■第4講基本不等式

------------------------圖知識(shí)點(diǎn)目錄/---------------------------

【知識(shí)點(diǎn)1】基本不等式的理解及常見變形...............................................2

【知識(shí)點(diǎn)2】利用基本不等式求最值......................................................5

【知識(shí)點(diǎn)3】與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題.......................................8

【知識(shí)點(diǎn)4】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用.....................................................11

【知識(shí)點(diǎn)5】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題.....................................15

-------------------------圖基礎(chǔ)知識(shí)/------------------------

1.基本不等式：abW"°

2

⑴基本不等式成立的條件：a>0,b>Q.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí).等號(hào)成立.

0-1-b

⑶其中二^叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，“叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2一

2.利用基本不等式求最值

(1)已知x,v都是正數(shù)，如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=v時(shí)，和x+y有最小值2P.

1

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+v等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值一￡.

4

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

【常用結(jié)論】

幾個(gè)重要的不等式

(1)3+622ab(a,beR).

(2)°+,22(凡6同號(hào)).

ab

第1頁(yè)共18頁(yè)

a+6

⑶瑟2)\a,b￡R).

77a+b

(4產(chǎn)+吆［2J2(a,6￡R).

2

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

■知識(shí)點(diǎn)1/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)1】基本不等式的理解及常見變形

基本不等式的常見變形

a+422

(1)/22

2

小、2,#+爐/、八，、7

(2)]1[1WabSW(a>0,b>0).

+22

ab

典型例題

【例1】(2022秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考)若必>0,且Q>Z),則下列不等式一定成立的是(

A.a2>b2B.->-C.-+->2D.—

abab2

【答案】C

【分析】舉反例〃=-1,6=-2可判斷力8。錯(cuò)誤，利用基本不等式可判斷。正確.

【解答】解：對(duì)于4,若a=-1,b=-2,則/<〃，故幺錯(cuò)誤，

對(duì)于8,若“=—1,b=-2f則,〈I,故8錯(cuò)誤，

ab

對(duì)于C,?.?ab>0,A->0,->0,文a>b,

ah

>2.1---=2,故C正確，

abV/b

第2頁(yè)共18頁(yè)

對(duì)于若ii則等〈誠(chéng)故。錯(cuò)誤,

故選：C.

【例2】(2024秋?城西區(qū)校級(jí)月考)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是

后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)

現(xiàn)證明，也稱為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段月臺(tái)上的點(diǎn)，JL/1C=?,BC=b,O為

/出的中點(diǎn)，以力4為直徑作半圓，過點(diǎn)C作44的垂線交半圓于點(diǎn)。，連接O￡>,AD,BD,過

點(diǎn)C作。。的垂線，垂足為點(diǎn)E,則該圖形可以完成的無(wú)字證明為()

A.a-^[ab(a>0,/>>0)B.a2+b2^ah(a>0,6>0)

C.疝^^~(4>0力>())D..伍>0]>0)

-+-22

ab

【答案】C

【分析】先明確竺女，疝的幾何意義，即在圖中相對(duì)應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相

2

應(yīng)的比例式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明力，C選項(xiàng)；由于“+〃在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之

對(duì)應(yīng)，可判斷8,。選項(xiàng).

【解答】解：由。為線段48上的點(diǎn)，且/C=a,BC=b,。為48的中點(diǎn)，以力8為直徑作半圓,

可知44=。+/),04=OB=OD=°十°,

由R/△力CQs用△OCB可知出=小",即CD、AC-8C=ab,

BCCD

所以CD=&i;在"/△OC。中，OD>CD,^^->yfab(a>0,b>0)

2

當(dāng)。。J./I8時(shí)，O,。點(diǎn)重合，a=bf此時(shí)土改=而5>0]>0),所以力錯(cuò)誤;

2

在R/△OCD中，即△DECsRt△DCO可得烏=空，

DOCD

所以。石=生=0-=型"=二一

OD-c-i-+-ba+b-Q+I—

2ah

第3頁(yè)共18頁(yè)

且也口、心更3，，（厘故§正確：

22422

?/Q+b^xfab>0,.\-^jy,

a+b2Jab

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.?.且Z=W石不一定成立，故C錯(cuò)誤；

a+b

?.?（a+6）（-+-）=2+-+-^,當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)，取等號(hào)，故。正確.

abab

故選：ABD.

