江蘇省南京市第二十九中學(xué)、常州中學(xué)、南菁中學(xué)2024-2025

學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.曲線/(x)="+l)e’在點(0,1)處的切線的斜率為()

A.-1B.--C.1D.2

2

2.已知空間向量。=(2,1,3),〃=(-1,2,-2),c=(7,6,2),若向量共面，則實數(shù)幾的

值為().

A.8B.9C.10D.11

3.北京時間2024年6月2H,嫦娥六號成功著陸月球背面，開后人類探測器首次在月球背

面實施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后

該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為()

A.2880B.1440C.720D.576

4.如圖，直三棱柱ABC-中,A8=AC=8C=/1Al=2,點P為側(cè)面上的任

意一點，則尸CPG的取值范圍是()

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[3,5]

5.已知會竽此,"殍'則―大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

6.“立定跳遠”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測試項H中的一項，已知某地區(qū)高中男生的立

定跳遠測試數(shù)據(jù)4(單位：cm)服從正態(tài)分布N(200,/),且。e之220)=0.1,現(xiàn)從該地區(qū)

高中男生中隨機抽取3人，并記百在(180,220)的人數(shù)為X,則()

A.P(180<^<220)=0.9B.P(X>1)=0.992

C.E(X)=3D.D(X)=0.16

7.袋中有4個黑球，3個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球.若己知

取出的球全是白球，則擲出2點的概率為()

A.-B.\C.—D.—

342123

8.已知。>0,￡分別是函數(shù)/(x)=xe、-。與g(x)=-2-。的零點，則巨丁的最大

1

xx2e

值為()

A.4-B.4C.-D.4

e'e*ee-

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.若隨機變量X的概率分布列為P(X=〃)=〃〃(〃=1,2,3,4),則4=看

B.若隨機變量若P(XW0)=0.4,則尸(1WXK2)=O.2

C.若隨機變量X~010，!),則。(X)=g

D.在含有4件次品的10件產(chǎn)品中，任取3件，X表示取到的次品數(shù)，則尸(X=1)=3

10.已知函數(shù)/(x)=lnx-or的兩個零點分別為內(nèi),當(dāng)且入〈王，則下列說法正確的是()

A.0<?<—R.e<x,<—

ea

C.>c2D.若a=々(七>1),則

11.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱A8/-DCE組合而成，

AB±AF,AB=AD=AF=4,G是CO上的動點.則()

試卷第2頁，共4頁

A.G為CQ的中點時，平面瓦BC_L平面BCG

B.G為CQ的中點時，異面直線EC與BG之間的距離為越

3

C.存在點G,使得直線C”與平面3CG所成的角為60。

D.P為ED所在直線的動點，則忻”-|尸。|的最大值為2石+2

三、填空題

12.已知向量a=(2「l,2)/=(-4,2j)的夾角為鈍角，則實數(shù)/的取值范圍為.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+e'-er-x+3,則滿足/*)+/(3—2x)<6的x的取值范圍

是.

14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，并制定如下規(guī)則：當(dāng)點數(shù)為2：3,

4,5時得1分，當(dāng)點數(shù)為1,6時得3分.多次拋擲這枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最

終得分.若拋擲2次骰子，最終得分為X，則隨機變量X的期望是:若拋擲2024

次骰子，記得分恰為〃分的概率為匕，則當(dāng)月取最大值時〃的值為.

四、解答題

15.已知卜+卡:的展開式中，第五項的二項式系數(shù)是第三項的系數(shù)的4倍，求:

(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

(2)求展開式中所有的有理項.

16.已知函數(shù)=,g(x)=alnx-x.

⑴若h(x)=f(x)-g(x)在［1,2］單調(diào)遞增,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)avO時，若對任意的x」［L1］,總存在9引士”，使得/(芭)=但)，求實數(shù)。的取值

ee

《江蘇省南京市第二十九中學(xué)、常州中學(xué)、南菁中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案DCACDBCBACDACD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)數(shù)得切線斜率.

【詳解】/,(x)=ev+(x+l)ex=(x+2)e\

所以左=r(O)=(O+2)d)=2.

故選：D

2.C

【分析】利用共面向量的性質(zhì)，得到三個向量之間的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法解得未知量.

