJc

=3bc,則△ABC的形狀為.

答案等邊三角形

解析因?yàn)楫?dāng)=±,

sinBc

所以三二9,所以力二c.

bc

又(Z?+c+a)(Z?+c—a)=3bc,

所以b2-\~c2—a2=bc,

KIb2+c2-a2be1

所以coxsA=F^=^=y.

因?yàn)锳G(0,兀)，所以A=g,

所以△ABC是等邊三角形.

(2)(2024?新課標(biāo)全國(guó)I)記442。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為atb,c,已知sinC=Vicos8,儲(chǔ)+加

—c2=y[2ab.

①求B；

②若△ABC的面積為3+8，求c.

解①由余弦定理有4+小一/=2R>COSC,

因?yàn)閍2-^b2—c2=y/2ab,

所以cosC=y,

因?yàn)镃6（0,兀），所以sin00,

從而sinC=V1-cos2C=-J1-俘）=y,

又因?yàn)閟inC=V2cosB,

即cosB=g,

又8￡（0,兀），所以B=?.

J

②由①可得8=2,cosC=4,C￡（0,ji）,

從而C=：,sinA=sin（8+C）=sinG+：）

_V3vx/2,V6+V2

-----A---J-zx--------------.

22224

方法一由正弦定理有當(dāng)=當(dāng)

sin-sin-

從而/?=y-\/2c=yC

由三角形面積公式可知，

△A3C的面積可表示為S^ABc=^hosinA

1瓜V6+V23+V3

=2TC<-^=-C?

由已知△A8C的面積為3+V5,

可得呼/=3+8,所以c=WL

O

方法二記R為AABC外接圓的半徑，

由正弦定理得

S^ABC=^bsinC=27?2sinAsinBsinC

2

=2R-42^~2

3+V3

?R2=3+百.

4

所以R=2.

所以c=2R?sinC=2X2X1=2a.

■微拓展,

相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用

1.角平分線(xiàn)定理

在△ABC中，AO為NB4C的角平分線(xiàn)，則誓=今

DDCD

進(jìn)而得到（1）44=ABAC?斯庫(kù)頓定理）.

S"B￡>

S&ACD

2.張角定理

在△A8C中，D為BC邊上的一點(diǎn)，連接4。，若NBA。=Q,ZCAD=fi,

則列型+Sinasin(a+/?)

ABACAD

3.中線(xiàn)長(zhǎng)定理

在△A8C中，AD為8c邊上的中線(xiàn)，貝IJ482+4(5=2(402+OC2).

典例⑴在△48C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a",c,若a=7"=8,c9,則AC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)

為

答案7

解析方法一在△A8C中，設(shè)W）是4c邊上的中線(xiàn)，由中線(xiàn)長(zhǎng)定理知，

Afi2+BC2=2(BD2+DC2),

即/+〃=2(8°2+］匕2),

?,rc2+a2i)281+4964

貝ijB&=---------=-----------=49,BD=7,

2424

故AC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為7.

方法二因?yàn)椤?7"=8，c=9,由余弦定理得cos”《薩=白寡=算

設(shè)。是AC的中點(diǎn)，則而:"瓦5+近），

兩邊平方得|前F=^（BA2+2瓦?反+BC2）

=jX(81+2x9x7x^+49)=49,

所以|瓦5|=7,即AC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為7.

（2）在△AAC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,AO是/8AC的角平分線(xiàn)，若,AQ=2百，

貝I」2〃+。的最小值為

答案6+4企

解析如圖，???4。是N8AC的角平分線(xiàn)，

：.ZBAD=ZCAD

=^ZBAC=y,

26

由張角定理得sinifMC_sinz84D+sinzCAD

ADACAB

??sm?-iisi.n-itsi.n-iiill

即T=—

2y[3bc'b,A-c+-2=-

A2/?+C=(2/?+C)Q+0X2

x.2C,4b、/,r[2c4b

—x—

=6+—b+—c26b+2c

=6+40當(dāng)且僅當(dāng)彳=9且9+W,

即c二或〃=2或+2時(shí)取等號(hào)）.

