2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述統(tǒng)計中，集中趨勢測度指標（如均值、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度測度指標（如方差、標準差、極差）分別衡量數(shù)據(jù)的哪些特征？請結(jié)合實際情境，說明在什么情況下選擇哪種指標可能更合適。二、假設(shè)某公司人力資源部想要了解員工的工作滿意度與其年齡、工作年限之間的關(guān)系。隨機抽取了50名員工，收集了他們的年齡（歲）、工作年限（年）以及工作滿意度評分（1-10分）。人力資源部希望使用統(tǒng)計方法分析這些變量間是否存在關(guān)聯(lián)。請回答以下問題：1.若要分析“工作滿意度評分”與“年齡”之間是否存在線性關(guān)系，應(yīng)選擇哪種統(tǒng)計方法？簡述該方法的基本原理。2.在選擇了上述方法并得到分析結(jié)果后，若發(fā)現(xiàn)年齡與滿意度評分之間存在顯著的負相關(guān)關(guān)系，請解釋這意味著什么。3.除了相關(guān)分析，人力資源部還考慮使用簡單線性回歸模型來預(yù)測員工的工作滿意度。請說明簡單線性回歸與相關(guān)分析的主要區(qū)別是什么。三、某工廠生產(chǎn)一種電子元件，元件的壽命（小時）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)希望檢驗?zāi)承律a(chǎn)線生產(chǎn)的元件平均壽命是否顯著高于舊生產(chǎn)線（已知舊生產(chǎn)線元件平均壽命為8000小時）。質(zhì)量管理部門隨機抽取了25個新生產(chǎn)線生產(chǎn)的元件，測得平均壽命為8200小時，樣本標準差為300小時。顯著性水平α=0.05。請寫出該假設(shè)檢驗的步驟，包括：1.陳述原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?。2.選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，并說明其表達式。3.確定檢驗的拒絕域（臨界值或p值判斷標準）。4.基于上述抽樣結(jié)果，進行檢驗并做出統(tǒng)計決策。四、一家零售公司想要評估其兩種不同的營銷策略（策略A和策略B）對銷售額的影響。公司選取了10個相似的門店，其中5個門店隨機分配實施策略A，另外5個門店實施策略B。在實施策略一個月后，記錄了各門店的銷售額（萬元）。策略A門店銷售額：85,90,88,92,87策略B門店銷售額：78,82,80,85,83（此處無表格，數(shù)據(jù)已列出）公司經(jīng)理希望知道這兩種策略是否存在顯著差異。請回答：1.為了比較兩種策略的平均銷售額是否存在顯著差異，應(yīng)選擇哪種統(tǒng)計方法？為什么？2.假設(shè)選擇了合適的統(tǒng)計方法，并完成了計算，得到檢驗統(tǒng)計量的p值為0.03。請解釋這個p值的含義。3.若基于p值做出決策，顯著性水平α=0.05時，公司經(jīng)理應(yīng)得出什么結(jié)論？并解釋該結(jié)論的實際意義。五、某研究機構(gòu)想了解居民的月均娛樂支出（元）與家庭月收入（元）之間的關(guān)系。他們收集了100戶家庭的樣本數(shù)據(jù)。1.簡述在分析“月均娛樂支出”與“家庭月收入”之間關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)（r）和協(xié)方差（Cov）各自扮演的角色和區(qū)別。2.如果研究發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)r為0.6，請解釋這個數(shù)值說明了什么？3.假設(shè)研究者進一步建立了家庭月收入對月均娛樂支出的簡單線性回歸模型，模型中的回歸系數(shù)（β?）為30。請解釋該回歸系數(shù)的經(jīng)濟含義。4.在這個回歸模型中，若某家庭的月收入為5000元，預(yù)測其月均娛樂支出是多少？（假設(shè)模型截距β?為200）六、在進行一項關(guān)于消費者購買意愿的研究時，研究者收集了數(shù)據(jù)，其中包括消費者的年齡、性別、教育程度以及購買意愿評分（高、中、低）。其中，性別和教育程度是分類變量。1.若要分析性別與購買意愿評分之間是否存在關(guān)聯(lián)，可以采用哪些統(tǒng)計方法？簡述其中一種方法的基本思路。2.假設(shè)使用卡方檢驗分析性別與購買意愿評分的關(guān)聯(lián)性，得到了一個p值。請解釋什么是卡方檢驗中的p值，并說明在p值較?。ɡ缧∮?.05）時，研究者可以得出什么結(jié)論？3.除了卡方檢驗，在分析分類自變量與分類因變量關(guān)系時，還可以考慮使用哪些方法？請簡述其中一種方法與卡方檢驗的主要區(qū)別。試卷答案一、集中趨勢測度指標衡量數(shù)據(jù)向中心集中的程度。均值是所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)，靈敏于極端值，適用于數(shù)據(jù)呈對稱分布且無極端值的情況。中位數(shù)是排序后位于中間位置的值，對極端值不敏感，適用于數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布或含有極端值的情況。