【詳解】因為向量外dc共面，所以存在實數(shù)〃?，〃使得右=〃心+/仍，

BP（7,6,X）=m（2,1,3）+n（-1,2,-2）,

7=2tn-n\m-4

所以，6=m+2〃,解得，〃=1,..2=10.

2=3/fi-2nA=10

故選：C.

3.A

【分析】相鄰問題采取“捆綁法”，先將4名女生排在一起，再將4名女生作為一個整體和4

名男生排列即可求解.

【詳解】先將4名女生排在一起，有A：種方法，再將4名女生作為一個整體和4名男生排

列，有A；種方法，故4名女生相鄰的站法種數(shù)為A：A；=24xl20=2880.

故選:A.

【點睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：

(1)相鄰問題采取“捆綁法”；

(2)不相鄰問題采取“插空法”；

(3)有限制元素采取“優(yōu)先法''；

答案第1頁，共15頁

(4)特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).

4.C

【分析】取A4中點為原點。，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(工,()*)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得

到尸CPG=X2+(Z—1『+2,進而可求解:

【詳解】如圖取48中點為原點0,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,0,z),

其中-1GG,0<z<2,C(0,后0),C,(0,73,2),

PC=(-x,A-z),PC=(T,32-Z),PCPC,=X2+3+Z2-2Z=X2+(Z-1)2+2,

當(dāng)1=±1,且z=0或z=2時，PC/G取最大值4,

當(dāng)x=0,且z=l時，PCPG取最小值2,所以戶。/<；的取值范圍為[2,4].

故選：C

5.D

【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)〃x)=￥，利用導(dǎo)數(shù)判斷出=W的單調(diào)性，進而

得到mb,c的大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/")=￥，則，詈，

令r(x)>0,則0<x<e,令r(“<0,得x>e,

因此/(力=叱在(0。單調(diào)遞增，在卜,內(nèi))單調(diào)遞減，

X

工In2In4,八1Ine、In3

而。=丁=—j-=/(4),b=-=—=/(c),c=—=/((3x),

24ee3

因為4>3>e,所以〃e)>〃3)>/(4),^h>c>a.

故選：D

答案第2頁，共15頁

6.B

【分析】應(yīng)用正態(tài)分布的對稱性有342220)=244180)=0.1,進而有

P(180<^<220)=0.8,則有X~8(3,0.8),應(yīng)用二項分布求概率、期望、方差判斷各項正誤.

【詳解】因為《~N(200,，)，所以產(chǎn)(。之220)=2。力80)=0.1,

所以980〈“220)=1-玫*220)-P("180)=O8,故A錯誤；

4在(I80,220)的概率為尸(180v0v220)=0.8,則X~3(3,0.8),

所以P(X21)=1—P(X=0)=1-0.23=1-0.008=0.992,故B正確；

由X~B(3,0.8),所以E(X)=3xO.8=2.4,故C錯誤；

由*~3(3,0.8),所以￡>(X)=3x0.8x(l-0.8)=0.48,故D錯誤.

故選：B

7.C

【分析】記A：骰子擲出的點數(shù)為八1=1,2,3),事件B:取出的球全是白球，

分別求出P(43),P(8),利用條件概率公式即可求解.

【詳解】記4：骰子擲出的點數(shù)為i,(i=L2,3),事件B:取出的球全是白球，則P(A)=，,

O

尸(例4)=5,

-3c/八c/n-\1。：1￡1°；1311111

所以P(8)=ZP(A卜尸(BIA)=NX才二行

：=]OC76C?vC?V/V/O331U

，xj_

所以若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為：P(4|8)=萼2=&#=3.

〃(/121

10

故選：C.

8.B

1In—

【分析】問題化為內(nèi)爐=(ln')e曲=。>0,構(gòu)造/G)=肥(,>0)并用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

x?

222

得乂爐=1,將目標(biāo)式化為再構(gòu)造以幻=1">0),最后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最大

x2e'ee

值，即可得.

答案第3頁，共15頁

Inr

【詳解】因為/，/分別是函數(shù)/。)=比"-4與g(X)=-一^一。的零點，

X

Inx,匕Inx,IIiin—

所以x=------a=0,則％e%=-----z=a,即=_L]n」=(lnL)e0，

XX

22X2X2X2

又々>0,一曲玉=4>0,所以—ln&>(),>n—>0.