【例5】（2025?河北模擬）已知a>0,b>0f2a+6=l,貝口+@的最小值為（）

ab

A.2B.-C.4D.9

2

【答案】C

【分析】應(yīng)用常值代換結(jié)合基本不等式計(jì)算求出最小值.

【解答】解：由2a+6=1,a>0,b>0f得1+2=網(wǎng)±2+N=2+2+g》4,

ababab

當(dāng)且僅當(dāng)“=/>且2a+力=1,即“=/?='時(shí)取等號(hào).

3

故選：C.

屬1知識(shí)點(diǎn)2/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)2】利用基本不等式求最值

（1）前提:“一正”“二定”“三相等”.

⑵要根據(jù)式子的特征靈活變矽，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

⑶條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換

的方法；三是消元法.

典型例題

【例6】（2025?五華區(qū)模擬）已知x>0,y>Ot且x+y-k+8=0,則中的最小值為（）

第5頁(yè)共18頁(yè)

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式的解法求解即可.

【解答】解：由題意可知xy=x+y+8N+8,

玲）期一2歷一820.

令府=比>0）,貝腎.

解得或大》2（舍）.

Rj7Jxy>4,工斗6.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.

古攵選：C.

【例7】（2025?廣東模擬）若x>0,?>0,且x+y=xy,則一匚十二一的最小值為（）

x-1y-\

LQ

A.2B.2>/2C.3D.-

2

【答案】B

【分析】由題意可得y的表達(dá)式，由基本不等式可得_匚+2的最小值.

x-1y-\

【解答】解：因?yàn)闊o(wú)>0,y>0,且x+y=xy,可得y=」一>（）,可得x>l,

x-1

所以y-1=-----1=---,

x-1X-1

所以<+義二-^+2-（1?1：白\」?2。_1）=2及，

x-1y-\x-}VJV-1

當(dāng)用僅當(dāng)_L=2（x-1）,即x=l+立時(shí)取等號(hào)，

x-12

所〃_L+二—的最小值為2&.

x-1y-\

故選：B.

【例8】（2024秋?潦河期末）已知實(shí)數(shù)x>0,y>0,且2x+y=l,則，+2的最小值為（）

xy

A.4+4x/2B.872C.8D.12

第6頁(yè)共18頁(yè)

【答案】C

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答］解：x>0,y>0,且2x+y=l,

則！+2=(2工+用(1+2)=4+2+8N4+2，/^^=8,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,集x=，，y=，時(shí)取等號(hào).

故選：C.

【例9】(2025春?深圳期中)函數(shù)/(x)=x+」一+ia>l)的最小值為()

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.

【解答】解：當(dāng)x>l時(shí)，工-1>0,

則/(x)=x+—!—+1=A--1+—!—+2>2j(x-l)--!—+2=4,

x-\x-1Vx-\

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=—!—,即x=2時(shí)等號(hào)成立.

故選：C.

【例10】(2025?新疆校級(jí)一模)已知xe(0,+8),則y=2x+二一的最小值為()

C.3我

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.

【解答】解：因?yàn)閄€(0,+oc),

當(dāng)且僅當(dāng)2x+l=」一，即x=2?時(shí)取等號(hào).

2x+l2

故選：A.

E9知識(shí)點(diǎn)3

第7頁(yè)共18頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)3】與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問題

m使得Hx）2a,等價(jià)于

使得Hx）Wa,等價(jià)于HxlsWa.

典型例題

【例11】（2024秋?鄭州期末）設(shè)正數(shù)%力滿足』+2=i,若不等式4+2力―/+4》+9-相對(duì)任

ab

意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.〃rv4B.C.nr^6D.

【答案】R

【分析】由已知結(jié)合基本不等式可求4+2〃的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化及二

次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)4,b滿足_1+2=1,

ab

^^a+2b=（a+2b）（-+-）=5+—+—>5+2.^^-=9,當(dāng)且僅當(dāng)q=8=3時(shí)取等號(hào)，

ababNab

若不等式“+2公Jx2+4x+9-in對(duì)任意實(shí)數(shù)尸恒成立，則x2+4x+9-m恒成立，

所以機(jī)產(chǎn).一+4x恒成立，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=2時(shí)，+4》取得最大值4

故加國(guó).