課時(shí)精練

［分值：90分］

知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

1.（2025??？谀M）在△A8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若〃=2,b=3,si,貝ijsinB

等于（）

A，2B.1C.1D.-

4334

答案A

解析若a=2,b=3,sin,

則由正弦定理得，號(hào)=號(hào)，即告，

smAsinB1sinB

所以sinB=-.

4

2.在AABC中，cosC=l,AC=4,BC=3,貝UcosB等于（）

A.B.|C.1D

932i

答案A

解析依題意,由余弦定理得，AB2=AC2-hBC2-2ACBCcosC=42+32-2X4X3x|=9，即AB=3,所

g+BCZ-AC29+9-16_1

以cosB=

2ABBC2X3X39'

3.（2024?長(zhǎng)沙模擬）已知在△ABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且三邊之比：b:c=2：3：4,

sin4-2sin8箋羊/

則-sin2C-寺?。ǎ?/p>

B--2C.2D.-2

答案C

解析因?yàn)樵凇鰽BC中，〃：b：c=2：3：4,

設(shè)a,/?,c分別為2k,3k、4k,k＞（）,

由余弦定理/=4+〃_24&osC,

可得16F=4k?+9爐一]2尸cosC,

解得COSC=-7,

4

—r/asin/l-2sinBsin/1-2sinf?a-2b_=2k-2X3k=2

」何~sin2c2sinCcosC2ccosC2x4kx(-i)

4.在△居（;中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知si吟+/制，則△ABC的形狀為（)

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析???L，

?1-C3S/I_1b

■.----------=———**?cosA=~,

222C

b2-k-c2-a2b

*.*cosA=

2bc

???/十仁2―。2=2",,??力2+。2=。2,

???△ABC為直角三角形，且C=90°.

5.（2024.榆林模擬）在中，角A,8,C的對(duì)邊分別是a",c,且三邊滿(mǎn)足/=m+c>—4&，B=

7,則△ABC的面積為（）

4

A.2-V2B.4-2V2

C.2+V2D.4+2V2

答案A

解析因?yàn)椤?(q+c)2—4&=〃+/+2訛-4或，所以/+6:2—〃=4\/5-2伙?，

因?yàn)锽=?，由余弦定理得，

a2-^-c2-b2_2y[2-ac

B==

COST2acac

所以ac=4&一4,

故△ABC的面積

S=|acsin一4)X苧=2-技

6.(2025?上海模擬)在△A8C中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=y[3,且c-2/?+2x/3cosC=(),

則該三角形外接圓的半徑為（）

A.lB.V3C.2D.2V3

答案A

解析?,Z=V5一??c—2匕+2〃cosC=0,

.*.sinC-2sin8+2sinAcosC=0,

AsinC—2sin（A+C）+2sinAcosC=0,

AsinC_2sinAcosC_2sinCeosA4-2sinAcosC=0,

AsinC_2sinCeosA=0,

Vsin00,AcosA=1,

???八￡（0,兀），?"=?，

J

設(shè)該三角形外接圓的半徑為r,由正弦定理得

-^―=色=2=2廠

sin4叵'

2

:.r=1.

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.在中，角4,8,C所對(duì)的邊分別為atb,c,則下列條件能確定2個(gè)三角形的是（）

A.A=Y,b=\,c=2

B.B=*,b=\,c=2

C.A=—,b=3,6Z=V3

6

D.B=-,b=y/3,a=2

4

答案CD

解析對(duì)于A,因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角唯一確定一個(gè)三角形，所以A選項(xiàng)的條件能確定1個(gè)三角形；

對(duì)于B,由正弦定理可知，$皿。=竿=孚=6>1,無(wú)解，

故B選項(xiàng)的條件不能確定三角形；

對(duì)于C,由正弦定理可知，sin8=$=^=梟，又局，即8￡仕n）,

aV32\6/

所以8=三或8=督，故C選項(xiàng)的條件能確定2個(gè)三角形；

對(duì)于D,由正弦定理可知，sinA=竺普=三"=嚕=21,

bV3V33

又即A￡（g,n），又易知sinA=口＞sin：=苧，則sinA=乎有兩個(gè)解，

故D選項(xiàng)的條件能確定2個(gè)三角形.