眾數(shù)是出現(xiàn)頻率最高的值，反映數(shù)據(jù)中最常見的類別，適用于分類數(shù)據(jù)或離散型數(shù)據(jù)，尤其當關(guān)注最典型值時。選擇哪種指標合適取決于數(shù)據(jù)的分布特征（對稱性、偏態(tài)性）、是否存在極端值以及分析目的（例如，想了解整體平均水平且數(shù)據(jù)無異?？蛇x均值，想了解典型值或數(shù)據(jù)有異?？蛇x中位數(shù)或眾數(shù)）。二、1.應(yīng)選擇Pearson相關(guān)系數(shù)。該方法用于衡量兩個連續(xù)變量之間線性關(guān)系的強度和方向。其原理是通過計算兩個變量的協(xié)方差與其標準差乘積的比值，得到一個介于-1和1之間的數(shù)值，該數(shù)值反映了兩個變量變化的方向（同向變化為正，反向變化為負）和程度（絕對值越大，線性關(guān)系越強）。2.發(fā)現(xiàn)年齡與滿意度評分之間存在顯著的負相關(guān)關(guān)系，意味著隨著員工年齡的增長，其工作滿意度評分傾向于下降。即年齡較大的員工通常比年齡較小的員工報告較低的工作滿意度。3.簡單線性回歸旨在建立一個數(shù)學模型，用自變量的值來預(yù)測因變量的值，關(guān)注的是變量間的因果關(guān)系或依賴關(guān)系，結(jié)果是一個具體的回歸方程。相關(guān)分析僅衡量變量間線性關(guān)系的強度和方向，不涉及預(yù)測，結(jié)果是一個相關(guān)系數(shù)。三、1.H?:新生產(chǎn)線元件平均壽命μ≤8000小時；H?:新生產(chǎn)線元件平均壽命μ>8000小時。2.選擇單樣本t檢驗的檢驗統(tǒng)計量。表達式為t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/sqrt(樣本量))，即t=(8200-8000)/(300/sqrt(25))。3.在顯著性水平α=0.05下，對于單尾檢驗，查t分布表（自由度df=n-1=24），得到臨界值t_crit。若計算得到的t值>t_crit，則拒絕H?；或者計算檢驗統(tǒng)計量t對應(yīng)的p值，若p值<α=0.05，則拒絕H?。4.計算檢驗統(tǒng)計量：t=(8200-8000)/(300/5)=200/60=3.333。查t分布表（df=24，α=0.05單尾），t_crit≈1.711。因為3.333>1.711，或計算p值，p<0.05。因此，拒絕原假設(shè)H?，有統(tǒng)計證據(jù)表明新生產(chǎn)線元件的平均壽命顯著高于舊生產(chǎn)線。四、1.應(yīng)選擇獨立樣本t檢驗。因為研究比較的是兩種不同策略（獨立分組）下門店銷售額（連續(xù)變量）的均值差異，目的是檢驗兩種策略來源的總體均值是否存在顯著不同。2.p值表示在原假設(shè)（即兩種策略的銷售額均值相等）成立的前提下，觀察到當前樣本間差異或更極端差異的概率。p值越小，說明這種差異越不容易僅由隨機因素造成，越有理由懷疑原假設(shè)不成立。3.因為p值（0.03）小于顯著性水平α=0.05，所以拒絕原假設(shè)。公司經(jīng)理可以得出結(jié)論，兩種營銷策略的銷售額存在顯著差異。結(jié)合數(shù)據(jù)，可能策略A帶來的平均銷售額顯著高于策略B，實際意義在于可以評估哪種策略更有效，為未來的營銷決策提供依據(jù)。五、1.協(xié)方差衡量兩個變量偏離各自均值時的聯(lián)合變動方向和程度，其數(shù)值受變量量綱影響較大。相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差標準化后的結(jié)果（除以兩個變量標準差的乘積），消除了量綱的影響，其數(shù)值在-1到1之間，直接反映了兩個變量間線性關(guān)系的強度和方向，便于比較和解釋。2.相關(guān)系數(shù)r為0.6，表示“月均娛樂支出”與“家庭月收入”之間存在中等強度的正相關(guān)關(guān)系。這意味著隨著家庭月收入的增加，其月均娛樂支出也傾向于增加，且這種關(guān)系的線性程度為中等。3.回歸系數(shù)β?為30，表示在控制其他因素不變的情況下，家庭月收入每增加1元，預(yù)測的月均娛樂支出將平均增加30元。4.根據(jù)簡單線性回歸模型Y=β?+β?X，代入X=5000，預(yù)測的月均娛樂支出為Y=200+30*(5000)=200+150000=150200元。六、1.可以采用卡方檢驗（Chi-squareTestofIndependence）或費舍爾精確檢驗（Fisher'sExactTest，尤其當樣本量較小時）。卡方檢驗的基本思路是比較分類變量實際觀測頻數(shù)與在原假設(shè)（兩個變量獨立）下期望頻數(shù)之間的差異。如果差異足夠大（對應(yīng)的卡方統(tǒng)計量超過臨界值或p值小于顯著性水平），則拒絕原假設(shè)，認為兩個變量之間存在關(guān)聯(lián)。2.卡方檢驗中的p值是在原假設(shè)（性別與購買意愿評分獨立）成立時，觀察到當前樣本中出現(xiàn)的這種或更極端的頻數(shù)分布情況的概率。若p值較?。ɡ缧∮?.05），說明觀測到的關(guān)聯(lián)性很強，不太可能僅僅是偶然發(fā)生的，因此有