設(shè)h(x)=xe'(x>0),則〃'(％)=(I+x)e'>0,

所以〃(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，所以N=ln,，則爐=-!-,

x2x2

LL,,工X：A；er,(西爐)2a1

所以巧9=i,Mnl—hr=-Lv=L-LTT=—■

X2Q'jr2ejr2e'ee

設(shè)(p{x}=—(x>0),則(p\x)=2'J，

ee

當(dāng)0vx<2時，0(X)>0,*(x)在9,2)上單調(diào)遞增,

4

當(dāng)x>2時，/)<。，陽)在(2,+8)上單調(diào)遞減，"小~(2)=￡,

所以看的最大值為小

故選：B

9.ACD

【分析】對于A,根據(jù)分布列的概率和為1可求解；對于B,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即

可求解；對于C,根據(jù)二項分布的方差公式即可求解；對于D,根據(jù)超幾何分布的概率公式

即可求解.

【詳解】對于A：P(X=〃)=m(A=123,4),

所以a+2?+M+4a=1,所以〃=*,故A正確；

對于B,可得尸(14X42)=12P；XVO)=J2;O.4=0],故B不正確；

對于C,因為X~8(10,g),所以o(x)=]0x3(iq卜|,故C正確；

C'C21

對于D,P(X=l)=-^=-,故D正確.

Go2

故選：ACD.

10.ACD

答案第4頁，共15頁

【分析】根據(jù)滿足lnx=ar,數(shù)形結(jié)合分析判斷AB；證明對數(shù)均值不等式

產(chǎn)千一<受孕，再化簡判斷C；根據(jù)。=如有兩根布七且$<e<X2判斷即D.

Ing-In為2x

【詳解】對于A,f(x)=\nx-cvc=O,Bpinx=av,設(shè)y=lnx,y=ax?相切時切點為(%,%),

則對)，=lnx求導(dǎo)有)；=』，又切點與原點確定直線的斜率與該點處的導(dǎo)數(shù)值相等，即

x

1=A

飛與'

解得%二1，則切點(e,l),此時。=L當(dāng)函數(shù)/*)=ln.5有兩個零點時，0<〃<LA

ee

正確；

y=lru

對于B,由圖象得，0<XI<e,B錯誤;

對于c,先證明：當(dāng)O<M<W時，IT±$，

Inx2-InX)2

?fr_nI4(r-n2

構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-幺士F，x>l,貝ijg'(x)=--------r=-一條>0,

x+1x(x+iyx(x+l)2

函數(shù)g*)=lnx-型二3在(L+8)上單調(diào)遞增，乂里>1,故g(Z)>g⑴=0,

X+IX]X]

2(--1)“一、_

即]n2—T—>°，化簡可得即<華,

$2]x2+NInx2-In$2

內(nèi)

又In$一。內(nèi)=1!1/一。%=°，則1^二葉=!，于是,<%：*，。(％+七)>2,

因此InR+lnQ>2,[ipx)x,>e2,C正確；

對D,依題意，lnx-ar=0即。=也有兩根玉,心且內(nèi)<e<x,,令，=lnx,>l,則。=:，

xe

令函數(shù)求導(dǎo)得8()=上二<。，即。⑺在U，+8)上遞減，

ee

Xj

又。=々(七>1),因此/=工3='42，e=x2,D正確.

故選：ACD

答案第5頁，共15頁

11.ABD

【分析】由幾何體性質(zhì)利用面面垂直的判定定理即可判斷A正確，建立空間直角坐標(biāo)系并

求得平面五BG的法向量，再利用點到平面距離的向量求法可得B正確，由線面角的向量求

法得到方程，根據(jù)方程無解可判斷C錯誤，以瓦)為旋轉(zhuǎn)軸將四邊形￡7玄。旋轉(zhuǎn)至四邊形

位置，則由三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點共線時忻”-|戶口取得最大值為pG|,

可判斷D正確.