故選：B.

【例12】（2025?宜春校級(jí)開學(xué)）已知x>0,y>0,且x+2y-xy=0,若x+2y>,〃恒成立，貝”實(shí)

數(shù)用的取值范圍為—（-oo,8）—.

【答案】（一8,8）.

【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出X+2），的最小值，即可得解.

第8頁(yè)共18頁(yè)

【解答】解：因?yàn)閤>0,j>0,且x+2y-呼'=0,

所次_L+2=],

yx

^64x+2y=(x+2^)(-+-)=4+-+^>4+2j--^-=8

yxyxx

當(dāng)且僅當(dāng)±=也且，+工=1,即y=2,x=4時(shí)取等號(hào),

yxyx

又x+2y>〃?恒成立，所以m<8.

故答案為：(-oo,8).

【例13】(2024秋?紅河州期夫)已知明/)為正實(shí)數(shù)，且滿足1+_2_=2,若對(duì)于任意1*4,

ab+2

不等式a十A、2_公-〃】恒成立，則實(shí)數(shù)〃1的取值范圍為_［-6

【答案][-6,+8).

【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得a+b的最小值，從而得到任意1E4,不等式恒

成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)與恒成立問題的解法即可得解.

9

【解答】解：因?yàn)閍,力為正實(shí)數(shù)，且滿足L+=2,

b+2

I9

所Xa+b=a+(b+2)-2=[a+(b+2)](—+---)-2

2a2(力+2)

.b+29a\、b+29a

=3+----+------>3+2,---------=6,

2a2s+2)2a2(6+2)

當(dāng)且僅當(dāng)事二島，即T，I時(shí)，等號(hào)成立，

則由題意可得g2-4x-機(jī)在xe［l,4］上恒成立,即_4工-6在x€［1,4］上恒成立,

只需〃7a/-4X-6)M,

設(shè)函數(shù)/(》)=--4."6,其在［1,2］上單調(diào)遞減,在［2,4］上單調(diào)遞增,

所〃/。)=/一4工一6在x=4處取得最大值f(4)=42-4x4—6=-6,

所及聯(lián)*6,故實(shí)數(shù)〃？的取值范圍為［-6,+8).

故答案為：［6,loo)

第9頁(yè)共18頁(yè)

【例14】(2024秋?榆林期末)已知相>0,/?>0,且/+〃2=1+〃〃?，則下列不等式恒成立的是

()

A.B.—+—>2C.m<D.

mn3

【答案】BCD

【分析】由重要不等式可得出/+/?1+竺上匚，可判斷力選項(xiàng)；利用基本不等式可得出〃"0,

2

再利用基本不等式及不等式的性質(zhì)可判斷8選項(xiàng)；分析可知，關(guān)于〃的二次方程

〃2一加〃+用2一1=0有實(shí)根，由△國(guó)可判斷。選項(xiàng)；由基本不等式可得出〃?+火2,再利用立方和

公式可判斷。選項(xiàng).

【解答】解：因?yàn)榧?gt;0,〃>0,且"J+/J=1+〃?〃，

對(duì)于力，由重要不等式可得〃了十〃2=1十〃“T1十尤羅，則〃J+,』b2,

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，故力錯(cuò)；

對(duì)于4,由重要不等式可得1-=可得〃

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以，+_122、工=金22,當(dāng)且僅當(dāng)〃i=〃=l時(shí)，等號(hào)成立，故〃對(duì)；

tnnVtnnyjmn

對(duì)于C,由題意可知，關(guān)于〃的二次方程-1=0有實(shí)根，

則△=〃/一4(病一1)=4一3〃?\4),tn~<—,解■得一^m&,

333

又因?yàn)椤?〉0,所以，0<m￡巫，故。對(duì)；

3

對(duì)于。，由m2+n2=1+mn可得(m+n)2=1+3mn,

由廢本不等式可得(m+n)2=1+3mn<1+3x('"+"y=I+3("?+〃),

24

可潛如血小，即(加+小0,

4

因?yàn)椤?>0,//>0,則加+〃>0,所以，w+/廠日,

當(dāng)且僅當(dāng)〃?=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以,nr1+/=(m+n)(nr一〃?〃+〃')=m+/nW,故。對(duì).