8.已知△A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若ncosA=〃cos8,則△A8C是等腰三角形

B.若加osC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形

C.若七二與二三，則AABC是等邊三角形

cosAcosBcosC

D.若8=60。，b2=ac,則△ABC是直角三角形

答案BC

解析對(duì)于A,若acosA=〃cosB,則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,

Asin2A=sin2B，則2A=28或24+28=180。，即A=8或A+8=90。，則△ABC為等腰三角形或直角三

角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若/?cosC+ccosB=b,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeos8=sin（8+C）=sinA=sin3,即A=

B,則△ABC是等腰三角形，故B正確；

對(duì)于C,若‘^二一^二七：，則由正弦定理得"4=^^='^,貝iJlanA=tanB=tanC,即A=B=C,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對(duì)于D,由于8=60。，b2=ac,由余弦定理可得力2=訛=標(biāo)+d—訛,可得（a—c）2=0,解得a=c,故4

4AC是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共10分〕

9.（2024?開(kāi)封模擬）記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=',a=3b,貝JcosA

J

答案_吟

6

解析在AABC中，cosC=|,a=3b,

由余弦定理可得

廠a2+b2-c29b2+b2-c22

cosC=-------=---------=-,

lab23bb3

解得c=*）b,

再由余弦定理可得

.b2-\-c2-a2b2+6b2-9b2、石

cosA=F^=2b.?=

10.（2024?成都模擬）在△ABC中，AC=\,ZACB=^,延長(zhǎng)8A到點(diǎn)O,使得4。=企,ZADC=^,貝UA8

46

的長(zhǎng)為

答案當(dāng)

解析???在△A8C中，AC=1,Z.4CB=7，延長(zhǎng)8A到點(diǎn)O,使得AO=應(yīng)，ZADC=^,

46

4D4c

???由正弦定理得

sin乙4cosin乙40c

可—T得/a.,.ccADsinz.ADCV2

sinNACD=—/—iC*—=—N,

可得/4CD=：,??.N3AC=N4CD+NAOC=：+弓=工，ZABC=n~^~^=^,

，在AABC中，由正弦定理得

AB_AC

sin乙4cBsin乙4BC'

即名=工，解得AB=4

sin?-sin3-3

四、解答題（共27分）

11.（13分）（2024.新課標(biāo)全國(guó)II）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+V5cosA=2.

（1）求A;（5分）

（2）若a=2,V2Z?sinC=csin2B,求△ABC的周長(zhǎng).（8分）

解（1）方法一常規(guī)方法（輔助角公式）

由sinA+V3cosA=2,

可得手訪(fǎng)4+要054=1,

即sin（4+g=l,

由于A￡（0,兀）=A+衿6，y）,

故A+4；

解得A=?.

6

方法二常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sinA+bcosA=2,

又siMA+cos2A=1,

消去sinA得到

4cos2A-4>/3cosA+3=0<=>(2cosA—V3)2=0,

解得cosA,

又A￡(0,n),故A=[

6

(2)由題設(shè)條件和正弦定理得，

V2/?sinC=csin2B<=>\/2sinBsinC=2sinCsin8cosB,

又8,C￡(0,兀)，則sinBsinCWO,

進(jìn)而cos8=],得到8=4

T是C=n—A—B=^,

sinC=sin(兀一A—8)=sin(A+8)

=sinAcos8+cosAsinB

4，

由正弦定理可得，

ab_c

sin4sinHsinC'

BP--n=-T-n=-Tn，

s叫sin-sin-

解得b=2y/2,c=V6+V2,

故△ABC的周長(zhǎng)為24-V6+3V2.

12.(14分)(2025?南昌模擬)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,ZBAC=

g,NDAC=：,BD交AC于點(diǎn)E.

A

BD

E

⑴求8。；（7分）

（2）求AE.（1分）

解（I）因?yàn)閮蓧K直角三角形斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,NBAC=?,,BD交AC于

34

點(diǎn)E,

可得48=ACcosN8AC=10X：=5,

AD=ACcosZDAC=IOX^=5V2,

因?yàn)?8AO=N8AC+NOAC=E+E,

34

所以cosZBAD=cos-cos--sin-sin-

3434

_1_V3_V2-^6

---ZX----zx----------■

22224

所以在zvw力中，

/?D2=/\?2