【詳解】對于A,由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，由圓柱性質(zhì)可知3c，平

面CDG，

乂CGu平面CQG,..3CJLCG,

G為CQ的中點，.?.NOCG=：,

4

AB±AF,AB=AF,:"DCE=NABF=三,;.NGCE=Z即CG_LC￡\

42

又.CE,3c是平面￡/，3。內(nèi)的相交直線，.?.CG_L平面￡7話C,

乂CGu平面4CG,???平面平面BCG,故A正確；

對于B,以A為坐標(biāo)原點，A產(chǎn)所在直線分別為.r,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系，

則廠(4,0,0),40,0,0),。(0,0,4),8(0,4,0),C(0,4,4),BF=(4,-4,0),

當(dāng)G為c。中點時，G(—2.2,4),8G=(—2,—2,4),CG=(-2-2,0),

s-BF=4x-4y=0

設(shè)平面F8G的一個法向量為5=(a,z),貝ij；

s-BG=-2x-2y+4z=0

取x=i,則y=i,z=i?所以s=(i,i/)，

所求異面直線EC與BG之間的距離為4=匕耳=之=生g,故B正確;

H63

答案第6頁，共15頁

對于C,設(shè)點G(TW,幾4),C(0,4,4),8(0,4,0),其中0<〃?W4,0</?<4,

由射影定理知，〃，=〃(4-〃)，即m2+n2=4/2,

所以8c=(0,0,4),CG=(-/?,/i-4,0),CF=(4,-4,-4),

_m-BC=4c=0

設(shè)平面BCG的一個法向量為“=(a,8c),貝叫，

m-CG=-ma+(n-4)b=0

取。=〃?，貝=c=0,所以〃?=(〃-4,6,0),

若直線CF與平面BCG所成的角為60°,

則sin6()。=IcosCF.n\=='(〃”一0=皂

1?|。斗制4V3x7(/2-4)2+//r2

2

由〃/=〃(4一〃)知〃—4=-生，代入上式整理得5-(%)2-8?巴+5=0,此方程無解，

nnn

所以不存在點G,便得直線。尸與平面8CG所成的角為60。，即詵項C錯誤：

對于D,以A為坐標(biāo)原點，人凡人8人。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系，

則C。中點(即弧CGO所在圓的圓心)的坐標(biāo)為(0.2.4),

如圖，

以為旋轉(zhuǎn)軸將四邊形班⑷旋轉(zhuǎn)至四邊形所'。。位置，則平面所'8平行于底面，且

r

\FP\=\FP\fH4,4,4),

則由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)RG,P,(P在EO延長線上)三點共線時|閉-|汽7|

取得最大值為「‘。，

答案第7頁，共15頁

又弧CGO所在圓圓心為(0,2,4),半徑為2,

|=J(4-ON+(4-2K+(4-4)2+2=2有+2,故D正確.

故選：ABD.

12.(y\T)5T5)

【分析】夾角為鈍角只需滿足dS<0,排除4為共線的情況即可.

【詳解】因為向量。=(2,T2)/=(-4,2j)的夾角為鈍角，

則ab=2x(T)+(—l)x2+2/=-10+2/<0,ft?得f<5.

當(dāng)。共線時，由。=々八W(-4,2,/)=2(2,-1,2),解得.=-4,

所以當(dāng)a4夾角為鈍角時I￡(YO,-4)(-4,5).

故答案為：(-<x>,-4)u(-4,5),

13.(3,+oo)

【分析】構(gòu)造函數(shù)以x)=/(x)-3,確定函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)來解不等式即

可得答案.

【詳解】/(x)=sinx+eA-e-v-x+3,

設(shè)g(x)=/(x)-3=sinx+e*-e-'-x,

乂g(-x)=-g(x),.?.g(x)為R上的奇函數(shù)，

g'(x)=cosx+e'+e*-12cosx+2-1=1+8SJVN0,

???g(x)在R上單調(diào)遞增,

又/(x)+/(3-2x)<6,

.?.[/(^)-3]+[/(3-2x)-3]<0,

g(x)+g(3-2x)<0,g。)<-g(3-2x),

又「g(x)為R上的奇函數(shù)，

.?.g(x)<g(2x-3),

又g(x)在R上單調(diào)遞增，.?.x<2c-3,即x>3,

故x的取值范圍是(3,+oo).