第10頁(yè)共18頁(yè)

故選：BCD,

【例15】（2024?湖南學(xué)業(yè)考試）已知〃>1,〃>0,〃/-2〃?+〃=0,若不等式，+”之4恒成

m-\n

立，則實(shí)數(shù)2的最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)“1”的變形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.

【解答】解：因?yàn)椤?-2/〃+〃=0,w>1,

所<A-------------------=m-2-i—=0,即，〃-1+-=I,

mmm

n

匕1*1m/1加\,i〃、iiw（w-1）

m-1nm-1nmni（m-1）n

之2+2匚匚巫三:4,當(dāng)且僅當(dāng)」^=也”心，即機(jī)=3,〃=3時(shí)等號(hào)成立，

\m（m-1）nn24

故.

故選：C.

期知識(shí)點(diǎn)4/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)4】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象

出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

典型例題

【例16】（2024秋?昌吉州期末）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，

若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為二天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為2元，為使平均每件

4

產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（）

第11頁(yè)共18頁(yè)

A.12件B.24件C.36件D.40件

【率案】D

【分析】平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為），，則尸效。二利用基本不等式,

x2

即可求得以加和此時(shí)x的值.

【解答】解：設(shè)平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為y,

則由題意可得好駟+2x2=曬+*2反三=40,當(dāng)且僅當(dāng)x=40時(shí)取得最小值,

x4x2Vx2

即當(dāng)每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品40件時(shí)y最小.

故選：。.

【例17】（2024秋?成都期末）已知某糕點(diǎn)店制作一款面包的固定成本為400元，每次制作x個(gè),

每天每個(gè)面包的存留成本為1元，若每個(gè)面包的平均存留時(shí)間為0.25x天，為了使每個(gè)面包的

總成本最小，則每天應(yīng)制作（）

A.20個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.50個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)有每個(gè)面包的總成本土，應(yīng)用基本不等式求結(jié)果.

x4

【解答】解：因?yàn)楣潭ǔ杀緸?00元，每次制作x個(gè)，每天每個(gè)面包的存留成本為1元，若每

個(gè)面包的平均存留時(shí)間為0.25丫天，

所以總成本為400+0.25/=400+工,

4

則每個(gè)面包的總成本>-邛+；卓那卜0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=40時(shí)取等號(hào)，故每個(gè)面包的總成本最小，每天應(yīng)制作40個(gè).

故選：C.

【例18】（2024秋?廣州期末）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800/,深

為3〃?.如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，那么貯水池的最低

總造價(jià)是（）

第12頁(yè)共18頁(yè)

A.160000元B.179200元C.198400元D.297600元

【答案】C

【分析】設(shè)池底的長(zhǎng)為x,寬為y,因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個(gè)面，池底一

個(gè)面，計(jì)算出建造這個(gè)水池的總造價(jià)是100個(gè)+2(x+y)x3x80,結(jié)合基本不等關(guān)系求得最小值.

【解答】解：設(shè)池底的長(zhǎng)為x,寬為y,

則3中=4800,即曠=國(guó)2,

X

因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個(gè)面，池底一個(gè)面，

建造這個(gè)水池的總造價(jià)是

1OO.q+2(x+y)x3x8()=160000+480(x+^2)>160000+480x2=198400,

當(dāng)且僅當(dāng).丫=照，即》=40時(shí)，等號(hào)成立，

x

所以貯水池的最低總造價(jià)是198400元.

故選：C.

【例19】(2024秋?科爾沁區(qū)校級(jí)期末)一天,陶淵明采菊東籬下.想用一段長(zhǎng)為36機(jī)的籬笆

圍成一個(gè)一邊靠墻(墻體足夠長(zhǎng))的矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的最大面積是()m2.

A.289B.104C.162D.138

【答案】C

【分析】設(shè)出矩形菜園的靠墻的一邊長(zhǎng)為,由已知表示出另一邊長(zhǎng)，再求出矩照面積的表

達(dá)式，法⑴利用基本不等式即可求出菜園的最大面積；法5)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的最

第13頁(yè)共18頁(yè)

大值.