故答案為：(3,-KO)

答案第8頁，共15頁

10

14.3372或3374

T

【分析】(1)先計算得1分和得3分的概率，再利用獨立事件的概率公式列出分布列；

(2)記得1分的次數(shù)為x,則〃=6072-2x,利用求二項分布的概率最值解出1349CW1350,

再根據(jù)xeN得出x=1349或X=135O,則可求〃的值.

【詳解】(1)由題意可得，得1分的概率為==得3分的概率為3=：,

6363

因X的可能取值為2,4,6,

?24914I11

則P(X=2)=-x-=—，P(X=4)=2x-x-=-,P(X=6)=-x-=-,

339339339

44I1()

則隨機變量X的期望值"X)=2x2+4x2+6x；=；.

9993

(2)記得I分的次數(shù)為x,則得3分的次數(shù)為2024-北

所得總分為〃=x+3(2024-x)=6072-2x,

拋擲2024次骰子，記得分恰為〃分的概率為乙，則匕=<短,

若E取最大值，則0<x<2024,x^N,

，解得13494x41350,

又04xW2024,xeN,則x=1349或x=1350,

當(dāng)x=1349時，”=6072-2x1349=3374；

當(dāng)x=1350時，n=6072-2x135()=3372.

故答案為:y;3372或3374

15.⑴7；亨

(2)7；=A7；=p,7；=^x-2

【分析】(1)寫出二項式展開式的通項公式即可解；

4

(2)由6-§reZ可得r=0,3,6,從而可解.

【詳解】(1)已知"+壺)”的展開式的通項公式為予,

答案第9頁，共15頁

因為第五項的r=4,所以第五項的二項式系數(shù)：C：,

因為第三項的廠=2,所以第三項的系數(shù)為：

由題意可得C：=4x］；Jc〉得〃=6,

由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中笫4項的二項式系數(shù)最大，

即『(；)3cMT“=|—

(2)由(1)知，7L“=(；)rC*予，

4

又04/46,r€Z?由6-§reZ,可得r=0,3,6

故展開式中的有理項為：7；=X\7；=|X\7；=-!-X-2.

264

16.(l)(-<?,e］；

(2)(-co,2-c--J.

e

【分析】(I)求出函數(shù)力(x)及其導(dǎo)數(shù)，再利用給定單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性建立恒成立的不等式

求解.

(2)求出函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間［Ll］上的最大值，再借助/(幻…Wg(x)M建立不等式求解.

e

【詳解】(1)函數(shù)/?(x)=f(x)-g(x)=e*-x-1-alnx+_r=eX-alnx-l,

求導(dǎo)得h\x)=ex--=至二，由八⑶在［1,2］單調(diào)遞增，

XX

得力(x)20在［1,2］上恒成立，即xe*之〃在［I，2］上恒成立，因此。W(貧)血,x叩,2］,

設(shè)H［x}=xe\xe［1,2］,H'［x)=ev+xeA=(x+l)cr>0,則“⑴在［1,2］上單調(diào)遞增，

于是HOLn="⑴=e,即“Ve,

所以。的取值范圍為(-8，4

(2)若對任意的X」已用，總存在使得/(內(nèi))4g⑹，

ee

則當(dāng)xe［Li］時，/(A-)milx<g(x)maK,

e

當(dāng)xw時，r(x)=er-l>0,即/(x)在6”上單調(diào)遞增，/UU=/d)=e-2,

答案第10頁，共15頁

函數(shù)g（x）=HnA-XM〈O,xe[Ll],求導(dǎo)得g'（x）=@T=生上，

exx

由。＜0,得g'（x）＜0,函數(shù)g（x）在[±1]上單調(diào)遞減，

c

則g（x）max=g（！）=一。一1，liljlte-2解得a?2-e」，

eeee

所以a的取值范圍為（-8,2-e-1].

e

17.⑴存在點M端點,0）

⑵應(yīng)

767

【分析】（I）根據(jù)題意建系，求出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo)，通過線線垂直建立方程蛆，即

可求得點M的坐標(biāo)，得出結(jié)論；

（2）按（1）建系，利用C,P,7,Q四點共面求得點了坐標(biāo)，再利用空間向量的夾角公式計算

即得.

【詳解】（1）

因44,1底面且4BC。是正方形，故可以點A為坐標(biāo)原點,

分別以A8.4DAA所在直線為x，）'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則C(4,4,0),5(4,0,0),即2,0,3),0((),4,0),D,(0,2,3),C,(2,2,3),

因點尸、Q分別是棱8用、?？诘闹悬c，則P(3,O,$,Q(O,3,$,

CP=(-l,-4,|),Ce=(-4-l,1),

假設(shè)在底面ABC。內(nèi)存在點M(a,40),使得GM_L平面CP。，則?！础Ａ4,

9II

C,A/CP=2-t/-40-2)-^=Oa=一

10

則。幽=(。-2,〃-2,-3),由＜，解得

9,11

C,/WCC=-4(fl-2)-(Z?-2)--=0b=—

10

答案第11頁，共15頁

故存在點滿足GM_L平面CP。；

(2)按照(1)建系，設(shè)點7(0,0j),(04fW3),

依題意，CP，「。四點共面，故必有Cr=/iCP+〃CQ,

33

即(-4,-4,/)=2(-1,-4弓)+〃《-13)，則得,

I?一---?

即7(0,0,M),又CG=(—2,-2,3),8=(-4,0,0),

\n-CC.=-2x-2y+3z=0

設(shè)平面CDDjCj的法向量為〃=(x,)\Z)?則,

nCD=-4x=()

12

故可取〃一(0,3,2).因CT=(-1,-4,y),

12+

-f97767

設(shè)CT與平面COAG所成角為。，則sine=|cos*C7',〃?卜

即cr與平面CD/)C所成角的正弦值為？垣.

767

7

18.(1)分布列見解析，均值￡

o

⑵％="|

噫

【分析】(1)易知X的所有可能取值為0J2,根據(jù)條件概率公式可求得對應(yīng)概率取值可得

分布列和均值；

2

(2)根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達式，解得益=1；

(3)由五局三勝制的規(guī)則，可知y的所有可能取值為3,4,5,求出對應(yīng)概率相加即可求得甲

獲勝的概率為￡

o1

【詳解】(1)依題意，X的所有可能取值為?！唬?

設(shè)打成10:10后甲先發(fā)球為事件A,則乙先發(fā)球為事件彳，且尸(A)=P(，)=g,

所以P(X=0)=P(A)?P(X=0|A)+P(Z)P(X=()M)=3K§x：+gxaX；=：,

答案第12頁，共15頁

/>(X=l)=P(>4)./>(X=l|A)+P(A)-P(X=l|A)=lxflxl+|xlVxflxl+lx|Ll

P(X=2)=P(A)-P(X=2\A)+P(A)P(X=2|A)=|x-x|+lxlx|=l.

所以X的分布列為

X012

P

623

故X的均值為E(X)=0X!+1X2+2X!=1.

6236

（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件3,則P（B|X=O）=O,P（5|X=1）=P（5）,P（B|X=2）=L

由（1）知，P（X=0）=；,P（X=l）=；,P（X=2）=；,

VIJ

由全概率公式，得

P（B）=P（X=O）P（B|X=O）+P（X=1）P（5|X=1）4-P（X=2）P（B|X=2）

?2

解得P（8）=（,即第一局比賽甲獲勝的概率為=4.

J，

2一2

（3）由（2）知〃°二4，故估計甲每局獲勝的概率均為:，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則,

設(shè)甲獲勝時的比賽總局數(shù)為y,因為每局的比賽結(jié)果相互獨立，

所以V的所有可能取值為3,4.5,

因此可得

"g3）=學(xué)哈尸（y=4）=C；x（|）W哈尸（15）=5（|「（.*

故該場比賽甲獲勝的概率〃=p（y=3）+P（y=4）+〃（y=5）=Q.

O1

19.（1）答案見解析

（3）〃w[l,+co）

【分析】（1）先求得r（6,然后對。進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.

（2）由（1）先確定。的一個大致范圍，然后根據(jù)/（“零點個數(shù)列不等式，結(jié)合零點存在

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性定理求得。的取值范圍.

⑶構(gòu)造函數(shù)-m-俘-1卜°f叩+8)，求得