【解答】解：設(shè)矩形菜園的靠墻的一邊長(zhǎng)為..，0<x<36,

因?yàn)榛h笆的長(zhǎng)為36機(jī)，則寬為史二

2

法V)所以矩形菜園的面積為：S=x---=—x(36-支"('+養(yǎng)--)2=162,

2222

當(dāng)且僅當(dāng)x=36-x,即x=18時(shí)等號(hào)成立，

所X矩形菜園的最大面積是162〃」.

法m)S=x?'=一；(/一36x),(0<x<36),

開口向下，對(duì)稱軸.丫=18,而18e(0,36),

所〃x=18時(shí)，貝“SM=-g(182-36x18)=162.

即矩形的面積的最大值為162m2.

故選：C.

【例20】(2024秋?柳州期末)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，欲用柵欄圍成一個(gè)面積為1C0平方米的

矩形植物園種植花卉，如圖假設(shè)矩形植物園的長(zhǎng)為x,寬為y.則至少需要40米棚欄.

il

y

、f_____________

-----X-----

【答案】40.

【分析】根據(jù)面積可得肛=100,周長(zhǎng)為2(x+y),然后根據(jù)基本不等式求最小值.

【解答】解：由題意可得;9，=100,且周長(zhǎng)￡=2(x+y),

x>0,y>0,則2(x+y)W2.2歷=2x2x/f麗=40,

當(dāng)x=y=10取等號(hào)，

即至少需要40米棚欄.

故答案為：40.

第14頁(yè)共18頁(yè)

Fl知識(shí)點(diǎn)5/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)5】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題

基本不等式常作為工具，與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角、向量、復(fù)數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯問題、立體幾何、

解析幾何、實(shí)際問題、新定義問題等考點(diǎn)交匯，常常需要借助不等式來(lái)解決其中的最值問題.

典型例題

【例21】(2025春?吉林期中)在函數(shù)“X)=6x-W的圖象與X軸圍成的封閉圖形內(nèi)作一內(nèi)接矩

形4BCD,則可作矩形的最大面積為()

B.12GC.6+273D.27

【答案】B

【分析】設(shè)力、5在拋物線上，若/l(x,6x-d),則點(diǎn)僅67,6工-/),所以矩形48CD的面積可

表示為S(x)=(6-2x)(6x-/),xe((),3),再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.

【解答】解：設(shè)/I、4在拋物線上，若力(%,6.丫-/)，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為(6-x,6x-x2),

所以矩形48CO的面積可表示為5(x)=(6-2x)(6x-x2),xe(0,3),

所以S'(x)=-2(6X-X2)+(6-2?=6x2-36x+36,

令S，(x)=(),解得x=3-G或.x=3+百(舍去)，又因?yàn)镾(x)在(0,3-6)上單調(diào)遞增，在(3-6,

3)上單調(diào)遞減,

所以矩形的最大面積為SQ—6)=2￡K6=12S.

第15頁(yè)共18頁(yè)

故選：B.

【例22】（2025春?蓮湖區(qū)期中）已知復(fù)數(shù)z="+陽(yáng)a,heR且而工0）,若三Z是純虛數(shù)，則

z+2

14

的最小值是（)

A.9B.4C.1D.2

4

【答案】D

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及概念先求出a,匕的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+bi(a,beRt且Q*0),

若z-2="2+bi=(a-2+bi)(a+2-bi)=1+//—4+4折是免虛數(shù),

z+2a+2+bi(a+2+bi)(a+2-bi)(a+2)2+b2

22

貝i]a+b=4f

14a2+h2a2+h2L+號(hào)+4+i>l

--+--=------+------+

a2b24a2b244a2b24

當(dāng)且僅當(dāng)心源即時(shí)取等號(hào).

故選：D.

【例23】（2025春?太原期中）已知中，過夕。中點(diǎn)。的直線分別與直線力4,/C交于點(diǎn)

E,F,且荏=niAB(m>0),

AF=nAC（n>0）,則加+4〃的最小值為（）

97

A.9B.-C.7D.-

22

【答案】B

【分析】結(jié)合向量的線性運(yùn)算求出,+_1=2,然后結(jié)合基本不等式即可求解.

mn

【解答】解：因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，且荏=〃?萬(wàn)（小>0）,AF=